Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
limsupre3uzlem.1 |
|- F/_ j F |
2 |
|
limsupre3uzlem.2 |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
3 |
|
limsupre3uzlem.3 |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
4 |
|
limsupre3uzlem.4 |
|- ( ph -> F : Z --> RR* ) |
5 |
|
uzssre |
|- ( ZZ>= ` M ) C_ RR |
6 |
3 5
|
eqsstri |
|- Z C_ RR |
7 |
6
|
a1i |
|- ( ph -> Z C_ RR ) |
8 |
1 7 4
|
limsupre3 |
|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) ) ) |
9 |
|
breq1 |
|- ( y = k -> ( y <_ j <-> k <_ j ) ) |
10 |
9
|
anbi1d |
|- ( y = k -> ( ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) |
11 |
10
|
rexbidv |
|- ( y = k -> ( E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) |
12 |
11
|
cbvralvw |
|- ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
13 |
12
|
biimpi |
|- ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
14 |
|
nfra1 |
|- F/ k A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> k e. Z ) |
16 |
6 15
|
sseldi |
|- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> k e. RR ) |
17 |
|
rspa |
|- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. RR ) -> E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
18 |
16 17
|
syldan |
|- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
19 |
|
nfv |
|- F/ j k e. Z |
20 |
|
nfre1 |
|- F/ j E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) |
21 |
|
eqid |
|- ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` k ) |
22 |
3
|
eluzelz2 |
|- ( k e. Z -> k e. ZZ ) |
23 |
22
|
3ad2ant1 |
|- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> k e. ZZ ) |
24 |
3
|
eluzelz2 |
|- ( j e. Z -> j e. ZZ ) |
25 |
24
|
3ad2ant2 |
|- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ZZ ) |
26 |
|
simp3 |
|- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> k <_ j ) |
27 |
21 23 25 26
|
eluzd |
|- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) ) |
28 |
27
|
3adant3r |
|- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) ) |
29 |
|
simp3r |
|- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> x <_ ( F ` j ) ) |
30 |
|
rspe |
|- ( ( j e. ( ZZ>= ` k ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
31 |
28 29 30
|
syl2anc |
|- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
32 |
31
|
3exp |
|- ( k e. Z -> ( j e. Z -> ( ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) ) ) |
33 |
19 20 32
|
rexlimd |
|- ( k e. Z -> ( E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) ) |
34 |
33
|
imp |
|- ( ( k e. Z /\ E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
35 |
15 18 34
|
syl2anc |
|- ( ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ k e. Z ) -> E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
36 |
14 35
|
ralrimia |
|- ( A. k e. RR E. j e. Z ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
37 |
13 36
|
syl |
|- ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
38 |
37
|
a1i |
|- ( ph -> ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) ) |
39 |
|
iftrue |
|- ( M <_ ( |^ ` y ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) = ( |^ ` y ) ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ ( |^ ` y ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) = ( |^ ` y ) ) |
41 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ ( |^ ` y ) ) -> M e. ZZ ) |
42 |
|
ceilcl |
|- ( y e. RR -> ( |^ ` y ) e. ZZ ) |
43 |
42
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ ( |^ ` y ) ) -> ( |^ ` y ) e. ZZ ) |
44 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ ( |^ ` y ) ) -> M <_ ( |^ ` y ) ) |
45 |
3 41 43 44
|
eluzd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ ( |^ ` y ) ) -> ( |^ ` y ) e. Z ) |
46 |
40 45
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ M <_ ( |^ ` y ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z ) |
47 |
|
iffalse |
|- ( -. M <_ ( |^ ` y ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) = M ) |
48 |
47
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. M <_ ( |^ ` y ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) = M ) |
49 |
2 3
|
uzidd2 |
|- ( ph -> M e. Z ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. M <_ ( |^ ` y ) ) -> M e. Z ) |
51 |
48 50
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ -. M <_ ( |^ ` y ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z ) |
52 |
51
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ -. M <_ ( |^ ` y ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z ) |
53 |
46 52
|
pm2.61dan |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z ) |
54 |
53
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z ) |
55 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
56 |
|
fveq2 |
|- ( k = if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) |
57 |
56
|
rexeqdv |
|- ( k = if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) -> ( E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) ) ) |
58 |
57
|
rspcva |
|- ( ( if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) ) |
59 |
54 55 58
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) ) |
60 |
|
nfv |
|- F/ j ph |
61 |
19
|
nfci |
|- F/_ j Z |
62 |
61 20
|
nfralw |
|- F/ j A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) |
63 |
60 62
|
nfan |
|- F/ j ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) |
64 |
|
nfv |
|- F/ j y e. RR |
65 |
63 64
|
nfan |
|- F/ j ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) |
66 |
|
nfre1 |
|- F/ j E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) |
67 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> M e. ZZ ) |
68 |
|
eluzelz |
|- ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) -> j e. ZZ ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> j e. ZZ ) |
70 |
67
|
zred |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> M e. RR ) |
71 |
6 53
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. RR ) |
72 |
71
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. RR ) |
73 |
69
|
zred |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> j e. RR ) |
74 |
6 49
|
sseldi |
|- ( ph -> M e. RR ) |
75 |
74
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> M e. RR ) |
76 |
42
|
zred |
|- ( y e. RR -> ( |^ ` y ) e. RR ) |
77 |
76
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( |^ ` y ) e. RR ) |
78 |
|
max1 |
