Theorem mulsval

Description: The value of surreal multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025)

	Ref	Expression
Assertion	mulsval	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A x.s B ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-muls	|- x.s = norec2 ( ( z e. _V , m e. _V |-> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) ) )
2	1	norec2ov	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A x.s B ) = ( <. A , B >. ( z e. _V , m e. _V |-> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) ) ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ) )
3		opex	|- <. A , B >. e. _V
4		mulsfn	|- x.s Fn ( No X. No )
5		fnfun	|- ( x.s Fn ( No X. No ) -> Fun x.s )
6	4 5	ax-mp	|- Fun x.s
7		fvex	|- ( _Left ` A ) e. _V
8		fvex	|- ( _Right ` A ) e. _V
9	7 8	unex	|- ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) e. _V
10		snex	|- { A } e. _V
11	9 10	unex	|- ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) e. _V
12		fvex	|- ( _Left ` B ) e. _V
13		fvex	|- ( _Right ` B ) e. _V
14	12 13	unex	|- ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) e. _V
15		snex	|- { B } e. _V
16	14 15	unex	|- ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) e. _V
17	11 16	xpex	|- ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) e. _V
18	17	difexi	|- ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) e. _V
19		resfunexg	|- ( ( Fun x.s /\ ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) e. _V ) -> ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) e. _V )
20	6 18 19	mp2an	|- ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) e. _V
21		fveq2	|- ( z = <. A , B >. -> ( 1st ` z ) = ( 1st ` <. A , B >. ) )
22		fveq2	|- ( z = <. A , B >. -> ( 2nd ` z ) = ( 2nd ` <. A , B >. ) )
23	22	csbeq1d	|- ( z = <. A , B >. -> [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) = [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) )
24	21 23	csbeq12dv	|- ( z = <. A , B >. -> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) = [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) )
25		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( p m y ) = ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) )
26		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( x m q ) = ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) )
27	25 26	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) = ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) )
28		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( p m q ) = ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) )
29	27 28	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) )
30	29	eqeq2d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) <-> a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
31	30	2rexbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) <-> E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
32	31	abbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } = { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } )
33		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( r m y ) = ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) )
34		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( x m s ) = ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) )
35	33 34	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) = ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) )
36		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( r m s ) = ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) )
37	35 36	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) )
38	37	eqeq2d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) <-> b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
39	38	2rexbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) <-> E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
40	39	abbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } = { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } )
41	32 40	uneq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) = ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) )
42		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( t m y ) = ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) )
43		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( x m u ) = ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) )
44	42 43	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) = ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) )
45		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( t m u ) = ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) )
46	44 45	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) )
47	46	eqeq2d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) <-> c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
48	47	2rexbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) <-> E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
49	48	abbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } = { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } )
50		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( v m y ) = ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) )
51		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( x m w ) = ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) )
52	50 51	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) = ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) )
53		oveq	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( v m w ) = ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) )
54	52 53	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) )
55	54	eqeq2d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) <-> d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
56	55	2rexbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) <-> E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
57	56	abbidv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } = { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } )
58	49 57	uneq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) = ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) )
59	41 58	oveq12d	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
60	59	csbeq2dv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) = [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
61	60	csbeq2dv	|- ( m = ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) -> [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) = [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
