Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eldifi |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> K e. ( 0 ..^ N ) ) |
2 |
|
elfzoelz |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> K e. ZZ ) |
3 |
2
|
zred |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> K e. RR ) |
4 |
1 3
|
syl |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> K e. RR ) |
5 |
|
elfzoelz |
|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> J e. ZZ ) |
6 |
5
|
zred |
|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> J e. RR ) |
7 |
|
leloe |
|- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( K <_ J <-> ( K < J \/ K = J ) ) ) |
8 |
4 6 7
|
syl2anr |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J <-> ( K < J \/ K = J ) ) ) |
9 |
|
elfzo0 |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) |
10 |
|
elfzo0 |
|- ( J e. ( 0 ..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) |
11 |
|
nn0cn |
|- ( K e. NN0 -> K e. CC ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. CC ) |
13 |
12
|
adantl |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> K e. CC ) |
14 |
|
nn0cn |
|- ( J e. NN0 -> J e. CC ) |
15 |
14
|
3ad2ant1 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. CC ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> J e. CC ) |
17 |
|
nncn |
|- ( N e. NN -> N e. CC ) |
18 |
17
|
3ad2ant2 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. CC ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. CC ) |
20 |
13 16 19
|
subadd23d |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) + N ) = ( K + ( N - J ) ) ) |
21 |
|
simpl |
|- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. NN0 ) |
22 |
|
nn0z |
|- ( J e. NN0 -> J e. ZZ ) |
23 |
|
nnz |
|- ( N e. NN -> N e. ZZ ) |
24 |
|
znnsub |
|- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J < N <-> ( N - J ) e. NN ) ) |
25 |
22 23 24
|
syl2an |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( J < N <-> ( N - J ) e. NN ) ) |
26 |
25
|
biimp3a |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( N - J ) e. NN ) |
27 |
|
nn0nnaddcl |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( N - J ) e. NN ) -> ( K + ( N - J ) ) e. NN ) |
28 |
21 26 27
|
syl2anr |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K + ( N - J ) ) e. NN ) |
29 |
20 28
|
eqeltrd |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) + N ) e. NN ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) e. NN ) |
31 |
|
simp2 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. NN ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. NN ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> N e. NN ) |
34 |
|
nn0re |
|- ( K e. NN0 -> K e. RR ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. RR ) |
36 |
35
|
adantl |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> K e. RR ) |
37 |
|
nn0re |
|- ( J e. NN0 -> J e. RR ) |
38 |
37
|
3ad2ant1 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. RR ) |
39 |
38
|
adantr |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> J e. RR ) |
40 |
36 39
|
sublt0d |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> K < J ) ) |
41 |
40
|
bicomd |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K < J <-> ( K - J ) < 0 ) ) |
42 |
41
|
biimpa |
|- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( K - J ) < 0 ) |
43 |
|
resubcl |
|- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( K - J ) e. RR ) |
44 |
35 38 43
|
syl2anr |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( K - J ) e. RR ) |
45 |
|
nnre |
|- ( N e. NN -> N e. RR ) |
46 |
45
|
3ad2ant2 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. RR ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> N e. RR ) |
48 |
44 47
|
jca |
|- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) ) |
50 |
|
ltaddnegr |
|- ( ( ( K - J ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> ( ( K - J ) + N ) < N ) ) |
51 |
49 50
|
syl |
|- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) < 0 <-> ( ( K - J ) + N ) < N ) ) |
52 |
42 51
|
mpbid |
|- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) < N ) |
53 |
|
elfzo1 |
|- ( ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) <-> ( ( ( K - J ) + N ) e. NN /\ N e. NN /\ ( ( K - J ) + N ) < N ) ) |
54 |
30 33 52 53
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ ( K e. NN0 /\ K < N ) ) /\ K < J ) -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) |
55 |
54
|
exp31 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) ) ) |
56 |
10 55
|
sylbi |
|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) ) ) |
57 |
56
|
com12 |
|- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) ) ) |
58 |
57
|
3adant2 |
|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) ) ) |
59 |
9 58
|
sylbi |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) ) ) |
60 |
1 59
|
syl |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) ) ) |
61 |
60
|
impcom |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K < J -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) ) |
