Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ishpg.p |
|- P = ( Base ` G ) |
2 |
|
ishpg.i |
|- I = ( Itv ` G ) |
3 |
|
ishpg.l |
|- L = ( LineG ` G ) |
4 |
|
ishpg.o |
|- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) } |
5 |
|
ishpg.g |
|- ( ph -> G e. TarskiG ) |
6 |
|
ishpg.d |
|- ( ph -> D e. ran L ) |
7 |
|
elex |
|- ( G e. TarskiG -> G e. _V ) |
8 |
|
fveq2 |
|- ( g = G -> ( LineG ` g ) = ( LineG ` G ) ) |
9 |
8 3
|
eqtr4di |
|- ( g = G -> ( LineG ` g ) = L ) |
10 |
9
|
rneqd |
|- ( g = G -> ran ( LineG ` g ) = ran L ) |
11 |
|
simpl |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> p = P ) |
12 |
11
|
eqcomd |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> P = p ) |
13 |
12
|
difeq1d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( P \ d ) = ( p \ d ) ) |
14 |
13
|
eleq2d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( a e. ( P \ d ) <-> a e. ( p \ d ) ) ) |
15 |
13
|
eleq2d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( c e. ( P \ d ) <-> c e. ( p \ d ) ) ) |
16 |
14 15
|
anbi12d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) ) ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> i = I ) |
18 |
17
|
eqcomd |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> I = i ) |
19 |
18
|
oveqd |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( a I c ) = ( a i c ) ) |
20 |
19
|
eleq2d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( t e. ( a I c ) <-> t e. ( a i c ) ) ) |
21 |
20
|
rexbidv |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( E. t e. d t e. ( a I c ) <-> E. t e. d t e. ( a i c ) ) ) |
22 |
16 21
|
anbi12d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) <-> ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) ) ) |
23 |
13
|
eleq2d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( b e. ( P \ d ) <-> b e. ( p \ d ) ) ) |
24 |
23 15
|
anbi12d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) ) ) |
25 |
18
|
oveqd |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( b I c ) = ( b i c ) ) |
26 |
25
|
eleq2d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( t e. ( b I c ) <-> t e. ( b i c ) ) ) |
27 |
26
|
rexbidv |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( E. t e. d t e. ( b I c ) <-> E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) |
28 |
24 27
|
anbi12d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) <-> ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) ) |
29 |
22 28
|
anbi12d |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) ) ) |
30 |
12 29
|
rexeqbidv |
|- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) ) ) |
31 |
1 2 30
|
sbcie2s |
|- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) <-> E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
opabbidv |
|- ( g = G -> { <. a , b >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) |
33 |
10 32
|
mpteq12dv |
|- ( g = G -> ( d e. ran ( LineG ` g ) |-> { <. a , b >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) } ) = ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) ) |
34 |
|
df-hpg |
|- hpG = ( g e. _V |-> ( d e. ran ( LineG ` g ) |-> { <. a , b >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) } ) ) |
35 |
3
|
fvexi |
|- L e. _V |
36 |
35
|
rnex |
|- ran L e. _V |
37 |
36
|
mptex |
|- ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) e. _V |
38 |
33 34 37
|
fvmpt |
|- ( G e. _V -> ( hpG ` G ) = ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) ) |
39 |
5 7 38
|
3syl |
|- ( ph -> ( hpG ` G ) = ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) ) |
40 |
|
difeq2 |
|- ( d = D -> ( P \ d ) = ( P \ D ) ) |
41 |
40
|
eleq2d |
|- ( d = D -> ( a e. ( P \ d ) <-> a e. ( P \ D ) ) ) |
42 |
40
|
eleq2d |
|- ( d = D -> ( c e. ( P \ d ) <-> c e. ( P \ D ) ) ) |
43 |
41 42
|
anbi12d |
|- ( d = D -> ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) ) |
44 |
|
rexeq |
|- ( d = D -> ( E. t e. d t e. ( a I c ) <-> E. t e. D t e. ( a I c ) ) ) |
45 |
43 44
|
anbi12d |
|- ( d = D -> ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) ) ) |
46 |
40
|
eleq2d |
|- ( d = D -> ( b e. ( P \ d ) <-> b e. ( P \ D ) ) ) |
47 |
46 42
|
anbi12d |
|- ( d = D -> ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) ) |
48 |
|
rexeq |
|- ( d = D -> ( E. t e. d t e. ( b I c ) <-> E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) |
49 |
47 48
|
anbi12d |
|- ( d = D -> ( ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) |
50 |
45 49
|
anbi12d |
|- ( d = D -> ( ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) ) |
51 |
50
|
rexbidv |
|- ( d = D -> ( E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) ) |
52 |
51
|
opabbidv |
|- ( d = D -> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } ) |
53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d = D ) -> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } ) |
54 |
|
df-xp |
|- ( P X. P ) = { <. a , b >. | ( a e. P /\ b e. P ) } |
55 |
1
|
fvexi |
|- P e. _V |
56 |
55 55
|
xpex |
|- ( P X. P ) e. _V |