62		eqid	|- ( z e. _V , m e. _V |-> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) ) = ( z e. _V , m e. _V |-> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) )
63		ovex	|- ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) e. _V
64	63	csbex	|- [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) e. _V
65	64	csbex	|- [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) e. _V
66	24 61 62 65	ovmpo	|- ( ( <. A , B >. e. _V /\ ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) e. _V ) -> ( <. A , B >. ( z e. _V , m e. _V |-> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) ) ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ) = [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
67	3 20 66	mp2an	|- ( <. A , B >. ( z e. _V , m e. _V |-> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) ) ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ) = [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) )
68		op1stg	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( 1st ` <. A , B >. ) = A )
69	68	csbeq1d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = [_ A / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
70		op2ndg	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = B )
71	70	csbeq1d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
72	71	csbeq2dv	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> [_ A / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = [_ A / x ]_ [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
73		simpl	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> A e. No )
74		fveq2	|- ( x = A -> ( _Left ` x ) = ( _Left ` A ) )
75		oveq1	|- ( x = A -> ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) = ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) )
76	75	oveq2d	|- ( x = A -> ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) = ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) )
77	76	oveq1d	|- ( x = A -> ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) )
78	77	eqeq2d	|- ( x = A -> ( a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
79	78	rexbidv	|- ( x = A -> ( E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
80	74 79	rexeqbidv	|- ( x = A -> ( E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
81	80	abbidv	|- ( x = A -> { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } = { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } )
82		fveq2	|- ( x = A -> ( _Right ` x ) = ( _Right ` A ) )
83		oveq1	|- ( x = A -> ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) = ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) )
84	83	oveq2d	|- ( x = A -> ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) = ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) )
85	84	oveq1d	|- ( x = A -> ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) )
86	85	eqeq2d	|- ( x = A -> ( b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
87	86	rexbidv	|- ( x = A -> ( E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
88	82 87	rexeqbidv	|- ( x = A -> ( E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
89	88	abbidv	|- ( x = A -> { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } = { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } )
90	81 89	uneq12d	|- ( x = A -> ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) = ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) )
91		oveq1	|- ( x = A -> ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) = ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) )
92	91	oveq2d	|- ( x = A -> ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) = ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) )
93	92	oveq1d	|- ( x = A -> ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) )
94	93	eqeq2d	|- ( x = A -> ( c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
95	94	rexbidv	|- ( x = A -> ( E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
96	74 95	rexeqbidv	|- ( x = A -> ( E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
97	96	abbidv	|- ( x = A -> { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } = { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } )
98		oveq1	|- ( x = A -> ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) = ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) )
99	98	oveq2d	|- ( x = A -> ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) = ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) )
100	99	oveq1d	|- ( x = A -> ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) )
101	100	eqeq2d	|- ( x = A -> ( d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
102	101	rexbidv	|- ( x = A -> ( E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
103	82 102	rexeqbidv	|- ( x = A -> ( E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
104	103	abbidv	|- ( x = A -> { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } = { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } )
105	97 104	uneq12d	|- ( x = A -> ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) = ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) )
106	90 105	oveq12d	|- ( x = A -> ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
107	106	csbeq2dv	|- ( x = A -> [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
108	107	adantl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ x = A ) -> [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
109	73 108	csbied	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> [_ A / x ]_ [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
110		simpr	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> B e. No )
111		fveq2	|- ( y = B -> ( _Left ` y ) = ( _Left ` B ) )
112		oveq2	|- ( y = B -> ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) = ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) )
113	112	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) = ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) )
114	113	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) )
115	114	eqeq2d	|- ( y = B -> ( a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
116	111 115	rexeqbidv	|- ( y = B -> ( E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
117	116	rexbidv	|- ( y = B -> ( E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) ) )
118	117	abbidv	|- ( y = B -> { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } = { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } )
119		fveq2	|- ( y = B -> ( _Right ` y ) = ( _Right ` B ) )
120		oveq2	|- ( y = B -> ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) = ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) )
121	120	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) = ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) )
122	121	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) )
123	122	eqeq2d	|- ( y = B -> ( b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
124	119 123	rexeqbidv	|- ( y = B -> ( E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
125	124	rexbidv	|- ( y = B -> ( E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) ) )
126	125	abbidv	|- ( y = B -> { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } = { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } )
127	118 126	uneq12d	|- ( y = B -> ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) = ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) )
128		oveq2	|- ( y = B -> ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) = ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) )
129	128	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) = ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) )
130	129	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) )
131	130	eqeq2d	|- ( y = B -> ( c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
132	119 131	rexeqbidv	|- ( y = B -> ( E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
133	132	rexbidv	|- ( y = B -> ( E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) ) )
134	133	abbidv	|- ( y = B -> { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } = { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } )
135		oveq2	|- ( y = B -> ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) = ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) )
136	135	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) = ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) )
137	136	oveq1d	|- ( y = B -> ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) )
138	137	eqeq2d	|- ( y = B -> ( d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
139	111 138	rexeqbidv	|- ( y = B -> ( E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
140	139	rexbidv	|- ( y = B -> ( E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) ) )
141	140	abbidv	|- ( y = B -> { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } = { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } )
142	134 141	uneq12d	|- ( y = B -> ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) = ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) )
143	127 142	oveq12d	|- ( y = B -> ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
144	143	adantl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ y = B ) -> ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
145	110 144	csbied	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) )
146		elun1	|- ( p e. ( _Left ` A ) -> p e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
147	146	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> p e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
148		elun1	|- ( p e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) -> p e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
149	147 148	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> p e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
150		snidg	|- ( B e. No -> B e. { B } )
151	150	adantl	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> B e. { B } )
152		elun2	|- ( B e. { B } -> B e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
153	151 152	syl	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> B e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
154	153	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> B e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
155	149 154	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. p , B >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
156		leftirr	|- -. A e. ( _Left ` A )
157		eleq1	|- ( p = A -> ( p e. ( _Left ` A ) <-> A e. ( _Left ` A ) ) )
158	156 157	mtbiri	|- ( p = A -> -. p e. ( _Left ` A ) )
159	158	necon2ai	|- ( p e. ( _Left ` A ) -> p =/= A )
160	159	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> p =/= A )
161	160	orcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( p =/= A \/ B =/= B ) )
162		vex	|- p e. _V
163		opthneg	|- ( ( p e. _V /\ B e. No ) -> ( <. p , B >. =/= <. A , B >. <-> ( p =/= A \/ B =/= B ) ) )
164	162 163	mpan	|- ( B e. No -> ( <. p , B >. =/= <. A , B >. <-> ( p =/= A \/ B =/= B ) ) )
165	164	ad2antlr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( <. p , B >. =/= <. A , B >. <-> ( p =/= A \/ B =/= B ) ) )
166	161 165	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. p , B >. =/= <. A , B >. )
167		opex	|- <. p , B >. e. _V
168	167	elsn	|- ( <. p , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. p , B >. = <. A , B >. )
169	168	necon3bbii	|- ( -. <. p , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. p , B >. =/= <. A , B >. )
170	166 169	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> -. <. p , B >. e. { <. A , B >. } )
171	155 170	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. p , B >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
172	171	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. p , B >. ) = ( x.s ` <. p , B >. ) )
173		df-ov	|- ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. p , B >. )
174		df-ov	|- ( p x.s B ) = ( x.s ` <. p , B >. )
175	172 173 174	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( p x.s B ) )
176		snidg	|- ( A e. No -> A e. { A } )
177	176	adantr	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> A e. { A } )
178		elun2	|- ( A e. { A } -> A e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
179	177 178	syl	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> A e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
180	179	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> A e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
181		elun1	|- ( q e. ( _Left ` B ) -> q e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
182	181	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> q e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
183		elun1	|- ( q e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) -> q e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
