Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
symgvalstruct.g |
⊢ 𝐺 = ( SymGrp ‘ 𝐴 ) |
2 |
|
symgvalstruct.b |
⊢ 𝐵 = { 𝑥 ∣ 𝑥 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 } |
3 |
|
symgvalstruct.m |
⊢ 𝑀 = ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) |
4 |
|
symgvalstruct.p |
⊢ + = ( 𝑓 ∈ 𝑀 , 𝑔 ∈ 𝑀 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) |
5 |
|
symgvalstruct.j |
⊢ 𝐽 = ( ∏t ‘ ( 𝐴 × { 𝒫 𝐴 } ) ) |
6 |
|
hashv01gt1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 0 ∨ ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 1 ∨ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) |
7 |
|
hasheq0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 0 ↔ 𝐴 = ∅ ) ) |
8 |
|
0symgefmndeq |
⊢ ( EndoFMnd ‘ ∅ ) = ( SymGrp ‘ ∅ ) |
9 |
8
|
eqcomi |
⊢ ( SymGrp ‘ ∅ ) = ( EndoFMnd ‘ ∅ ) |
10 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → ( SymGrp ‘ 𝐴 ) = ( SymGrp ‘ ∅ ) ) |
11 |
1 10
|
eqtrid |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → 𝐺 = ( SymGrp ‘ ∅ ) ) |
12 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = ( EndoFMnd ‘ ∅ ) ) |
13 |
9 11 12
|
3eqtr4a |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → 𝐺 = ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) |
14 |
13
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = ∅ ) → 𝐺 = ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) |
15 |
|
eqid |
⊢ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) |
16 |
15 3 4 5
|
efmnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = ∅ ) → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
18 |
|
0map0sn0 |
⊢ ( ∅ ↑m ∅ ) = { ∅ } |
19 |
|
id |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅ ) |
20 |
19 19
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) = ( ∅ ↑m ∅ ) ) |
21 |
11
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → ( Base ‘ 𝐺 ) = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ∅ ) ) ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐺 ) = ( Base ‘ 𝐺 ) |
23 |
1 22
|
symgbas |
⊢ ( Base ‘ 𝐺 ) = { 𝑥 ∣ 𝑥 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 } |
24 |
|
symgbas0 |
⊢ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ∅ ) ) = { ∅ } |
25 |
21 23 24
|
3eqtr3g |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → { 𝑥 ∣ 𝑥 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 } = { ∅ } ) |
26 |
2 25
|
eqtrid |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → 𝐵 = { ∅ } ) |
27 |
18 20 26
|
3eqtr4a |
⊢ ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) = 𝐵 ) |
28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = ∅ ) → ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) = 𝐵 ) |
29 |
3 28
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = ∅ ) → 𝑀 = 𝐵 ) |
30 |
29
|
opeq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = ∅ ) → 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 = 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 ) |
31 |
30
|
tpeq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = ∅ ) → { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
32 |
14 17 31
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = ∅ ) → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
33 |
32
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( 𝐴 = ∅ → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) ) |
34 |
7 33
|
sylbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 0 → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) ) |
35 |
|
hash1snb |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 1 ↔ ∃ 𝑥 𝐴 = { 𝑥 } ) ) |
36 |
|
snex |
⊢ { 𝑥 } ∈ V |
37 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → ( 𝐴 ∈ V ↔ { 𝑥 } ∈ V ) ) |
38 |
36 37
|
mpbiri |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → 𝐴 ∈ V ) |
39 |
15 3 4 5
|
efmnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
40 |
38 39
|
syl |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
41 |
|
snsymgefmndeq |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = ( SymGrp ‘ 𝐴 ) ) |
42 |
41 1
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = 𝐺 ) |
43 |
42
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) = ( Base ‘ 𝐺 ) ) |
44 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) = ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) |
45 |
15 44
|
efmndbas |
⊢ ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) |
46 |
45 3
|
eqtr4i |
⊢ ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) = 𝑀 |
47 |
23 2
|
eqtr4i |
⊢ ( Base ‘ 𝐺 ) = 𝐵 |
48 |
43 46 47
|
3eqtr3g |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → 𝑀 = 𝐵 ) |
49 |
48
|
opeq2d |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 = 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 ) |
50 |
49
|
tpeq1d |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
51 |
40 42 50
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 = { 𝑥 } → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
52 |
51
|
exlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑥 𝐴 = { 𝑥 } → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
53 |
35 52
|
syl6bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 1 → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) ) |
54 |
|
ssnpss |
⊢ ( ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) |
55 |
15 1
|
symgpssefmnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( Base ‘ 𝐺 ) ⊊ ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) ) |
56 |
2 23
|
eqtr4i |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
57 |
45
|
eqcomi |
⊢ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) = ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) |
58 |
56 57
|
psseq12i |