57 |
54 56
|
eqeltrri |
|- { <. a , b >. | ( a e. P /\ b e. P ) } e. _V |
58 |
|
eldifi |
|- ( a e. ( P \ D ) -> a e. P ) |
59 |
|
eldifi |
|- ( b e. ( P \ D ) -> b e. P ) |
60 |
58 59
|
anim12i |
|- ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) ) |
61 |
60
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) ) |
62 |
61
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) ) |
63 |
62
|
rexlimivw |
|- ( E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) ) |
64 |
63
|
ssopab2i |
|- { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } C_ { <. a , b >. | ( a e. P /\ b e. P ) } |
65 |
57 64
|
ssexi |
|- { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } e. _V |
66 |
65
|
a1i |
|- ( ph -> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } e. _V ) |
67 |
39 53 6 66
|
fvmptd |
|- ( ph -> ( ( hpG ` G ) ` D ) = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } ) |
68 |
|
vex |
|- a e. _V |
69 |
|
vex |
|- c e. _V |
70 |
|
eleq1w |
|- ( e = a -> ( e e. ( P \ D ) <-> a e. ( P \ D ) ) ) |
71 |
70
|
anbi1d |
|- ( e = a -> ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) ) ) |
72 |
|
oveq1 |
|- ( e = a -> ( e I f ) = ( a I f ) ) |
73 |
72
|
eleq2d |
|- ( e = a -> ( t e. ( e I f ) <-> t e. ( a I f ) ) ) |
74 |
73
|
rexbidv |
|- ( e = a -> ( E. t e. D t e. ( e I f ) <-> E. t e. D t e. ( a I f ) ) ) |
75 |
71 74
|
anbi12d |
|- ( e = a -> ( ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I f ) ) ) ) |
76 |
|
eleq1w |
|- ( f = c -> ( f e. ( P \ D ) <-> c e. ( P \ D ) ) ) |
77 |
76
|
anbi2d |
|- ( f = c -> ( ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) ) |
78 |
|
oveq2 |
|- ( f = c -> ( a I f ) = ( a I c ) ) |
79 |
78
|
eleq2d |
|- ( f = c -> ( t e. ( a I f ) <-> t e. ( a I c ) ) ) |
80 |
79
|
rexbidv |
|- ( f = c -> ( E. t e. D t e. ( a I f ) <-> E. t e. D t e. ( a I c ) ) ) |
81 |
77 80
|
anbi12d |
|- ( f = c -> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I f ) ) <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) ) ) |
82 |
|
simpl |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> a = e ) |
83 |
82
|
eleq1d |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( a e. ( P \ D ) <-> e e. ( P \ D ) ) ) |
84 |
|
simpr |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> b = f ) |
85 |
84
|
eleq1d |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( b e. ( P \ D ) <-> f e. ( P \ D ) ) ) |
86 |
83 85
|
anbi12d |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) <-> ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) ) ) |
87 |
|
oveq12 |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( a I b ) = ( e I f ) ) |
88 |
87
|
eleq2d |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( t e. ( a I b ) <-> t e. ( e I f ) ) ) |
89 |
88
|
rexbidv |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( E. t e. D t e. ( a I b ) <-> E. t e. D t e. ( e I f ) ) ) |
90 |
86 89
|
anbi12d |
|- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) <-> ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) ) ) |
91 |
90
|
cbvopabv |
|- { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) } = { <. e , f >. | ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) } |
92 |
4 91
|
eqtri |
|- O = { <. e , f >. | ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) } |
93 |
68 69 75 81 92
|
brab |
|- ( a O c <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) ) |
94 |
|
vex |
|- b e. _V |
95 |
|
eleq1w |
|- ( e = b -> ( e e. ( P \ D ) <-> b e. ( P \ D ) ) ) |
96 |
95
|
anbi1d |
|- ( e = b -> ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) ) ) |
97 |
|
oveq1 |
|- ( e = b -> ( e I f ) = ( b I f ) ) |
98 |
97
|
eleq2d |
|- ( e = b -> ( t e. ( e I f ) <-> t e. ( b I f ) ) ) |
99 |
98
|
rexbidv |
|- ( e = b -> ( E. t e. D t e. ( e I f ) <-> E. t e. D t e. ( b I f ) ) ) |
100 |
96 99
|
anbi12d |
|- ( e = b -> ( ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I f ) ) ) ) |
101 |
76
|
anbi2d |
|- ( f = c -> ( ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) ) |
102 |
|
oveq2 |
|- ( f = c -> ( b I f ) = ( b I c ) ) |
103 |
102
|
eleq2d |
|- ( f = c -> ( t e. ( b I f ) <-> t e. ( b I c ) ) ) |
104 |
103
|
rexbidv |
|- ( f = c -> ( E. t e. D t e. ( b I f ) <-> E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) |
105 |
101 104
|
anbi12d |
|- ( f = c -> ( ( ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I f ) ) <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) |
106 |
94 69 100 105 92
|
brab |
|- ( b O c <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) |
107 |
93 106
|
anbi12i |
|- ( ( a O c /\ b O c ) <-> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) |
108 |
107
|
rexbii |
|- ( E. c e. P ( a O c /\ b O c ) <-> E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) |
109 |
108
|
opabbii |
|- { <. a , b >. | E. c e. P ( a O c /\ b O c ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } |
110 |
67 109
|
eqtr4di |
|- ( ph -> ( ( hpG ` G ) ` D ) = { <. a , b >. | E. c e. P ( a O c /\ b O c ) } ) |