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## Theorem fi1uzind

Description: Properties of an ordered pair with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, usually with L = 0 (see opfi1ind ) or L = 1 . (Contributed by AV, 22-Oct-2020) (Revised by AV, 28-Mar-2021)

Ref Expression
Hypotheses fi1uzind.f
`|- F e. _V`
fi1uzind.l
`|- L e. NN0`
fi1uzind.1
`|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ps <-> ph ) )`
fi1uzind.2
`|- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ps <-> th ) )`
fi1uzind.3
`|- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh )`
fi1uzind.4
`|- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( th <-> ch ) )`
fi1uzind.base
`|- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = L ) -> ps )`
fi1uzind.step
`|- ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )`
Assertion fi1uzind
`|- ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ V e. Fin /\ L <_ ( # ` V ) ) -> ph )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fi1uzind.f
` |-  F e. _V`
2 fi1uzind.l
` |-  L e. NN0`
3 fi1uzind.1
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ps <-> ph ) )`
4 fi1uzind.2
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ps <-> th ) )`
5 fi1uzind.3
` |-  ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh )`
6 fi1uzind.4
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( th <-> ch ) )`
7 fi1uzind.base
` |-  ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = L ) -> ps )`
8 fi1uzind.step
` |-  ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )`
9 dfclel
` |-  ( ( # ` V ) e. NN0 <-> E. n ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) )`
10 nn0z
` |-  ( L e. NN0 -> L e. ZZ )`
11 2 10 mp1i
` |-  ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> L e. ZZ )`
12 nn0z
` |-  ( n e. NN0 -> n e. ZZ )`
` |-  ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> n e. ZZ )`
14 breq2
` |-  ( ( # ` V ) = n -> ( L <_ ( # ` V ) <-> L <_ n ) )`
15 14 eqcoms
` |-  ( n = ( # ` V ) -> ( L <_ ( # ` V ) <-> L <_ n ) )`
16 15 biimpcd
` |-  ( L <_ ( # ` V ) -> ( n = ( # ` V ) -> L <_ n ) )`
` |-  ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( n = ( # ` V ) -> L <_ n ) )`
18 17 imp
` |-  ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> L <_ n )`
19 eqeq1
` |-  ( x = L -> ( x = ( # ` v ) <-> L = ( # ` v ) ) )`
20 19 anbi2d
` |-  ( x = L -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) ) )`
21 20 imbi1d
` |-  ( x = L -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
22 21 2albidv
` |-  ( x = L -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
23 eqeq1
` |-  ( x = y -> ( x = ( # ` v ) <-> y = ( # ` v ) ) )`
24 23 anbi2d
` |-  ( x = y -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) ) )`
25 24 imbi1d
` |-  ( x = y -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
26 25 2albidv
` |-  ( x = y -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
27 eqeq1
` |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( x = ( # ` v ) <-> ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) )`
28 27 anbi2d
` |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) )`
29 28 imbi1d
` |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
30 29 2albidv
` |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
31 eqeq1
` |-  ( x = n -> ( x = ( # ` v ) <-> n = ( # ` v ) ) )`
32 31 anbi2d
` |-  ( x = n -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) ) )`
33 32 imbi1d
` |-  ( x = n -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
34 33 2albidv
` |-  ( x = n -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
35 eqcom
` |-  ( L = ( # ` v ) <-> ( # ` v ) = L )`
36 35 7 sylan2b
` |-  ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps )`
37 36 gen2
` |-  A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps )`
38 37 a1i
` |-  ( L e. ZZ -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps ) )`
39 simpl
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> v = w )`
40 simpr
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> e = f )`
41 40 sbceq1d
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> ( [. e / b ]. rh <-> [. f / b ]. rh ) )`
42 39 41 sbceqbid
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh <-> [. w / a ]. [. f / b ]. rh ) )`
43 fveq2
` |-  ( v = w -> ( # ` v ) = ( # ` w ) )`
44 43 eqeq2d
` |-  ( v = w -> ( y = ( # ` v ) <-> y = ( # ` w ) ) )`
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> ( y = ( # ` v ) <-> y = ( # ` w ) ) )`
46 42 45 anbi12d
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) <-> ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) ) )`
47 46 4 imbi12d
` |-  ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) ) )`
48 47 cbval2vw
` |-  ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) )`
49 nn0ge0
` |-  ( L e. NN0 -> 0 <_ L )`
50 0red
` |-  ( y e. ZZ -> 0 e. RR )`
51 nn0re
` |-  ( L e. NN0 -> L e. RR )`
52 2 51 mp1i
` |-  ( y e. ZZ -> L e. RR )`
53 zre
` |-  ( y e. ZZ -> y e. RR )`
54 letr
` |-  ( ( 0 e. RR /\ L e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 0 <_ L /\ L <_ y ) -> 0 <_ y ) )`
55 50 52 53 54 syl3anc
` |-  ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ L /\ L <_ y ) -> 0 <_ y ) )`
56 0nn0
` |-  0 e. NN0`
57 pm3.22
` |-  ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )`
58 0z
` |-  0 e. ZZ`
59 eluz1