⊢ ( 𝐵 ⊊ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ↔ ( Base ‘ 𝐺 ) ⊊ ( Base ‘ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ) ) |
59 |
55 58
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝐵 ⊊ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) |
60 |
54 59
|
nsyl3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ¬ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ⊆ 𝐵 ) |
61 |
|
fvexd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ∈ V ) |
62 |
|
f1osetex |
⊢ { 𝑥 ∣ 𝑥 : 𝐴 –1-1-onto→ 𝐴 } ∈ V |
63 |
2 62
|
eqeltri |
⊢ 𝐵 ∈ V |
64 |
63
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ V ) |
65 |
1 2
|
symgval |
⊢ 𝐺 = ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ↾s 𝐵 ) |
66 |
65 57
|
ressval2 |
⊢ ( ( ¬ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ⊆ 𝐵 ∧ ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → 𝐺 = ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) sSet 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 ) ) |
67 |
60 61 64 66
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝐺 = ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) sSet 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 ) ) |
68 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ∈ V |
69 |
68
|
inex2 |
⊢ ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) ∈ V |
70 |
|
setsval |
⊢ ( ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ∈ V ∧ ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) ∈ V ) → ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) sSet 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 ) = ( ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) ) |
71 |
61 69 70
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) sSet 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 ) = ( ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) ) |
72 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
73 |
72
|
reseq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) = ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) ) |
74 |
73
|
uneq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) = ( ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) ) |
75 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
76 |
|
fvexd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( +g ‘ ndx ) ∈ V ) |
77 |
|
fvexd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( TopSet ‘ ndx ) ∈ V ) |
78 |
3 68
|
eqeltri |
⊢ 𝑀 ∈ V |
79 |
78 78
|
mpoex |
⊢ ( 𝑓 ∈ 𝑀 , 𝑔 ∈ 𝑀 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) ∈ V |
80 |
4 79
|
eqeltri |
⊢ + ∈ V |
81 |
80
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → + ∈ V ) |
82 |
5
|
fvexi |
⊢ 𝐽 ∈ V |
83 |
82
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝐽 ∈ V ) |
84 |
|
basendxnplusgndx |
⊢ ( Base ‘ ndx ) ≠ ( +g ‘ ndx ) |
85 |
84
|
necomi |
⊢ ( +g ‘ ndx ) ≠ ( Base ‘ ndx ) |
86 |
85
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( +g ‘ ndx ) ≠ ( Base ‘ ndx ) ) |
87 |
|
tsetndx |
⊢ ( TopSet ‘ ndx ) = 9 |
88 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
89 |
|
1lt9 |
⊢ 1 < 9 |
90 |
88 89
|
gtneii |
⊢ 9 ≠ 1 |
91 |
|
df-base |
⊢ Base = Slot 1 |
92 |
|
1nn |
⊢ 1 ∈ ℕ |
93 |
91 92
|
ndxarg |
⊢ ( Base ‘ ndx ) = 1 |
94 |
90 93
|
neeqtrri |
⊢ 9 ≠ ( Base ‘ ndx ) |
95 |
87 94
|
eqnetri |
⊢ ( TopSet ‘ ndx ) ≠ ( Base ‘ ndx ) |
96 |
95
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( TopSet ‘ ndx ) ≠ ( Base ‘ ndx ) ) |
97 |
75 76 77 81 83 86 96
|
tpres |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) = { 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
98 |
97
|
uneq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑀 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) = ( { 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) ) |
99 |
|
uncom |
⊢ ( { 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) = ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ∪ { 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
100 |
|
tpass |
⊢ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } = ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ∪ { 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
101 |
99 100
|
eqtr4i |
⊢ ( { 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } |
102 |
1 56
|
symgbasmap |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) |
103 |
102
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) ) |
104 |
103
|
ssrdv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) |
105 |
|
df-ss |
⊢ ( 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) = 𝐵 ) |
106 |
104 105
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) = 𝐵 ) |
107 |
106
|
opeq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 = 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 ) |
108 |
107
|
tpeq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
109 |
101 108
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( { 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
110 |
74 98 109
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → ( ( ( EndoFMnd ‘ 𝐴 ) ↾ ( V ∖ { ( Base ‘ ndx ) } ) ) ∪ { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝐵 ∩ ( 𝐴 ↑m 𝐴 ) ) 〉 } ) = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
111 |
67 71 110
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |
112 |
111
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) ) |
113 |
34 53 112
|
3jaod |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 0 ∨ ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 1 ∨ 1 < ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) ) |
114 |
6 113
|
mpd |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 } ) |