184	182 183	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> q e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
185	180 184	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. A , q >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
186		leftirr	|- -. B e. ( _Left ` B )
187		eleq1	|- ( q = B -> ( q e. ( _Left ` B ) <-> B e. ( _Left ` B ) ) )
188	186 187	mtbiri	|- ( q = B -> -. q e. ( _Left ` B ) )
189	188	necon2ai	|- ( q e. ( _Left ` B ) -> q =/= B )
190	189	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> q =/= B )
191	190	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( A =/= A \/ q =/= B ) )
192		opthneg	|- ( ( A e. No /\ q e. _V ) -> ( <. A , q >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ q =/= B ) ) )
193	192	elvd	|- ( A e. No -> ( <. A , q >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ q =/= B ) ) )
194	193	ad2antrr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( <. A , q >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ q =/= B ) ) )
195	191 194	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. A , q >. =/= <. A , B >. )
196		opex	|- <. A , q >. e. _V
197	196	elsn	|- ( <. A , q >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , q >. = <. A , B >. )
198	197	necon3bbii	|- ( -. <. A , q >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , q >. =/= <. A , B >. )
199	195 198	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> -. <. A , q >. e. { <. A , B >. } )
200	185 199	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. A , q >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
201	200	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , q >. ) = ( x.s ` <. A , q >. ) )
202		df-ov	|- ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , q >. )
203		df-ov	|- ( A x.s q ) = ( x.s ` <. A , q >. )
204	201 202 203	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) = ( A x.s q ) )
205	175 204	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) = ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) )
206	149 184	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. p , q >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
207	190	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( p =/= A \/ q =/= B ) )
208		vex	|- q e. _V
209	162 208	opthne	|- ( <. p , q >. =/= <. A , B >. <-> ( p =/= A \/ q =/= B ) )
210	207 209	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. p , q >. =/= <. A , B >. )
211		opex	|- <. p , q >. e. _V
212	211	elsn	|- ( <. p , q >. e. { <. A , B >. } <-> <. p , q >. = <. A , B >. )
213	212	necon3bbii	|- ( -. <. p , q >. e. { <. A , B >. } <-> <. p , q >. =/= <. A , B >. )
214	210 213	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> -. <. p , q >. e. { <. A , B >. } )
215	206 214	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. p , q >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
216	215	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. p , q >. ) = ( x.s ` <. p , q >. ) )
217		df-ov	|- ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. p , q >. )
218		df-ov	|- ( p x.s q ) = ( x.s ` <. p , q >. )
219	216 217 218	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) = ( p x.s q ) )
220	205 219	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) )
221	220	eqeq2d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( p e. ( _Left ` A ) /\ q e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) ) )
222	221	2rexbidva	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) <-> E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) ) )
223	222	abbidv	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } = { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } )
224		elun2	|- ( r e. ( _Right ` A ) -> r e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
225	224	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> r e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
226		elun1	|- ( r e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) -> r e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
227	225 226	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> r e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
228	153	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> B e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
229	227 228	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. r , B >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
230		rightirr	|- -. A e. ( _Right ` A )
231		eleq1	|- ( r = A -> ( r e. ( _Right ` A ) <-> A e. ( _Right ` A ) ) )
232	230 231	mtbiri	|- ( r = A -> -. r e. ( _Right ` A ) )
233	232	necon2ai	|- ( r e. ( _Right ` A ) -> r =/= A )
234	233	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> r =/= A )
235	234	orcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( r =/= A \/ B =/= B ) )
236		vex	|- r e. _V
237		opthneg	|- ( ( r e. _V /\ B e. No ) -> ( <. r , B >. =/= <. A , B >. <-> ( r =/= A \/ B =/= B ) ) )
238	236 237	mpan	|- ( B e. No -> ( <. r , B >. =/= <. A , B >. <-> ( r =/= A \/ B =/= B ) ) )
239	238	ad2antlr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( <. r , B >. =/= <. A , B >. <-> ( r =/= A \/ B =/= B ) ) )
240	235 239	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. r , B >. =/= <. A , B >. )
241		opex	|- <. r , B >. e. _V
242	241	elsn	|- ( <. r , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. r , B >. = <. A , B >. )
243	242	necon3bbii	|- ( -. <. r , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. r , B >. =/= <. A , B >. )
244	240 243	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> -. <. r , B >. e. { <. A , B >. } )
245	229 244	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. r , B >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
246	245	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. r , B >. ) = ( x.s ` <. r , B >. ) )
247		df-ov	|- ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. r , B >. )
248		df-ov	|- ( r x.s B ) = ( x.s ` <. r , B >. )
249	246 247 248	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( r x.s B ) )
250	179	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> A e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
251		elun2	|- ( s e. ( _Right ` B ) -> s e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
252	251	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> s e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
