Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sucelon |
|- ( A e. On <-> suc A e. On ) |
2 |
|
cfval |
|- ( suc A e. On -> ( cf ` suc A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
3 |
1 2
|
sylbi |
|- ( A e. On -> ( cf ` suc A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
4 |
|
cardsn |
|- ( A e. On -> ( card ` { A } ) = 1o ) |
5 |
4
|
eqcomd |
|- ( A e. On -> 1o = ( card ` { A } ) ) |
6 |
|
snidg |
|- ( A e. On -> A e. { A } ) |
7 |
|
elsuci |
|- ( z e. suc A -> ( z e. A \/ z = A ) ) |
8 |
|
onelss |
|- ( A e. On -> ( z e. A -> z C_ A ) ) |
9 |
|
eqimss |
|- ( z = A -> z C_ A ) |
10 |
9
|
a1i |
|- ( A e. On -> ( z = A -> z C_ A ) ) |
11 |
8 10
|
jaod |
|- ( A e. On -> ( ( z e. A \/ z = A ) -> z C_ A ) ) |
12 |
7 11
|
syl5 |
|- ( A e. On -> ( z e. suc A -> z C_ A ) ) |
13 |
|
sseq2 |
|- ( w = A -> ( z C_ w <-> z C_ A ) ) |
14 |
13
|
rspcev |
|- ( ( A e. { A } /\ z C_ A ) -> E. w e. { A } z C_ w ) |
15 |
6 12 14
|
syl6an |
|- ( A e. On -> ( z e. suc A -> E. w e. { A } z C_ w ) ) |
16 |
15
|
ralrimiv |
|- ( A e. On -> A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) |
17 |
|
ssun2 |
|- { A } C_ ( A u. { A } ) |
18 |
|
df-suc |
|- suc A = ( A u. { A } ) |
19 |
17 18
|
sseqtrri |
|- { A } C_ suc A |
20 |
16 19
|
jctil |
|- ( A e. On -> ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) |
21 |
|
snex |
|- { A } e. _V |
22 |
|
fveq2 |
|- ( y = { A } -> ( card ` y ) = ( card ` { A } ) ) |
23 |
22
|
eqeq2d |
|- ( y = { A } -> ( 1o = ( card ` y ) <-> 1o = ( card ` { A } ) ) ) |
24 |
|
sseq1 |
|- ( y = { A } -> ( y C_ suc A <-> { A } C_ suc A ) ) |
25 |
|
rexeq |
|- ( y = { A } -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. { A } z C_ w ) ) |
26 |
25
|
ralbidv |
|- ( y = { A } -> ( A. z e. suc A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) |
27 |
24 26
|
anbi12d |
|- ( y = { A } -> ( ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) <-> ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) ) |
28 |
23 27
|
anbi12d |
|- ( y = { A } -> ( ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( 1o = ( card ` { A } ) /\ ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) ) ) |
29 |
21 28
|
spcev |
|- ( ( 1o = ( card ` { A } ) /\ ( { A } C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. { A } z C_ w ) ) -> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
30 |
5 20 29
|
syl2anc |
|- ( A e. On -> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
31 |
|
1oex |
|- 1o e. _V |
32 |
|
eqeq1 |
|- ( x = 1o -> ( x = ( card ` y ) <-> 1o = ( card ` y ) ) ) |
33 |
32
|
anbi1d |
|- ( x = 1o -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) ) |
34 |
33
|
exbidv |
|- ( x = 1o -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) ) |
35 |
31 34
|
elab |
|- ( 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( 1o = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
36 |
30 35
|
sylibr |
|- ( A e. On -> 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
37 |
|
el1o |
|- ( v e. 1o <-> v = (/) ) |
38 |
|
eqcom |
|- ( (/) = ( card ` y ) <-> ( card ` y ) = (/) ) |
39 |
|
vex |
|- y e. _V |
40 |
|
onssnum |
|- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card ) |
41 |
39 40
|
mpan |
|- ( y C_ On -> y e. dom card ) |
42 |
|
cardnueq0 |
|- ( y e. dom card -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) ) |
43 |
41 42
|
syl |
|- ( y C_ On -> ( ( card ` y ) = (/) <-> y = (/) ) ) |
44 |
38 43
|
syl5bb |
|- ( y C_ On -> ( (/) = ( card ` y ) <-> y = (/) ) ) |
45 |
44
|
biimpa |
|- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> y = (/) ) |
46 |
|
rex0 |
|- -. E. w e. (/) z C_ w |
47 |
46
|
a1i |
|- ( z e. suc A -> -. E. w e. (/) z C_ w ) |
48 |
47
|
nrex |
|- -. E. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w |
49 |
|
nsuceq0 |
|- suc A =/= (/) |
50 |
|
r19.2z |
|- ( ( suc A =/= (/) /\ A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w ) -> E. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w ) |
51 |
49 50
|
mpan |
|- ( A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w -> E. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w ) |
52 |
48 51
|
mto |
|- -. A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w |
53 |
|
rexeq |
|- ( y = (/) -> ( E. w e. y z C_ w <-> E. w e. (/) z C_ w ) ) |
54 |
53
|
ralbidv |