` |-  ( 0 e. ZZ -> ( y e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) ) )`
60 58 59 mp1i
` |-  ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) ) )`
61 57 60 mpbird
` |-  ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> y e. ( ZZ>= ` 0 ) )`
62 eluznn0
` |-  ( ( 0 e. NN0 /\ y e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> y e. NN0 )`
63 56 61 62 sylancr
` |-  ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> y e. NN0 )`
64 63 ex
` |-  ( 0 <_ y -> ( y e. ZZ -> y e. NN0 ) )`
65 55 64 syl6com
` |-  ( ( 0 <_ L /\ L <_ y ) -> ( y e. ZZ -> ( y e. ZZ -> y e. NN0 ) ) )`
66 65 ex
` |-  ( 0 <_ L -> ( L <_ y -> ( y e. ZZ -> ( y e. ZZ -> y e. NN0 ) ) ) )`
67 66 com14
` |-  ( y e. ZZ -> ( L <_ y -> ( y e. ZZ -> ( 0 <_ L -> y e. NN0 ) ) ) )`
68 67 pm2.43a
` |-  ( y e. ZZ -> ( L <_ y -> ( 0 <_ L -> y e. NN0 ) ) )`
69 68 imp
` |-  ( ( y e. ZZ /\ L <_ y ) -> ( 0 <_ L -> y e. NN0 ) )`
70 69 com12
` |-  ( 0 <_ L -> ( ( y e. ZZ /\ L <_ y ) -> y e. NN0 ) )`
71 2 49 70 mp2b
` |-  ( ( y e. ZZ /\ L <_ y ) -> y e. NN0 )`
` |-  ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) -> y e. NN0 )`
73 eqcom
` |-  ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) <-> ( # ` v ) = ( y + 1 ) )`
74 nn0p1gt0
` |-  ( y e. NN0 -> 0 < ( y + 1 ) )`
` |-  ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> 0 < ( y + 1 ) )`
76 simpr
` |-  ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( # ` v ) = ( y + 1 ) )`
77 75 76 breqtrrd
` |-  ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> 0 < ( # ` v ) )`
78 73 77 sylan2b
` |-  ( ( y e. NN0 /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> 0 < ( # ` v ) )`
` |-  ( ( y e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> 0 < ( # ` v ) )`
80 hashgt0elex
` |-  ( ( v e. _V /\ 0 < ( # ` v ) ) -> E. n n e. v )`
81 vex
` |-  v e. _V`
82 81 a1i
` |-  ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> v e. _V )`
83 simpr
` |-  ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> n e. v )`
84 simpl
` |-  ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> y e. NN0 )`
85 hashdifsnp1
` |-  ( ( v e. _V /\ n e. v /\ y e. NN0 ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )`
86 73 85 syl5bi
` |-  ( ( v e. _V /\ n e. v /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )`
87 82 83 84 86 syl3anc
` |-  ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )`
88 87 imp
` |-  ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y )`
89 peano2nn0
` |-  ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN0 )`
` |-  ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )`
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )`
92 simpr
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> [. v / a ]. [. e / b ]. rh )`
93 simplrr
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( y + 1 ) = ( # ` v ) )`
94 simprlr
` |-  ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> n e. v )`
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> n e. v )`
96 92 93 95 3jca
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) )`
97 91 96 jca
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) ) )`
98 81 difexi
` |-  ( v \ { n } ) e. _V`
99 simpl
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> w = ( v \ { n } ) )`
100 simpr
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> f = F )`
101 100 sbceq1d
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( [. f / b ]. rh <-> [. F / b ]. rh ) )`
102 99 101 sbceqbid
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh <-> [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) )`
103 eqcom
` |-  ( y = ( # ` w ) <-> ( # ` w ) = y )`
104 fveqeq2
` |-  ( w = ( v \ { n } ) -> ( ( # ` w ) = y <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )`
105 103 104 syl5bb
` |-  ( w = ( v \ { n } ) -> ( y = ( # ` w ) <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )`
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( y = ( # ` w ) <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )`
107 102 106 anbi12d
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) <-> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) ) )`
108 107 6 imbi12d
` |-  ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) <-> ( ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) ) )`
109 108 spc2gv
` |-  ( ( ( v \ { n } ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ( ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) ) )`
110 98 1 109 mp2an
` |-  ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ( ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) )`
111 110 expdimp
` |-  ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ch ) )`
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ch ) )`
113 73 3anbi2i
` |-  ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) )`
114 113 anbi2i
` |-  ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) ) <-> ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) )`
115 114 8 sylanb
` |-  ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )`
116 97 112 115 syl6an
` |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ps ) )`
117 116 exp41
` |-  ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ps ) ) ) ) )`
118 117 com15
` |-  ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
119 118 com23
` |-  ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
120 88 119 mpcom
