Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mndind.ch |
|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) ) |
2 |
|
mndind.th |
|- ( x = ( y .+ z ) -> ( ps <-> th ) ) |
3 |
|
mndind.ta |
|- ( x = .0. -> ( ps <-> ta ) ) |
4 |
|
mndind.et |
|- ( x = A -> ( ps <-> et ) ) |
5 |
|
mndind.0g |
|- .0. = ( 0g ` M ) |
6 |
|
mndind.pg |
|- .+ = ( +g ` M ) |
7 |
|
mndind.b |
|- B = ( Base ` M ) |
8 |
|
mndind.m |
|- ( ph -> M e. Mnd ) |
9 |
|
mndind.g |
|- ( ph -> G C_ B ) |
10 |
|
mndind.k |
|- ( ph -> B = ( ( mrCls ` ( SubMnd ` M ) ) ` G ) ) |
11 |
|
mndind.i1 |
|- ( ph -> ta ) |
12 |
|
mndind.i2 |
|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. G ) /\ ch ) -> th ) |
13 |
|
mndind.a |
|- ( ph -> A e. B ) |
14 |
7 5
|
mndidcl |
|- ( M e. Mnd -> .0. e. B ) |
15 |
8 14
|
syl |
|- ( ph -> .0. e. B ) |
16 |
3
|
sbcieg |
|- ( .0. e. B -> ( [. .0. / x ]. ps <-> ta ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ph -> ( [. .0. / x ]. ps <-> ta ) ) |
18 |
11 17
|
mpbird |
|- ( ph -> [. .0. / x ]. ps ) |
19 |
|
dfsbcq |
|- ( a = .0. -> ( [. a / x ]. ps <-> [. .0. / x ]. ps ) ) |
20 |
|
oveq1 |
|- ( a = .0. -> ( a .+ A ) = ( .0. .+ A ) ) |
21 |
20
|
sbceq1d |
|- ( a = .0. -> ( [. ( a .+ A ) / x ]. ps <-> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) ) |
22 |
19 21
|
imbi12d |
|- ( a = .0. -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) <-> ( [. .0. / x ]. ps -> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) ) ) |
23 |
7
|
submacs |
|- ( M e. Mnd -> ( SubMnd ` M ) e. ( ACS ` B ) ) |
24 |
8 23
|
syl |
|- ( ph -> ( SubMnd ` M ) e. ( ACS ` B ) ) |
25 |
24
|
acsmred |
|- ( ph -> ( SubMnd ` M ) e. ( Moore ` B ) ) |
26 |
|
eleq1w |
|- ( y = a -> ( y e. B <-> a e. B ) ) |
27 |
26
|
anbi2d |
|- ( y = a -> ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) <-> ( ( ph /\ b e. G ) /\ a e. B ) ) ) |
28 |
|
vex |
|- y e. _V |
29 |
28 1
|
sbcie |
|- ( [. y / x ]. ps <-> ch ) |
30 |
|
dfsbcq |
|- ( y = a -> ( [. y / x ]. ps <-> [. a / x ]. ps ) ) |
31 |
29 30
|
bitr3id |
|- ( y = a -> ( ch <-> [. a / x ]. ps ) ) |
32 |
|
oveq1 |
|- ( y = a -> ( y .+ b ) = ( a .+ b ) ) |
33 |
32
|
sbceq1d |
|- ( y = a -> ( [. ( y .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) ) |
34 |
31 33
|
imbi12d |
|- ( y = a -> ( ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) ) ) |
35 |
27 34
|
imbi12d |
|- ( y = a -> ( ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) <-> ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ a e. B ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) ) ) ) |
36 |
|
eleq1w |
|- ( z = b -> ( z e. G <-> b e. G ) ) |
37 |
36
|
anbi2d |
|- ( z = b -> ( ( ph /\ z e. G ) <-> ( ph /\ b e. G ) ) ) |
38 |
37
|
anbi1d |
|- ( z = b -> ( ( ( ph /\ z e. G ) /\ y e. B ) <-> ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) ) ) |
39 |
|
ovex |
|- ( y .+ z ) e. _V |
40 |
39 2
|
sbcie |
|- ( [. ( y .+ z ) / x ]. ps <-> th ) |
41 |
|
oveq2 |
|- ( z = b -> ( y .+ z ) = ( y .+ b ) ) |
42 |
41
|
sbceq1d |
|- ( z = b -> ( [. ( y .+ z ) / x ]. ps <-> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) |
43 |
40 42
|
bitr3id |
|- ( z = b -> ( th <-> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) |
44 |
43
|
imbi2d |
|- ( z = b -> ( ( ch -> th ) <-> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) ) |
45 |
38 44
|
imbi12d |
|- ( z = b -> ( ( ( ( ph /\ z e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> th ) ) <-> ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) ) ) |
46 |
12
|
ex |
|- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. G ) -> ( ch -> th ) ) |
47 |
46
|
3expa |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z e. G ) -> ( ch -> th ) ) |
48 |
47
|
an32s |
|- ( ( ( ph /\ z e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> th ) ) |
49 |
45 48
|
chvarvv |
|- ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) |
50 |
35 49
|
chvarvv |
|- ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ a e. B ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) ) |
51 |
50
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ b e. G ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) ) |
52 |
9 51
|
ssrabdv |
|- ( ph -> G C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } ) |
53 |
7 6 5
|
mndrid |
|- ( ( M e. Mnd /\ a e. B ) -> ( a .+ .0. ) = a ) |
54 |
8 53
|
sylan |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( a .+ .0. ) = a ) |
55 |
54
|
sbceq1d |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps <-> [. a / x ]. ps ) ) |
56 |
55
|
biimprd |
|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) ) |
57 |
56
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) ) |
58 |
|
simprrl |
|- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) ) |
59 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> M e. Mnd ) |
60 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> b e. B ) |
61 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> c e. B ) |
62 |
7 6
|
mndcl |
|- ( ( M e. Mnd /\ b e. B /\ c e. B ) -> ( b .+ c ) e. B ) |
63 |
59 60 61 62
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> ( b .+ c ) e. B ) |
64 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> a = ( b .+ c ) ) |
65 |
64
|
sbceq1d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( [. a / x ]. ps <-> [. ( b .+ c ) / x ]. ps ) ) |
66 |
|
oveq1 |
|- ( a = ( b .+ c ) -> ( a .+ d ) = ( ( b .+ c ) .+ d ) ) |
67 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> d e. B ) |
68 |
7 6
|
mndass |
|- ( ( M e. Mnd /\ ( b e. B /\ c e. B /\ d e. B ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) ) |
69 |
59 60 61 67 68
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> ( ( b .+ c ) .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) ) |
70 |
66 69
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( a .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) ) |
71 |
70
|
sbceq1d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( [. ( a .+ d ) / x ]. ps <-> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
72 |
65 71
|
imbi12d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) <-> ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
73 |
63 72
|
rspcdv |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) -> ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
74 |
73
|
ralrimdva |
|- ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) -> A. b e. B ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
75 |
74
|
impr |
|- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) -> A. b e. B ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
76 |
|
oveq1 |
|- ( b = a -> ( b .+ c ) = ( a .+ c ) ) |
77 |
76
|
sbceq1d |
|- ( b = a -> ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) ) |
78 |
|
oveq1 |
|- ( b = a -> ( b .+ ( c .+ d ) ) = ( a .+ ( c .+ d ) ) ) |
79 |
78
|
sbceq1d |
|- ( b = a -> ( [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
80 |
77 79
|
imbi12d |
|- ( b = a -> ( ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) <-> ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
81 |
80
|
cbvralvw |
|- ( A. b e. B ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
82 |
75 81
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) -> A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
83 |
82
|
adantrrl |
|- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) ) -> A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
84 |
|
imim1 |
|- ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) -> ( ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
85 |
84
|
ral2imi |
|- ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) -> ( A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
