Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem21.f |
|- ( ph -> F : RR --> RR ) |
2 |
|
fourierdlem21.c |
|- C = ( -u _pi (,) _pi ) |
3 |
|
fourierdlem21.fibl |
|- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 ) |
4 |
|
fourierdlem21.b |
|- B = ( n e. NN |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / _pi ) ) |
5 |
|
fourierdlem21.n |
|- ( ph -> N e. NN ) |
6 |
|
nnnn0 |
|- ( n e. NN -> n e. NN0 ) |
7 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : RR --> RR ) |
8 |
|
ioossre |
|- ( -u _pi (,) _pi ) C_ RR |
9 |
|
id |
|- ( x e. C -> x e. C ) |
10 |
9 2
|
eleqtrdi |
|- ( x e. C -> x e. ( -u _pi (,) _pi ) ) |
11 |
8 10
|
sseldi |
|- ( x e. C -> x e. RR ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. RR ) |
13 |
7 12
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR ) |
14 |
13
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR ) |
15 |
|
nn0re |
|- ( n e. NN0 -> n e. RR ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> n e. RR ) |
17 |
11
|
adantl |
|- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> x e. RR ) |
18 |
16 17
|
remulcld |
|- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( n x. x ) e. RR ) |
19 |
18
|
resincld |
|- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( sin ` ( n x. x ) ) e. RR ) |
20 |
19
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( sin ` ( n x. x ) ) e. RR ) |
21 |
14 20
|
remulcld |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) e. RR ) |
22 |
|
ioombl |
|- ( -u _pi (,) _pi ) e. dom vol |
23 |
2 22
|
eqeltri |
|- C e. dom vol |
24 |
23
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. dom vol ) |
25 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) |
26 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) |
27 |
24 20 14 25 26
|
offval2 |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( sin ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) ) |
28 |
20
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( sin ` ( n x. x ) ) e. CC ) |
29 |
14
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
30 |
28 29
|
mulcomd |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( sin ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) |
31 |
30
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( sin ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) ) |
32 |
27 31
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) = ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) ) |
33 |
|
sincn |
|- sin e. ( CC -cn-> CC ) |
34 |
33
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> sin e. ( CC -cn-> CC ) ) |
35 |
2 8
|
eqsstri |
|- C C_ RR |
36 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
37 |
35 36
|
sstri |
|- C C_ CC |
38 |
37
|
a1i |
|- ( n e. NN0 -> C C_ CC ) |
39 |
15
|
recnd |
|- ( n e. NN0 -> n e. CC ) |
40 |
|
ssid |
|- CC C_ CC |
41 |
40
|
a1i |
|- ( n e. NN0 -> CC C_ CC ) |
42 |
38 39 41
|
constcncfg |
|- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> n ) e. ( C -cn-> CC ) ) |
43 |
38 41
|
idcncfg |
|- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) ) |
44 |
42 43
|
mulcncf |
|- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( n x. x ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) |
45 |
44
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( n x. x ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) |
46 |
34 45
|
cncfmpt1f |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) |
47 |
|
cnmbf |
|- ( ( C e. dom vol /\ ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) -> ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn ) |
48 |
23 46 47
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn ) |
49 |
1
|
feqmptd |
|- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) ) |
50 |
49
|
reseq1d |
|- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) ) |
51 |
|
resmpt |
|- ( C C_ RR -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) |
52 |
35 51
|
mp1i |
|- ( ph -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) |
53 |
50 52
|
eqtr2d |
|- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( F |` C ) ) |
54 |
53 3
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) |
55 |
54
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) |
56 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
57 |
|
simpr |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) |
58 |
|
nfv |
|- F/ x n e. NN0 |
59 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ x ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) |
60 |
59
|
nfdm |
|- F/_ x dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) |
61 |
60
|
nfcri |
|- F/ x y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) |
62 |
58 61
|
nfan |
|- F/ x ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) |
63 |
19
|
ex |
|- ( n e. NN0 -> ( x e. C -> ( sin ` ( n x. x ) ) e. RR ) ) |
64 |
63
|
adantr |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( x e. C -> ( sin ` ( n x. x ) ) e. RR ) ) |
65 |
62 64
|
ralrimi |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) -> A. x e. C ( sin ` ( n x. x ) ) e. RR ) |
66 |
|
dmmptg |
|- ( A. x e. C ( sin ` ( n x. x ) ) e. RR -> dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) = C ) |
67 |
65 66
|
syl |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) -> dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) = C ) |
68 |
57 67
|