|- ( y = (/) -> ( A. z e. suc A E. w e. y z C_ w <-> A. z e. suc A E. w e. (/) z C_ w ) ) |
55 |
52 54
|
mtbiri |
|- ( y = (/) -> -. A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) |
56 |
45 55
|
syl |
|- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> -. A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) |
57 |
56
|
intnand |
|- ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> -. ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) |
58 |
|
imnan |
|- ( ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) -> -. ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> -. ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
59 |
57 58
|
mpbi |
|- -. ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) |
60 |
|
suceloni |
|- ( A e. On -> suc A e. On ) |
61 |
|
onss |
|- ( suc A e. On -> suc A C_ On ) |
62 |
|
sstr |
|- ( ( y C_ suc A /\ suc A C_ On ) -> y C_ On ) |
63 |
61 62
|
sylan2 |
|- ( ( y C_ suc A /\ suc A e. On ) -> y C_ On ) |
64 |
60 63
|
sylan2 |
|- ( ( y C_ suc A /\ A e. On ) -> y C_ On ) |
65 |
64
|
ancoms |
|- ( ( A e. On /\ y C_ suc A ) -> y C_ On ) |
66 |
65
|
adantrr |
|- ( ( A e. On /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On ) |
67 |
66
|
3adant2 |
|- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> y C_ On ) |
68 |
|
simp2 |
|- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> (/) = ( card ` y ) ) |
69 |
|
simp3 |
|- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) |
70 |
67 68 69
|
jca31 |
|- ( ( A e. On /\ (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
71 |
70
|
3expib |
|- ( A e. On -> ( ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> ( ( y C_ On /\ (/) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) ) |
72 |
59 71
|
mtoi |
|- ( A e. On -> -. ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
73 |
72
|
nexdv |
|- ( A e. On -> -. E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
74 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
75 |
|
eqeq1 |
|- ( x = (/) -> ( x = ( card ` y ) <-> (/) = ( card ` y ) ) ) |
76 |
75
|
anbi1d |
|- ( x = (/) -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) ) |
77 |
76
|
exbidv |
|- ( x = (/) -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) ) |
78 |
74 77
|
elab |
|- ( (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> E. y ( (/) = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) ) |
79 |
73 78
|
sylnibr |
|- ( A e. On -> -. (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
80 |
79
|
adantr |
|- ( ( A e. On /\ v = (/) ) -> -. (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
81 |
|
eleq1 |
|- ( v = (/) -> ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) ) |
82 |
81
|
adantl |
|- ( ( A e. On /\ v = (/) ) -> ( v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } <-> (/) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) ) |
83 |
80 82
|
mtbird |
|- ( ( A e. On /\ v = (/) ) -> -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
84 |
37 83
|
sylan2b |
|- ( ( A e. On /\ v e. 1o ) -> -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
85 |
84
|
ralrimiva |
|- ( A e. On -> A. v e. 1o -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
86 |
|
cardon |
|- ( card ` y ) e. On |
87 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( card ` y ) -> ( x e. On <-> ( card ` y ) e. On ) ) |
88 |
86 87
|
mpbiri |
|- ( x = ( card ` y ) -> x e. On ) |
89 |
88
|
adantr |
|- ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> x e. On ) |
90 |
89
|
exlimiv |
|- ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) -> x e. On ) |
91 |
90
|
abssi |
|- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On |
92 |
|
oneqmini |
|- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } C_ On -> ( ( 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } /\ A. v e. 1o -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) -> 1o = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) ) |
93 |
91 92
|
ax-mp |
|- ( ( 1o e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } /\ A. v e. 1o -. v e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) -> 1o = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
94 |
36 85 93
|
syl2anc |
|- ( A e. On -> 1o = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ suc A /\ A. z e. suc A E. w e. y z C_ w ) ) } ) |
95 |
3 94
|
eqtr4d |
|- ( A e. On -> ( cf ` suc A ) = 1o ) |