62 |
61
|
impcom |
|- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) + N ) e. ( 1 ..^ N ) ) |
63 |
|
oveq1 |
|- ( i = ( ( K - J ) + N ) -> ( i + J ) = ( ( ( K - J ) + N ) + J ) ) |
64 |
2
|
zcnd |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> K e. CC ) |
65 |
64
|
adantr |
|- ( ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> K e. CC ) |
66 |
14
|
adantr |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> J e. CC ) |
67 |
66
|
adantl |
|- ( ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> J e. CC ) |
68 |
17
|
adantl |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. CC ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> N e. CC ) |
70 |
65 67 69
|
3jca |
|- ( ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) |
71 |
70
|
ex |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) ) |
72 |
1 71
|
syl |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) ) |
73 |
72
|
com12 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) ) |
74 |
73
|
3adant3 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) ) |
75 |
10 74
|
sylbi |
|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) ) |
76 |
75
|
imp |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) |
77 |
76
|
adantl |
|- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) ) |
78 |
|
nppcan |
|- ( ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( K - J ) + N ) + J ) = ( K + N ) ) |
79 |
77 78
|
syl |
|- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( ( K - J ) + N ) + J ) = ( K + N ) ) |
80 |
63 79
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( i + J ) = ( K + N ) ) |
81 |
80
|
oveq1d |
|- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( ( i + J ) mod N ) = ( ( K + N ) mod N ) ) |
82 |
81
|
eqeq2d |
|- ( ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( ( K - J ) + N ) ) -> ( K = ( ( i + J ) mod N ) <-> K = ( ( K + N ) mod N ) ) ) |
83 |
9
|
biimpi |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) |
84 |
83
|
a1d |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) |
85 |
1 84
|
syl |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) |
86 |
85
|
impcom |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) |
87 |
86
|
adantl |
|- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) |
88 |
|
addmodidr |
|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( ( K + N ) mod N ) = K ) |
89 |
88
|
eqcomd |
|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> K = ( ( K + N ) mod N ) ) |
90 |
87 89
|
syl |
|- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> K = ( ( K + N ) mod N ) ) |
91 |
62 82 90
|
rspcedvd |
|- ( ( K < J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) |
92 |
91
|
ex |
|- ( K < J -> ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
93 |
|
eldifsn |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) <-> ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ K =/= J ) ) |
94 |
|
eqneqall |
|- ( K = J -> ( K =/= J -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
95 |
94
|
com12 |
|- ( K =/= J -> ( K = J -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
96 |
95
|
adantl |
|- ( ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ K =/= J ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
97 |
93 96
|
sylbi |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
98 |
97
|
adantl |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K = J -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
99 |
98
|
com12 |
|- ( K = J -> ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
100 |
92 99
|
jaoi |
|- ( ( K < J \/ K = J ) -> ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
101 |
100
|
com12 |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( ( K < J \/ K = J ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
102 |
8 101
|
sylbid |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K <_ J -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
103 |
102
|
com12 |
|- ( K <_ J -> ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
104 |
|
ltnle |
|- ( ( J e. RR /\ K e. RR ) -> ( J < K <-> -. K <_ J ) ) |
105 |
6 4 104
|
syl2an |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( J < K <-> -. K <_ J ) ) |
106 |
105
|
bicomd |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( -. K <_ J <-> J < K ) ) |
107 |
22
|
3ad2ant1 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. ZZ ) |
108 |
|
nn0z |
|- ( K e. NN0 -> K e. ZZ ) |
109 |
108
|
adantr |
|- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> K e. ZZ ) |
110 |
|
znnsub |
|- ( ( J e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( J < K <-> ( K - J ) e. NN ) ) |
111 |
107 109 110
|
syl2anr |
|- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( J < K <-> ( K - J ) e. NN ) ) |
112 |
111
|
biimpa |
|- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( K - J ) e. NN ) |
113 |
31
|
adantl |
|- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> N e. NN ) |
114 |
113
|
adantr |
|- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> N e. NN ) |
115 |
|
nn0ge0 |
|- ( J e. NN0 -> 0 <_ J ) |
116 |
115
|
3ad2ant1 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> 0 <_ J ) |
117 |
116
|
adantl |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> 0 <_ J ) |
118 |
|
subge02 |
|- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( 0 <_ J <-> ( K - J ) <_ K ) ) |
119 |
34 38 118
|
syl2an |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( 0 <_ J <-> ( K - J ) <_ K ) ) |
120 |
117 119
|
mpbid |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K - J ) <_ K ) |
121 |
38
|
adantl |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> J e. RR ) |
122 |
34
|
adantr |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> K e. RR ) |
123 |
46
|
adantl |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> N e. RR ) |
124 |
121 122 123
|
3jca |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) ) |
125 |
43
|
ancoms |
|- ( ( J e. RR /\ K e. RR ) -> ( K - J ) e. RR ) |
126 |
125
|
3adant3 |
|- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K - J ) e. RR ) |
127 |
|
simp2 |
|- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> K e. RR ) |
128 |
|
simp3 |
|- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> N e. RR ) |
129 |
126 127 128
|
3jca |
|- ( ( J e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) ) |
130 |
124 129
|
syl |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) ) |
131 |
|
lelttr |
|- ( ( ( K - J ) e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K - J ) <_ K /\ K < N ) -> ( K - J ) < N ) ) |
132 |
130 131
|
syl |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( ( ( K - J ) <_ K /\ K < N ) -> ( K - J ) < N ) ) |
133 |
120 132
|
mpand |
|- ( ( K e. NN0 /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K < N -> ( K - J ) < N ) ) |
134 |
133
|
impancom |
|- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K - J ) < N ) ) |
135 |
134
|
imp |
|- ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) -> ( K - J ) < N ) |
136 |
135
|
adantr |
|- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( K - J ) < N ) |
137 |
112 114 136
|
3jca |
|- ( ( ( ( K e. NN0 /\ K < N ) /\ ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) ) /\ J < K ) -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) |
138 |
137
|
exp31 |
|- ( ( K e. NN0 /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) ) |
139 |
138
|
3adant2 |
|- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) ) |
140 |
9 139
|
sylbi |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) ) |
141 |
1 140
|
syl |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) ) |
142 |
141
|
com12 |
|- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) ) |
143 |
10 142
|
sylbi |
|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) ) |
144 |
143
|
imp |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( J < K -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) |
145 |
106 144
|
sylbid |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( -. K <_ J -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) ) |
146 |
145
|
impcom |
|- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) |
147 |
|
elfzo1 |
|- ( ( K - J ) e. ( 1 ..^ N ) <-> ( ( K - J ) e. NN /\ N e. NN /\ ( K - J ) < N ) ) |
148 |
146 147
|
sylibr |
|- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K - J ) e. ( 1 ..^ N ) ) |
149 |
|
oveq1 |
|- ( i = ( K - J ) -> ( i + J ) = ( ( K - J ) + J ) ) |
150 |
1 64
|
syl |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> K e. CC ) |
151 |
5
|
zcnd |
|- ( J e. ( 0 ..^ N ) -> J e. CC ) |
152 |
|
npcan |
|- ( ( K e. CC /\ J e. CC ) -> ( ( K - J ) + J ) = K ) |
153 |
150 151 152
|
syl2anr |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( ( K - J ) + J ) = K ) |
154 |
153
|
adantl |
|- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( ( K - J ) + J ) = K ) |
155 |
149 154
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( i + J ) = K ) |
156 |
155
|
oveq1d |
|- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( ( i + J ) mod N ) = ( K mod N ) ) |
157 |
156
|
eqeq2d |
|- ( ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) /\ i = ( K - J ) ) -> ( K = ( ( i + J ) mod N ) <-> K = ( K mod N ) ) ) |
158 |
|
zmodidfzoimp |
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( K mod N ) = K ) |
159 |
1 158
|
syl |
|- ( K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) -> ( K mod N ) = K ) |
160 |
159
|
adantl |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> ( K mod N ) = K ) |
161 |
160
|
adantl |
|- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> ( K mod N ) = K ) |
162 |
161
|
eqcomd |
|- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> K = ( K mod N ) ) |
163 |
148 157 162
|
rspcedvd |
|- ( ( -. K <_ J /\ ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) |
164 |
163
|
ex |
|- ( -. K <_ J -> ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) ) |
165 |
103 164
|
pm2.61i |
|- ( ( J e. ( 0 ..^ N ) /\ K e. ( ( 0 ..^ N ) \ { J } ) ) -> E. i e. ( 1 ..^ N ) K = ( ( i + J ) mod N ) ) |