eleqtrd |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. C ) |
69 |
|
eqidd |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) |
70 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( n x. x ) = ( n x. y ) ) |
71 |
70
|
fveq2d |
|- ( x = y -> ( sin ` ( n x. x ) ) = ( sin ` ( n x. y ) ) ) |
72 |
71
|
adantl |
|- ( ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) /\ x = y ) -> ( sin ` ( n x. x ) ) = ( sin ` ( n x. y ) ) ) |
73 |
|
simpr |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. C ) |
74 |
15
|
adantr |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> n e. RR ) |
75 |
35 73
|
sseldi |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. RR ) |
76 |
74 75
|
remulcld |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( n x. y ) e. RR ) |
77 |
76
|
resincld |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( sin ` ( n x. y ) ) e. RR ) |
78 |
69 72 73 77
|
fvmptd |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) = ( sin ` ( n x. y ) ) ) |
79 |
78
|
fveq2d |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( sin ` ( n x. y ) ) ) ) |
80 |
|
abssinbd |
|- ( ( n x. y ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 ) |
81 |
76 80
|
syl |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( sin ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 ) |
82 |
79 81
|
eqbrtrd |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) |
83 |
68 82
|
syldan |
|- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) |
84 |
83
|
ralrimiva |
|- ( n e. NN0 -> A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) |
85 |
|
breq2 |
|- ( b = 1 -> ( ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) ) |
86 |
85
|
ralbidv |
|- ( b = 1 -> ( A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) ) |
87 |
86
|
rspcev |
|- ( ( 1 e. RR /\ A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) |
88 |
56 84 87
|
sylancr |
|- ( n e. NN0 -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) |
89 |
88
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) |
90 |
|
bddmulibl |
|- ( ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 /\ E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) -> ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 ) |
91 |
48 55 89 90
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( sin ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 ) |
92 |
32 91
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 ) |
93 |
21 92
|
itgrecl |
|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) |
94 |
6 93
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) |
95 |
|
pire |
|- _pi e. RR |
96 |
95
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. RR ) |
97 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
98 |
|
pipos |
|- 0 < _pi |
99 |
97 98
|
gtneii |
|- _pi =/= 0 |
100 |
99
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi =/= 0 ) |
101 |
94 96 100
|
redivcld |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / _pi ) e. RR ) |
102 |
101 4
|
fmptd |
|- ( ph -> B : NN --> RR ) |
103 |
102 5
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( B ` N ) e. RR ) |
104 |
5
|
nnnn0d |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
105 |
|
eleq1 |
|- ( n = N -> ( n e. NN0 <-> N e. NN0 ) ) |
106 |
105
|
anbi2d |
|- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. NN0 ) <-> ( ph /\ N e. NN0 ) ) ) |
107 |
|
simpl |
|- ( ( n = N /\ x e. C ) -> n = N ) |
108 |
107
|
oveq1d |
|- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( n x. x ) = ( N x. x ) ) |
109 |
108
|
fveq2d |
|- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( sin ` ( n x. x ) ) = ( sin ` ( N x. x ) ) ) |
110 |
109
|
oveq2d |
|- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) = ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) |
111 |
110
|
mpteq2dva |
|- ( n = N -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) ) |
112 |
111
|
eleq1d |
|- ( n = N -> ( ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 <-> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 ) ) |
113 |
106 112
|
imbi12d |
|- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 ) ) ) |
114 |
113 92
|
vtoclg |
|- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 ) ) |
115 |
114
|
anabsi7 |
|- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 ) |
116 |
104 115
|
mpdan |
|- ( ph -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 ) |
117 |
5
|
ancli |
|- ( ph -> ( ph /\ N e. NN ) ) |
118 |
|
eleq1 |
|- ( n = N -> ( n e. NN <-> N e. NN ) ) |
119 |
118
|
anbi2d |
|- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. NN ) <-> ( ph /\ N e. NN ) ) ) |
120 |
110
|
itgeq2dv |
|- ( n = N -> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x = S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x ) |
121 |
120
|
eleq1d |
|- ( n = N -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR <-> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) |
122 |
119 121
|
imbi12d |
|- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. NN ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) ) |
123 |
122 94
|
vtoclg |
|- ( N e. NN -> ( ( ph /\ N e. NN ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) |
124 |
5 117 123
|
sylc |
|- ( ph -> S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) |
125 |
103 116 124
|
jca31 |
|- ( ph -> ( ( ( B ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) |