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Theorem weiunse

Description: The relation constructed in weiunpo , weiunso , weiunfr , and weiunwe is set-like if all members of the indexed union are sets. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025)

Ref Expression
Hypotheses weiun.1 𝐹 = ( 𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ ( 𝑢 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ) )
weiun.2 𝑇 = { ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∣ ( ( 𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹𝑦 ) 𝑅 ( 𝐹𝑧 ) ∨ ( ( 𝐹𝑦 ) = ( 𝐹𝑧 ) ∧ 𝑦 ( 𝐹𝑦 ) / 𝑥 𝑆 𝑧 ) ) ) }
Assertion weiunse ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) → 𝑇 Se 𝑥𝐴 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 weiun.1 𝐹 = ( 𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ ( 𝑢 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ∀ 𝑣 ∈ { 𝑥𝐴𝑤𝐵 } ¬ 𝑣 𝑅 𝑢 ) )
2 weiun.2 𝑇 = { ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∣ ( ( 𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹𝑦 ) 𝑅 ( 𝐹𝑧 ) ∨ ( ( 𝐹𝑦 ) = ( 𝐹𝑧 ) ∧ 𝑦 ( 𝐹𝑦 ) / 𝑥 𝑆 𝑧 ) ) ) }
3 simpl2 ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → 𝑅 Se 𝐴 )
4 simpl1 ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → 𝑅 We 𝐴 )
5 1 2 4 3 weiunlem2 ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 ∧ ∀ 𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥 𝐵 ¬ 𝑠 𝑅 ( 𝐹𝑡 ) ) )
6 5 simp1d ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 )
7 simpr ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 )
8 6 7 ffvelcdmd ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( 𝐹𝑝 ) ∈ 𝐴 )
9 seex ( ( 𝑅 Se 𝐴 ∧ ( 𝐹𝑝 ) ∈ 𝐴 ) → { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∈ V )
10 3 8 9 syl2anc ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∈ V )
11 snex { ( 𝐹𝑝 ) } ∈ V
12 unexg ( ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∈ V ∧ { ( 𝐹𝑝 ) } ∈ V ) → ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) ∈ V )
13 10 11 12 sylancl ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) ∈ V )
14 ssrab2 { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ⊆ 𝐴
15 14 a1i ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ⊆ 𝐴 )
16 8 snssd ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → { ( 𝐹𝑝 ) } ⊆ 𝐴 )
17 15 16 unssd ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) ⊆ 𝐴 )
18 simpl3 ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 )
19 elex ( 𝐵𝑉𝐵 ∈ V )
20 19 ralimi ( ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V )
21 18 20 syl ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ∀ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V )
22 nfv 𝑠 𝐵 ∈ V
23 nfcsb1v 𝑥 𝑠 / 𝑥 𝐵
24 23 nfel1 𝑥 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V
25 csbeq1a ( 𝑥 = 𝑠𝐵 = 𝑠 / 𝑥 𝐵 )
26 25 eleq1d ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐵 ∈ V ↔ 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V ) )
27 22 24 26 cbvralw ( ∀ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ ∀ 𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V )
28 21 27 sylib ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ∀ 𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V )
29 ssralv ( ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) ⊆ 𝐴 → ( ∀ 𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V → ∀ 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V ) )
30 17 28 29 sylc ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ∀ 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V )
31 iunexg ( ( ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) ∈ V ∧ ∀ 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V ) → 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V )
32 13 30 31 syl2anc ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 ∈ V )
33 6 3ad2ant1 ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → 𝐹 : 𝑥𝐴 𝐵𝐴 )
34 simp2 ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵 )
35 33 34 ffvelcdmd ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → ( 𝐹𝑞 ) ∈ 𝐴 )
36 breq1 ( 𝑟 = ( 𝐹𝑞 ) → ( 𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ↔ ( 𝐹𝑞 ) 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ) )
37 36 elrab ( ( 𝐹𝑞 ) ∈ { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ↔ ( ( 𝐹𝑞 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹𝑞 ) 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ) )
38 elun1 ( ( 𝐹𝑞 ) ∈ { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } → ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) )
39 37 38 sylbir ( ( ( 𝐹𝑞 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹𝑞 ) 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ) → ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) )
40 35 39 sylan ( ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) ∧ ( 𝐹𝑞 ) 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ) → ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) )
41 fvex ( 𝐹𝑞 ) ∈ V
42 41 elsn ( ( 𝐹𝑞 ) ∈ { ( 𝐹𝑝 ) } ↔ ( 𝐹𝑞 ) = ( 𝐹𝑝 ) )
43 elun2 ( ( 𝐹𝑞 ) ∈ { ( 𝐹𝑝 ) } → ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) )
44 42 43 sylbir ( ( 𝐹𝑞 ) = ( 𝐹𝑝 ) → ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) )
45 44 ad2antrl ( ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) ∧ ( ( 𝐹𝑞 ) = ( 𝐹𝑝 ) ∧ 𝑞 ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝑆 𝑝 ) ) → ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) )
46 1 2 weiunlem1 ( 𝑞 𝑇 𝑝 ↔ ( ( 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹𝑞 ) 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ∨ ( ( 𝐹𝑞 ) = ( 𝐹𝑝 ) ∧ 𝑞 ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝑆 𝑝 ) ) ) )
47 46 simprbi ( 𝑞 𝑇 𝑝 → ( ( 𝐹𝑞 ) 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ∨ ( ( 𝐹𝑞 ) = ( 𝐹𝑝 ) ∧ 𝑞 ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝑆 𝑝 ) ) )
48 47 3ad2ant3 ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → ( ( 𝐹𝑞 ) 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) ∨ ( ( 𝐹𝑞 ) = ( 𝐹𝑝 ) ∧ 𝑞 ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝑆 𝑝 ) ) )
49 40 45 48 mpjaodan ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) )
50 id ( 𝑡 = 𝑞𝑡 = 𝑞 )
51 fveq2 ( 𝑡 = 𝑞 → ( 𝐹𝑡 ) = ( 𝐹𝑞 ) )
52 51 csbeq1d ( 𝑡 = 𝑞 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 = ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝐵 )
53 50 52 eleq12d ( 𝑡 = 𝑞 → ( 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵𝑞 ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝐵 ) )
54 5 simp2d ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 )
55 54 3ad2ant1 ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → ∀ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵 𝑡 ( 𝐹𝑡 ) / 𝑥 𝐵 )
56 53 55 34 rspcdva ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → 𝑞 ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝐵 )
57 csbeq1 ( 𝑠 = ( 𝐹𝑞 ) → 𝑠 / 𝑥 𝐵 = ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝐵 )
58 57 eliuni ( ( ( 𝐹𝑞 ) ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) ∧ 𝑞 ( 𝐹𝑞 ) / 𝑥 𝐵 ) → 𝑞 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 )
59 49 56 58 syl2anc ( ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) ∧ 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 ) → 𝑞 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 )
60 59 rabssdv ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → { 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 } ⊆ 𝑠 ∈ ( { 𝑟𝐴𝑟 𝑅 ( 𝐹𝑝 ) } ∪ { ( 𝐹𝑝 ) } ) 𝑠 / 𝑥 𝐵 )
61 32 60 ssexd ( ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) ∧ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 ) → { 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 } ∈ V )
62 61 ralrimiva ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) → ∀ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 { 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 } ∈ V )
63 df-se ( 𝑇 Se 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀ 𝑝 𝑥𝐴 𝐵 { 𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑇 𝑝 } ∈ V )
64 62 63 sylibr ( ( 𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀ 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ) → 𝑇 Se 𝑥𝐴 𝐵 )