86 |
58 83 85
|
sylc |
|- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
87 |
|
oveq2 |
|- ( b = .0. -> ( a .+ b ) = ( a .+ .0. ) ) |
88 |
87
|
sbceq1d |
|- ( b = .0. -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) ) |
89 |
88
|
imbi2d |
|- ( b = .0. -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) ) ) |
90 |
89
|
ralbidv |
|- ( b = .0. -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) ) ) |
91 |
|
oveq2 |
|- ( b = c -> ( a .+ b ) = ( a .+ c ) ) |
92 |
91
|
sbceq1d |
|- ( b = c -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) ) |
93 |
92
|
imbi2d |
|- ( b = c -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) ) ) |
94 |
93
|
ralbidv |
|- ( b = c -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) ) ) |
95 |
|
oveq2 |
|- ( b = d -> ( a .+ b ) = ( a .+ d ) ) |
96 |
95
|
sbceq1d |
|- ( b = d -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) |
97 |
96
|
imbi2d |
|- ( b = d -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) |
98 |
97
|
ralbidv |
|- ( b = d -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) |
99 |
|
oveq2 |
|- ( b = ( c .+ d ) -> ( a .+ b ) = ( a .+ ( c .+ d ) ) ) |
100 |
99
|
sbceq1d |
|- ( b = ( c .+ d ) -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) |
101 |
100
|
imbi2d |
|- ( b = ( c .+ d ) -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
102 |
101
|
ralbidv |
|- ( b = ( c .+ d ) -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) ) |
103 |
7 6 5 8 57 86 90 94 98 102
|
issubmd |
|- ( ph -> { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } e. ( SubMnd ` M ) ) |
104 |
|
eqid |
|- ( mrCls ` ( SubMnd ` M ) ) = ( mrCls ` ( SubMnd ` M ) ) |
105 |
104
|
mrcsscl |
|- ( ( ( SubMnd ` M ) e. ( Moore ` B ) /\ G C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } /\ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } e. ( SubMnd ` M ) ) -> ( ( mrCls ` ( SubMnd ` M ) ) ` G ) C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } ) |
106 |
25 52 103 105
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( mrCls ` ( SubMnd ` M ) ) ` G ) C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } ) |
107 |
10 106
|
eqsstrd |
|- ( ph -> B C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } ) |
108 |
107 13
|
sseldd |
|- ( ph -> A e. { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } ) |
109 |
|
oveq2 |
|- ( b = A -> ( a .+ b ) = ( a .+ A ) ) |
110 |
109
|
sbceq1d |
|- ( b = A -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) |
111 |
110
|
imbi2d |
|- ( b = A -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) ) |
112 |
111
|
ralbidv |
|- ( b = A -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) ) |
113 |
112
|
elrab |
|- ( A e. { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } <-> ( A e. B /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) ) |
114 |
113
|
simprbi |
|- ( A e. { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) |
115 |
108 114
|
syl |
|- ( ph -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) |
116 |
22 115 15
|
rspcdva |
|- ( ph -> ( [. .0. / x ]. ps -> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) ) |
117 |
18 116
|
mpd |
|- ( ph -> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) |
118 |
7 6 5
|
mndlid |
|- ( ( M e. Mnd /\ A e. B ) -> ( .0. .+ A ) = A ) |
119 |
8 13 118
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( .0. .+ A ) = A ) |
120 |
119
|
sbceq1d |
|- ( ph -> ( [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps <-> [. A / x ]. ps ) ) |
121 |
4
|
sbcieg |
|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. ps <-> et ) ) |
122 |
13 121
|
syl |
|- ( ph -> ( [. A / x ]. ps <-> et ) ) |
123 |
120 122
|
bitrd |
|- ( ph -> ( [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps <-> et ) ) |
124 |
117 123
|
mpbid |
|- ( ph -> et ) |