| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
unblimceq0lem.0 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
| 2 |
|
unblimceq0lem.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝑆 ⟶ ℂ ) |
| 3 |
|
unblimceq0lem.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 4 |
|
unblimceq0lem.3 |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 5 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑏 = if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) → ( 𝑏 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 6 |
5
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑏 = if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 7 |
6
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑏 = if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 8 |
7
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑏 = if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) → ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 9 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 10 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ ℂ ) |
| 11 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
| 12 |
10 11
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 13 |
12
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 14 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑐 ∈ ℝ+ ) |
| 15 |
14
|
rpred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
| 16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
| 17 |
13 16
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ∈ ℝ ) |
| 18 |
12
|
absge0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 19 |
14
|
rpgt0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 0 < 𝑐 ) |
| 20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 0 < 𝑐 ) |
| 21 |
13 16 18 20
|
addgegt0d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 0 < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) |
| 22 |
17 21
|
elrpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ∈ ℝ+ ) |
| 23 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑐 ∈ ℝ+ ) |
| 24 |
22 23
|
ifclda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ∈ ℝ+ ) |
| 25 |
8 9 24
|
rspcdva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 26 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑑 ∈ ℝ+ ) |
| 27 |
|
rsp |
⊢ ( ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) → ( 𝑑 ∈ ℝ+ → ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 28 |
25 26 27
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑆 ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 29 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
| 30 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 ≠ 𝐴 ↔ 𝑥 ≠ 𝐴 ) ) |
| 31 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) ) |
| 32 |
31
|
breq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ↔ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ) ) |
| 33 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 34 |
33
|
breq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ↔ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 35 |
30 32 34
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑦 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 36 |
35
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( ( 𝑦 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) |
| 37 |
17
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ∈ ℝ ) |
| 38 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ ℂ ) |
| 39 |
38 29
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 40 |
39
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
| 42 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
| 43 |
42
|
iftrued |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) = ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) |
| 44 |
43
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) = if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ) |
| 45 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 47 |
44 46
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 48 |
37 41 47
|
lensymd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) |
| 49 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 50 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 51 |
16 13
|
ltaddposd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 0 < 𝑐 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) ) |
| 52 |
20 51
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) |
| 53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) |
| 54 |
50 53
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) |
| 55 |
54
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 = 𝐴 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) ) |
| 56 |
55
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 = 𝐴 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) ) |
| 57 |
56
|
necon3bd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ¬ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) < ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) → 𝑥 ≠ 𝐴 ) ) |
| 58 |
48 57
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ≠ 𝐴 ) |
| 59 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ) |
| 60 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ) |
| 61 |
16
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
| 62 |
12
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 63 |
62
|
absge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 64 |
13
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 65 |
61 64
|
addge02d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) ↔ 𝑐 ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) ) |
| 66 |
63 65
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑐 ≤ ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) ) |
| 67 |
61 37 41 66 47
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 68 |
58 60 67
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 69 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
| 70 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝑥 = 𝐴 ) |
| 71 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
| 72 |
71
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝑥 ∈ 𝑆 ) |
| 73 |
70 72
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
| 74 |
73
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆 ) ) |
| 75 |
74
|
necon3bd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑥 ≠ 𝐴 ) ) |
| 76 |
69 75
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ≠ 𝐴 ) |
| 77 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ) |
| 78 |
69
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) = 𝑐 ) |
| 79 |
78
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑐 = if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ) |
| 80 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 81 |
79 80
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 82 |
76 77 81
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑥 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 83 |
68 82
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 84 |
29 36 83
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ if ( 𝐴 ∈ 𝑆 , ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) + 𝑐 ) , 𝑐 ) ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑆 ( 𝑦 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) |
| 85 |
28 84
|
rexlimddv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑆 ( 𝑦 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) |
| 86 |
85
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ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑑 ∈ ℝ+ ∃ 𝑦 ∈ 𝑆 ( 𝑦 ≠ 𝐴 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝐴 ) ) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) ) |