253		elun1	|- ( s e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) -> s e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
254	252 253	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> s e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
255	250 254	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. A , s >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
256		rightirr	|- -. B e. ( _Right ` B )
257		eleq1	|- ( s = B -> ( s e. ( _Right ` B ) <-> B e. ( _Right ` B ) ) )
258	256 257	mtbiri	|- ( s = B -> -. s e. ( _Right ` B ) )
259	258	necon2ai	|- ( s e. ( _Right ` B ) -> s =/= B )
260	259	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> s =/= B )
261	260	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( A =/= A \/ s =/= B ) )
262		opthneg	|- ( ( A e. No /\ s e. _V ) -> ( <. A , s >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ s =/= B ) ) )
263	262	elvd	|- ( A e. No -> ( <. A , s >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ s =/= B ) ) )
264	263	ad2antrr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( <. A , s >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ s =/= B ) ) )
265	261 264	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. A , s >. =/= <. A , B >. )
266		opex	|- <. A , s >. e. _V
267	266	elsn	|- ( <. A , s >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , s >. = <. A , B >. )
268	267	necon3bbii	|- ( -. <. A , s >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , s >. =/= <. A , B >. )
269	265 268	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> -. <. A , s >. e. { <. A , B >. } )
270	255 269	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. A , s >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
271	270	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , s >. ) = ( x.s ` <. A , s >. ) )
272		df-ov	|- ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , s >. )
273		df-ov	|- ( A x.s s ) = ( x.s ` <. A , s >. )
274	271 272 273	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) = ( A x.s s ) )
275	249 274	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) = ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) )
276	227 254	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. r , s >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
277	260	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( r =/= A \/ s =/= B ) )
278		vex	|- s e. _V
279	236 278	opthne	|- ( <. r , s >. =/= <. A , B >. <-> ( r =/= A \/ s =/= B ) )
280	277 279	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. r , s >. =/= <. A , B >. )
281		opex	|- <. r , s >. e. _V
282	281	elsn	|- ( <. r , s >. e. { <. A , B >. } <-> <. r , s >. = <. A , B >. )
283	282	necon3bbii	|- ( -. <. r , s >. e. { <. A , B >. } <-> <. r , s >. =/= <. A , B >. )
284	280 283	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> -. <. r , s >. e. { <. A , B >. } )
285	276 284	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. r , s >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
286	285	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. r , s >. ) = ( x.s ` <. r , s >. ) )
287		df-ov	|- ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. r , s >. )
288		df-ov	|- ( r x.s s ) = ( x.s ` <. r , s >. )
289	286 287 288	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) = ( r x.s s ) )
290	275 289	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) )
291	290	eqeq2d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( r e. ( _Right ` A ) /\ s e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) ) )
292	291	2rexbidva	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) <-> E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) ) )
293	292	abbidv	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } = { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } )
294	223 293	uneq12d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) = ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) )
295		elun1	|- ( t e. ( _Left ` A ) -> t e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
296	295	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> t e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
297		elun1	|- ( t e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) -> t e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
298	296 297	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> t e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
299	153	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> B e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
300	298 299	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. t , B >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
301		eleq1	|- ( t = A -> ( t e. ( _Left ` A ) <-> A e. ( _Left ` A ) ) )
302	156 301	mtbiri	|- ( t = A -> -. t e. ( _Left ` A ) )
303	302	necon2ai	|- ( t e. ( _Left ` A ) -> t =/= A )
304	303	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> t =/= A )
305	304	orcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( t =/= A \/ B =/= B ) )
306		vex	|- t e. _V
307		opthneg	|- ( ( t e. _V /\ B e. No ) -> ( <. t , B >. =/= <. A , B >. <-> ( t =/= A \/ B =/= B ) ) )
308	306 307	mpan	|- ( B e. No -> ( <. t , B >. =/= <. A , B >. <-> ( t =/= A \/ B =/= B ) ) )
309	308	ad2antlr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( <. t , B >. =/= <. A , B >. <-> ( t =/= A \/ B =/= B ) ) )
310	305 309	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. t , B >. =/= <. A , B >. )
311		opex	|- <. t , B >. e. _V
312	311	elsn	|- ( <. t , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. t , B >. = <. A , B >. )
313	312	necon3bbii	|- ( -. <. t , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. t , B >. =/= <. A , B >. )
314	310 313	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> -. <. t , B >. e. { <. A , B >. } )
315	300 314	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. t , B >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
316	315	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. t , B >. ) = ( x.s ` <. t , B >. ) )
317		df-ov	|- ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. t , B >. )
318		df-ov	|- ( t x.s B ) = ( x.s ` <. t , B >. )
319	316 317 318	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( t x.s B ) )
320	179	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> A e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
321		elun2	|- ( u e. ( _Right ` B ) -> u e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
322	321	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> u e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
323		elun1	|- ( u e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) -> u e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
324	322 323	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> u e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
325	320 324	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. A , u >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
326		eleq1	|- ( u = B -> ( u e. ( _Right ` B ) <-> B e. ( _Right ` B ) ) )
327	256 326	mtbiri	|- ( u = B -> -. u e. ( _Right ` B ) )
328	327	necon2ai	|- ( u e. ( _Right ` B ) -> u =/= B )
329	328	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> u =/= B )
330	329	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( A =/= A \/ u =/= B ) )
331		opthneg	|- ( ( A e. No /\ u e. _V ) -> ( <. A , u >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ u =/= B ) ) )
332	331	elvd	|- ( A e. No -> ( <. A , u >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ u =/= B ) ) )
333	332	ad2antrr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( <. A , u >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ u =/= B ) ) )
334	330 333	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. A , u >. =/= <. A , B >. )
335		opex	|- <. A , u >. e. _V
336	335	elsn	|- ( <. A , u >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , u >. = <. A , B >. )
337	336	necon3bbii	|- ( -. <. A , u >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , u >. =/= <. A , B >. )
338	334 337	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> -. <. A , u >. e. { <. A , B >. } )
339	325 338	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. A , u >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
340	339	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , u >. ) = ( x.s ` <. A , u >. ) )
341		df-ov	|- ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , u >. )
342		df-ov	|- ( A x.s u ) = ( x.s ` <. A , u >. )
343	340 341 342	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) = ( A x.s u ) )
344	319 343	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) = ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) )
345	298 324	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. t , u >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
346	329	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( t =/= A \/ u =/= B ) )
347		vex	|- u e. _V
348	306 347	opthne	|- ( <. t , u >. =/= <. A , B >. <-> ( t =/= A \/ u =/= B ) )
349	346 348	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. t , u >. =/= <. A , B >. )
350		opex	|- <. t , u >. e. _V
351	350	elsn	|- ( <. t , u >. e. { <. A , B >. } <-> <. t , u >. = <. A , B >. )
352	351	necon3bbii	|- ( -. <. t , u >. e. { <. A , B >. } <-> <. t , u >. =/= <. A , B >. )
353	349 352	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> -. <. t , u >. e. { <. A , B >. } )
354	345 353	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> <. t , u >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
355	354	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. t , u >. ) = ( x.s ` <. t , u >. ) )
356		df-ov	|- ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. t , u >. )
357		df-ov	|- ( t x.s u ) = ( x.s ` <. t , u >. )
358	355 356 357	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) = ( t x.s u ) )
359	344 358	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) )
360	359	eqeq2d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( t e. ( _Left ` A ) /\ u e. ( _Right ` B ) ) ) -> ( c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) ) )
361	360	2rexbidva	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) <-> E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) ) )
362	361	abbidv	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } = { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } )
363		elun2	|- ( v e. ( _Right ` A ) -> v e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
364	363	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> v e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) )
365		elun1	|- ( v e. ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) -> v e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
366	364 365	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> v e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
367	153	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> B e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
368	366 367	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. v , B >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
369		eleq1	|- ( v = A -> ( v e. ( _Right ` A ) <-> A e. ( _Right ` A ) ) )
370	230 369	mtbiri	|- ( v = A -> -. v e. ( _Right ` A ) )
371	370	necon2ai	|- ( v e. ( _Right ` A ) -> v =/= A )
372	371	ad2antrl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> v =/= A )
373	372	orcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( v =/= A \/ B =/= B ) )
374		vex	|- v e. _V
375		opthneg	|- ( ( v e. _V /\ B e. No ) -> ( <. v , B >. =/= <. A , B >. <-> ( v =/= A \/ B =/= B ) ) )
376	374 375	mpan	|- ( B e. No -> ( <. v , B >. =/= <. A , B >. <-> ( v =/= A \/ B =/= B ) ) )
377	376	ad2antlr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( <. v , B >. =/= <. A , B >. <-> ( v =/= A \/ B =/= B ) ) )
378	373 377	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. v , B >. =/= <. A , B >. )
379		opex	|- <. v , B >. e. _V
380	379	elsn	|- ( <. v , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. v , B >. = <. A , B >. )
381	380	necon3bbii	|- ( -. <. v , B >. e. { <. A , B >. } <-> <. v , B >. =/= <. A , B >. )
382	378 381	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> -. <. v , B >. e. { <. A , B >. } )
383	368 382	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. v , B >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
384	383	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. v , B >. ) = ( x.s ` <. v , B >. ) )
385		df-ov	|- ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. v , B >. )
386		df-ov	|- ( v x.s B ) = ( x.s ` <. v , B >. )
387	384 385 386	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) = ( v x.s B ) )
388	179	adantr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> A e. ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) )