` |-  ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) )`
121 120 ex
` |-  ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
122 121 com23
` |-  ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
123 122 ex
` |-  ( y e. NN0 -> ( n e. v -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )`
124 123 com15
` |-  ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( n e. v -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )`
125 124 imp
` |-  ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
126 5 125 mpd
` |-  ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) )`
127 126 ex
` |-  ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( n e. v -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
128 127 com4l
` |-  ( n e. v -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
129 128 exlimiv
` |-  ( E. n n e. v -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
130 80 129 syl
` |-  ( ( v e. _V /\ 0 < ( # ` v ) ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
131 130 ex
` |-  ( v e. _V -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )`
132 131 com25
` |-  ( v e. _V -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )`
133 132 elv
` |-  ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )`
134 133 imp
` |-  ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) )`
135 134 impcom
` |-  ( ( y e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) )`
136 79 135 mpd
` |-  ( ( y e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) )`
137 72 136 sylan
` |-  ( ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) )`
138 137 impancom
` |-  ( ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) /\ A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) )`
139 138 alrimivv
` |-  ( ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) /\ A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) )`
140 139 ex
` |-  ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
141 48 140 syl5bi
` |-  ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )`
142 22 26 30 34 38 141 uzind
` |-  ( ( L e. ZZ /\ n e. ZZ /\ L <_ n ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) )`
143 11 13 18 142 syl3anc
` |-  ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) )`
144 sbcex
` |-  ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> V e. _V )`
145 sbccom
` |-  ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh <-> [. E / b ]. [. V / a ]. rh )`
146 sbcex
` |-  ( [. E / b ]. [. V / a ]. rh -> E e. _V )`
147 145 146 sylbi
` |-  ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> E e. _V )`
148 144 147 jca
` |-  ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )`
149 simpl
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> v = V )`
150 simpr
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> e = E )`
151 150 sbceq1d
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> ( [. e / b ]. rh <-> [. E / b ]. rh ) )`
152 149 151 sbceqbid
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh <-> [. V / a ]. [. E / b ]. rh ) )`
153 fveq2
` |-  ( v = V -> ( # ` v ) = ( # ` V ) )`
154 153 eqeq2d
` |-  ( v = V -> ( n = ( # ` v ) <-> n = ( # ` V ) ) )`
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> ( n = ( # ` v ) <-> n = ( # ` V ) ) )`
156 152 155 anbi12d
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) <-> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) ) )`
157 156 3 imbi12d
` |-  ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) ) )`
158 157 spc2gv
` |-  ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) ) )`
159 158 com23
` |-  ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) ) )`
160 159 expd
` |-  ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( n = ( # ` V ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) ) ) )`
161 148 160 mpcom
` |-  ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( n = ( # ` V ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) ) )`
162 161 imp
` |-  ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) )`
163 143 162 syl5com
` |-  ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) )`
164 163 exp31
` |-  ( L <_ ( # ` V ) -> ( n e. NN0 -> ( n = ( # ` V ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) ) ) )`
165 164 com14
` |-  ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ( n e. NN0 -> ( n = ( # ` V ) -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) )`
166 165 expcom
` |-  ( n = ( # ` V ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( n e. NN0 -> ( n = ( # ` V ) -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) ) )`
167 166 com24
` |-  ( n = ( # ` V ) -> ( n = ( # ` V ) -> ( n e. NN0 -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) ) )`
168 167 pm2.43i
` |-  ( n = ( # ` V ) -> ( n e. NN0 -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) )`
169 168 imp
` |-  ( ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )`
170 169 exlimiv
` |-  ( E. n ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )`
171 9 170 sylbi
` |-  ( ( # ` V ) e. NN0 -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )`
172 hashcl
` |-  ( V e. Fin -> ( # ` V ) e. NN0 )`
173 171 172 syl11
` |-  ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( V e. Fin -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )`
174 173 3imp
` |-  ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ V e. Fin /\ L <_ ( # ` V ) ) -> ph )`