|- ( ( M e. RR /\ ( |^ ` y ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) |
79 |
75 77 78
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) |
80 |
79
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> M <_ if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) |
81 |
|
eluzle |
|- ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) <_ j ) |
82 |
81
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) <_ j ) |
83 |
70 72 73 80 82
|
letrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> M <_ j ) |
84 |
3 67 69 83
|
eluzd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> j e. Z ) |
85 |
84
|
3adant3 |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> j e. Z ) |
86 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> y e. RR ) |
87 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR ) |
88 |
|
ceilge |
|- ( y e. RR -> y <_ ( |^ ` y ) ) |
89 |
88
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y <_ ( |^ ` y ) ) |
90 |
|
max2 |
|- ( ( M e. RR /\ ( |^ ` y ) e. RR ) -> ( |^ ` y ) <_ if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) |
91 |
75 77 90
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( |^ ` y ) <_ if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) |
92 |
87 77 71 89 91
|
letrd |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y <_ if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) |
93 |
92
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> y <_ if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) |
94 |
86 72 73 93 82
|
letrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> y <_ j ) |
95 |
94
|
3adant3 |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> y <_ j ) |
96 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> x <_ ( F ` j ) ) |
97 |
95 96
|
jca |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
98 |
|
rspe |
|- ( ( j e. Z /\ ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
99 |
85 97 98
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
100 |
99
|
3exp |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) -> ( x <_ ( F ` j ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) ) |
101 |
100
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) -> ( x <_ ( F ` j ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) ) |
102 |
65 66 101
|
rexlimd |
|- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> ( E. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) x <_ ( F ` j ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) |
103 |
59 102
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) /\ y e. RR ) -> E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
104 |
103
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) -> A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) |
105 |
104
|
ex |
|- ( ph -> ( A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) -> A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) |
106 |
38 105
|
impbid |
|- ( ph -> ( A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) ) |
107 |
106
|
rexbidv |
|- ( ph -> ( E. x e. RR A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) ) ) |
108 |
53
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z ) |
109 |
60 64
|
nfan |
|- F/ j ( ph /\ y e. RR ) |
110 |
|
nfra1 |
|- F/ j A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) |
111 |
109 110
|
nfan |
|- F/ j ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
112 |
94
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> y <_ j ) |
113 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
114 |
84
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> j e. Z ) |
115 |
|
rspa |
|- ( ( A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z ) -> ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
116 |
113 114 115
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
117 |
112 116
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ) -> ( F ` j ) <_ x ) |
118 |
117
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
119 |
111 118
|
ralrimi |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x ) |
120 |
56
|
raleqdv |
|- ( k = if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x ) ) |
121 |
120
|
rspcev |
|- ( ( if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ ( |^ ` y ) , ( |^ ` y ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) |
122 |
108 119 121
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) |
123 |
122
|
rexlimdva2 |
|- ( ph -> ( E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) |
124 |
6
|
sseli |
|- ( k e. Z -> k e. RR ) |
125 |
124
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> k e. RR ) |
126 |
|
nfra1 |
|- F/ j A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x |
127 |
19 126
|
nfan |
|- F/ j ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) |
128 |
|
simp1r |
|- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) |
129 |
27
|
3adant1r |
|- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) ) |
130 |
|
rspa |
|- ( ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) <_ x ) |
131 |
128 129 130
|
syl2anc |
|- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) <_ x ) |
132 |
131
|
3exp |
|- ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> ( j e. Z -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) ) |
133 |
127 132
|
ralrimi |
|- ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
134 |
133
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
135 |
9
|
rspceaimv |
|- ( ( k e. RR /\ A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
136 |
125 134 135
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) |
137 |
136
|
rexlimdva2 |
|- ( ph -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x -> E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) ) |
138 |
123 137
|
impbid |
|- ( ph -> ( E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) |
139 |
138
|
rexbidv |
|- ( ph -> ( E. x e. RR E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) |
140 |
107 139
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( E. x e. RR A. y e. RR E. j e. Z ( y <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. y e. RR A. j e. Z ( y <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) ) |
141 |
8 140
|
bitrd |
|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. Z E. j e. ( ZZ>= ` k ) x <_ ( F ` j ) /\ E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) ) |