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Theorem weiunlem2

Description: Lemma for weiunpo , weiunso , weiunfr , and weiunse . (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025)

Ref Expression
Hypotheses weiun.1 𝐹 = ( 𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ ( 𝑢 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ) )
weiun.2 𝑇 = { ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∣ ( ( 𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹𝑦 ) 𝑅 ( 𝐹𝑧 ) ∨ ( ( 𝐹𝑦 ) = ( 𝐹𝑧 ) ∧ 𝑦 ( 𝐹𝑦 ) / 𝑥 𝑆 𝑧 ) ) ) }
weiunlem2.3 ( 𝜑𝑅 We 𝐴 )
weiunlem2.4 ( 𝜑𝑅 Se 𝐴 )
Assertion weiunlem2 ( 𝜑 → ( 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 ∧ ∀ 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 weiun.1 𝐹 = ( 𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ ( 𝑢 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ) )
2 weiun.2 𝑇 = { ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∣ ( ( 𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹𝑦 ) 𝑅 ( 𝐹𝑧 ) ∨ ( ( 𝐹𝑦 ) = ( 𝐹𝑧 ) ∧ 𝑦 ( 𝐹𝑦 ) / 𝑥 𝑆 𝑧 ) ) ) }
3 weiunlem2.3 ( 𝜑𝑅 We 𝐴 )
4 weiunlem2.4 ( 𝜑𝑅 Se 𝐴 )
5 riotaex ( 𝑢 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ) ∈ V
6 5 1 fnmpti 𝐹 Fn 𝑥𝐴 𝐵
7 6 a1i ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) → 𝐹 Fn 𝑥𝐴 𝐵 )
8 breq2 ( 𝑢 = 𝑟 → ( 𝑣 𝑅 𝑢𝑣 𝑅 𝑟 ) )
9 8 notbid ( 𝑢 = 𝑟 → ( ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ↔ ¬ 𝑣 𝑅 𝑟 ) )
10 9 ralbidv ( 𝑢 = 𝑟 → ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ↔ ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑟 ) )
11 10 cbvriotavw ( 𝑢 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ) = ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑟 )
12 eleq1w ( 𝑤 = 𝑡 → ( 𝑤𝐵𝑡𝐵 ) )
13 12 rabbidv ( 𝑤 = 𝑡 → { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } = { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } )
14 breq1 ( 𝑣 = 𝑠 → ( 𝑣 𝑅 𝑟𝑠 𝑅 𝑟 ) )
15 14 notbid ( 𝑣 = 𝑠 → ( ¬ 𝑣 𝑅 𝑟 ↔ ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) )
16 15 cbvralvw ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑟 ↔ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 )
17 13 raleqdv ( 𝑤 = 𝑡 → ( ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ↔ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) )
18 16 17 bitrid ( 𝑤 = 𝑡 → ( ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑟 ↔ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) )
19 13 18 riotaeqbidv ( 𝑤 = 𝑡 → ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑟 ) = ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) )
20 11 19 eqtrid ( 𝑤 = 𝑡 → ( 𝑢 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ) = ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) )
21 20 1 5 fvmpt3i ( 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 → ( 𝐹𝑡 ) = ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) )
22 21 adantl ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( 𝐹𝑡 ) = ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) )
23 eliun ( 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃ 𝑥𝐴 𝑡𝐵 )
24 rabn0 ( { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥𝐴 𝑡𝐵 )
25 23 24 bitr4i ( 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ↔ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ≠ ∅ )
26 ssrab2 { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ⊆ 𝐴
27 wereu2 ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ≠ ∅ ) ) → ∃! 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 )
28 26 27 mpanr1 ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ≠ ∅ ) → ∃! 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 )
29 25 28 sylan2b ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → ∃! 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 )
30 riotacl2 ( ∃! 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 → ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) ∈ { 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∣ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 } )
31 29 30 syl ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ) ∈ { 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∣ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 } )
32 22 31 eqeltrd ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∣ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 } )
33 elrabi ( ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∣ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 } → ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } )
34 elrabi ( ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } → ( 𝐹𝑡 ) ∈ 𝐴 )
35 32 33 34 3syl ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( 𝐹𝑡 ) ∈ 𝐴 )
36 35 ralrimiva ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) → ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ( 𝐹𝑡 ) ∈ 𝐴 )
37 ffnfv ( 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ↔ ( 𝐹 Fn 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ( 𝐹𝑡 ) ∈ 𝐴 ) )
38 7 36 37 sylanbrc ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) → 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 )
39 dfsbcq ( 𝑠 = ( 𝐹𝑡 ) → ( [ 𝑠 / 𝑥 ] 𝑡𝐵[ ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 ] 𝑡𝐵 ) )
40 nfcv 𝑥 𝐴
41 40 elrabsf ( 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ↔ ( 𝑠𝐴[ 𝑠 / 𝑥 ] 𝑡𝐵 ) )
42 41 simprbi ( 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } → [ 𝑠 / 𝑥 ] 𝑡𝐵 )
43 39 42 vtoclga ( ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } → [ ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 ] 𝑡𝐵 )
44 32 33 43 3syl ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → [ ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 ] 𝑡𝐵 )
45 sbcel2 ( [ ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 ] 𝑡𝐵𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 )
46 44 45 sylib ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 )
47 46 ralrimiva ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) → ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 )
48 simpr ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) ) → ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) )
49 sbcel2 ( [ 𝑠 / 𝑥 ] 𝑡𝐵𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 )
50 49 anbi2i ( ( 𝑠𝐴[ 𝑠 / 𝑥 ] 𝑡𝐵 ) ↔ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) )
51 41 50 bitri ( 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ↔ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) )
52 48 51 sylibr ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } )
53 52 ne0d ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) ) → { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ≠ ∅ )
54 53 25 sylibr ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) ) → 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 )
55 breq2 ( 𝑟 = ( 𝐹𝑡 ) → ( 𝑠 𝑅 𝑟𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )
56 55 notbid ( 𝑟 = ( 𝐹𝑡 ) → ( ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ↔ ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )
57 56 ralbidv ( 𝑟 = ( 𝐹𝑡 ) → ( ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 ↔ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )
58 57 elrab ( ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∣ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 } ↔ ( ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∧ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )
59 58 simprbi ( ( 𝐹𝑡 ) ∈ { 𝑟 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ∣ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 𝑟 } → ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) )
60 32 59 syl ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 ) → ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) )
61 54 60 syldan ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) )
62 rsp ( ∀ 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) → ( 𝑠 ∈ { 𝑥𝐴𝑡𝐵 } → ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )
63 61 52 62 sylc ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ) ) → ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) )
64 63 ralrimivva ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) → ∀ 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) )
65 38 47 64 3jca ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) → ( 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 ∧ ∀ 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )
66 3 4 65 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 ∧ ∀ 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )