Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
subgntr.h |
|- J = ( TopOpen ` G ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
3 |
2
|
subgss |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) ) |
4 |
3
|
3ad2ant2 |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> S C_ ( Base ` G ) ) |
5 |
1 2
|
tgptopon |
|- ( G e. TopGrp -> J e. ( TopOn ` ( Base ` G ) ) ) |
6 |
5
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> J e. ( TopOn ` ( Base ` G ) ) ) |
7 |
|
toponuni |
|- ( J e. ( TopOn ` ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = U. J ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( Base ` G ) = U. J ) |
9 |
4 8
|
sseqtrd |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> S C_ U. J ) |
10 |
8
|
difeq1d |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( ( Base ` G ) \ S ) = ( U. J \ S ) ) |
11 |
|
df-ima |
|- ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) " S ) = ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) |` S ) |
12 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> S C_ ( Base ` G ) ) |
13 |
12
|
resmptd |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) |` S ) = ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) |
14 |
13
|
rneqd |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) |` S ) = ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) |
15 |
11 14
|
syl5eq |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) " S ) = ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) |
16 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> G e. TopGrp ) |
17 |
|
eldifi |
|- ( x e. ( ( Base ` G ) \ S ) -> x e. ( Base ` G ) ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> x e. ( Base ` G ) ) |
19 |
|
eqid |
|- ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) = ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) |
20 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
21 |
19 2 20 1
|
tgplacthmeo |
|- ( ( G e. TopGrp /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) e. ( J Homeo J ) ) |
22 |
16 18 21
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) e. ( J Homeo J ) ) |
23 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> S e. J ) |
24 |
|
hmeoima |
|- ( ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) e. ( J Homeo J ) /\ S e. J ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) " S ) e. J ) |
25 |
22 23 24
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) " S ) e. J ) |
26 |
15 25
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) e. J ) |
27 |
|
tgpgrp |
|- ( G e. TopGrp -> G e. Grp ) |
28 |
16 27
|
syl |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> G e. Grp ) |
29 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
30 |
2 20 29
|
grprid |
|- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) |
31 |
28 18 30
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = x ) |
32 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> S e. ( SubGrp ` G ) ) |
33 |
29
|
subg0cl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( 0g ` G ) e. S ) |
35 |
|
ovex |
|- ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) e. _V |
36 |
|
eqid |
|- ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) = ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) |
37 |
|
oveq2 |
|- ( y = ( 0g ` G ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) ) |
38 |
36 37
|
elrnmpt1s |
|- ( ( ( 0g ` G ) e. S /\ ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) e. _V ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) e. ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) |
39 |
34 35 38
|
sylancl |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( x ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) e. ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) |
40 |
31 39
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> x e. ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) |
41 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> G e. Grp ) |
42 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> x e. ( Base ` G ) ) |
43 |
12
|
sselda |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> y e. ( Base ` G ) ) |
44 |
2 20
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) |
45 |
41 42 43 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) |
46 |
|
eldifn |
|- ( x e. ( ( Base ` G ) \ S ) -> -. x e. S ) |
47 |
46
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> -. x e. S ) |
48 |
|
eqid |
|- ( -g ` G ) = ( -g ` G ) |
49 |
48
|
subgsubcl |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( x ( +g ` G ) y ) e. S /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) y ) e. S ) |
50 |
49
|
3com23 |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ y e. S /\ ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) y ) e. S ) |
51 |
50
|
3expia |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. S -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) y ) e. S ) ) |
52 |
32 51
|
sylan |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. S -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) y ) e. S ) ) |
53 |
2 20 48
|
grppncan |
|- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) y ) = x ) |
54 |
41 42 43 53
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) y ) = x ) |
55 |
54
|
eleq1d |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) y ) e. S <-> x e. S ) ) |
56 |
52 55
|
sylibd |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. S -> x e. S ) ) |
57 |
47 56
|
mtod |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> -. ( x ( +g ` G ) y ) e. S ) |
58 |
45 57
|
eldifd |
|- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) /\ y e. S ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) |
59 |
58
|
fmpttd |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) : S --> ( ( Base ` G ) \ S ) ) |
60 |
59
|
frnd |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) |
61 |
|
eleq2 |
|- ( u = ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) -> ( x e. u <-> x e. ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) ) ) |
62 |
|
sseq1 |
|- ( u = ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) -> ( u C_ ( ( Base ` G ) \ S ) <-> ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) |
63 |
61 62
|
anbi12d |
|- ( u = ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) -> ( ( x e. u /\ u C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) <-> ( x e. ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) /\ ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) ) |
64 |
63
|
rspcev |
|- ( ( ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) e. J /\ ( x e. ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) /\ ran ( y e. S |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) |
65 |
26 40 60 64
|
syl12anc |
|- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) /\ x e. ( ( Base ` G ) \ S ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) |
66 |
65
|
ralrimiva |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> A. x e. ( ( Base ` G ) \ S ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) |
67 |
|
topontop |
|- ( J e. ( TopOn ` ( Base ` G ) ) -> J e. Top ) |
68 |
6 67
|
syl |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> J e. Top ) |
69 |
|
eltop2 |
|- ( J e. Top -> ( ( ( Base ` G ) \ S ) e. J <-> A. x e. ( ( Base ` G ) \ S ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) ) |
70 |
68 69
|
syl |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( ( ( Base ` G ) \ S ) e. J <-> A. x e. ( ( Base ` G ) \ S ) E. u e. J ( x e. u /\ u C_ ( ( Base ` G ) \ S ) ) ) ) |
71 |
66 70
|
mpbird |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( ( Base ` G ) \ S ) e. J ) |
72 |
10 71
|
eqeltrrd |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( U. J \ S ) e. J ) |
73 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
74 |
73
|
iscld |
|- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ U. J /\ ( U. J \ S ) e. J ) ) ) |
75 |
68 74
|
syl |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ U. J /\ ( U. J \ S ) e. J ) ) ) |
76 |
9 72 75
|
mpbir2and |
|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. ( SubGrp ` G ) /\ S e. J ) -> S e. ( Clsd ` J ) ) |