389		elun1	|- ( w e. ( _Left ` B ) -> w e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
390	389	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> w e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) )
391		elun1	|- ( w e. ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) -> w e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
392	390 391	syl	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> w e. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) )
393	388 392	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. A , w >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
394		eleq1	|- ( w = B -> ( w e. ( _Left ` B ) <-> B e. ( _Left ` B ) ) )
395	186 394	mtbiri	|- ( w = B -> -. w e. ( _Left ` B ) )
396	395	necon2ai	|- ( w e. ( _Left ` B ) -> w =/= B )
397	396	ad2antll	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> w =/= B )
398	397	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( A =/= A \/ w =/= B ) )
399		opthneg	|- ( ( A e. No /\ w e. _V ) -> ( <. A , w >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ w =/= B ) ) )
400	399	elvd	|- ( A e. No -> ( <. A , w >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ w =/= B ) ) )
401	400	ad2antrr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( <. A , w >. =/= <. A , B >. <-> ( A =/= A \/ w =/= B ) ) )
402	398 401	mpbird	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. A , w >. =/= <. A , B >. )
403		opex	|- <. A , w >. e. _V
404	403	elsn	|- ( <. A , w >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , w >. = <. A , B >. )
405	404	necon3bbii	|- ( -. <. A , w >. e. { <. A , B >. } <-> <. A , w >. =/= <. A , B >. )
406	402 405	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> -. <. A , w >. e. { <. A , B >. } )
407	393 406	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. A , w >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
408	407	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , w >. ) = ( x.s ` <. A , w >. ) )
409		df-ov	|- ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. A , w >. )
410		df-ov	|- ( A x.s w ) = ( x.s ` <. A , w >. )
411	408 409 410	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) = ( A x.s w ) )
412	387 411	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) = ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) )
413	366 392	opelxpd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. v , w >. e. ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) )
414	397	olcd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( v =/= A \/ w =/= B ) )
415		vex	|- w e. _V
416	374 415	opthne	|- ( <. v , w >. =/= <. A , B >. <-> ( v =/= A \/ w =/= B ) )
417	414 416	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. v , w >. =/= <. A , B >. )
418		opex	|- <. v , w >. e. _V
419	418	elsn	|- ( <. v , w >. e. { <. A , B >. } <-> <. v , w >. = <. A , B >. )
420	419	necon3bbii	|- ( -. <. v , w >. e. { <. A , B >. } <-> <. v , w >. =/= <. A , B >. )
421	417 420	sylibr	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> -. <. v , w >. e. { <. A , B >. } )
422	413 421	eldifd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> <. v , w >. e. ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) )
423	422	fvresd	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. v , w >. ) = ( x.s ` <. v , w >. ) )
424		df-ov	|- ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) = ( ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ` <. v , w >. )
425		df-ov	|- ( v x.s w ) = ( x.s ` <. v , w >. )
426	423 424 425	3eqtr4g	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) = ( v x.s w ) )
427	412 426	oveq12d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) )
428	427	eqeq2d	|- ( ( ( A e. No /\ B e. No ) /\ ( v e. ( _Right ` A ) /\ w e. ( _Left ` B ) ) ) -> ( d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) ) )
429	428	2rexbidva	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) <-> E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) ) )
430	429	abbidv	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } = { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } )
431	362 430	uneq12d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) = ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) )
432	294 431	oveq12d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) B ) +s ( A ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) ) )
433	109 145 432	3eqtrd	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> [_ A / x ]_ [_ B / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) ) )
434	69 72 433	3eqtrd	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> [_ ( 1st ` <. A , B >. ) / x ]_ [_ ( 2nd ` <. A , B >. ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) -s ( p ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) -s ( r ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) -s ( t ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) y ) +s ( x ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) -s ( v ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) w ) ) } ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) ) )
435	67 434	eqtrid	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( <. A , B >. ( z e. _V , m e. _V |-> [_ ( 1st ` z ) / x ]_ [_ ( 2nd ` z ) / y ]_ ( ( { a | E. p e. ( _Left ` x ) E. q e. ( _Left ` y ) a = ( ( ( p m y ) +s ( x m q ) ) -s ( p m q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` x ) E. s e. ( _Right ` y ) b = ( ( ( r m y ) +s ( x m s ) ) -s ( r m s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` x ) E. u e. ( _Right ` y ) c = ( ( ( t m y ) +s ( x m u ) ) -s ( t m u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` x ) E. w e. ( _Left ` y ) d = ( ( ( v m y ) +s ( x m w ) ) -s ( v m w ) ) } ) ) ) ( x.s |` ( ( ( ( ( _Left ` A ) u. ( _Right ` A ) ) u. { A } ) X. ( ( ( _Left ` B ) u. ( _Right ` B ) ) u. { B } ) ) \ { <. A , B >. } ) ) ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) ) )
436	2 435	eqtrd	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A x.s B ) = ( ( { a | E. p e. ( _Left ` A ) E. q e. ( _Left ` B ) a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b | E. r e. ( _Right ` A ) E. s e. ( _Right ` B ) b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) |s ( { c | E. t e. ( _Left ` A ) E. u e. ( _Right ` B ) c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d | E. v e. ( _Right ` A ) E. w e. ( _Left ` B ) d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) ) )