Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
psrbag.d |
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
2 |
|
psrbagconf1o.s |
|- S = { y e. D | y oR <_ F } |
3 |
|
gsumbagdiagOLD.i |
|- ( ph -> I e. V ) |
4 |
|
gsumbagdiagOLD.f |
|- ( ph -> F e. D ) |
5 |
|
gsumbagdiagOLD.b |
|- B = ( Base ` G ) |
6 |
|
gsumbagdiagOLD.g |
|- ( ph -> G e. CMnd ) |
7 |
|
gsumbagdiagOLD.x |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B ) |
8 |
|
psrass1lemOLD.y |
|- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y ) |
9 |
1 2 3 4
|
gsumbagdiaglemOLD |
|- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) |
10 |
7
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> X e. B ) |
11 |
10
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) |
12 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> I e. V ) |
13 |
2
|
ssrab3 |
|- S C_ D |
14 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> F e. D ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> j e. S ) |
16 |
1 2
|
psrbagconclOLD |
|- ( ( I e. V /\ F e. D /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S ) |
17 |
12 14 15 16
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S ) |
18 |
13 17
|
sselid |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. D ) |
19 |
|
eqid |
|- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |
20 |
1 19
|
psrbagconf1oOLD |
|- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
21 |
12 18 20
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
22 |
|
f1of |
|- ( ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
24 |
|
fco |
|- ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B /\ ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) |
25 |
11 23 24
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) |
26 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> I e. V ) |
27 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F e. D ) |
28 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 ) |
29 |
26 27 28
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F : I --> NN0 ) |
30 |
29
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 ) |
31 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. S ) |
32 |
13 31
|
sselid |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. D ) |
33 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ j e. D ) -> j : I --> NN0 ) |
34 |
26 32 33
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j : I --> NN0 ) |
35 |
34
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 ) |
36 |
|
ssrab2 |
|- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } C_ D |
37 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
38 |
36 37
|
sselid |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. D ) |
39 |
1
|
psrbagfOLD |
|- ( ( I e. V /\ m e. D ) -> m : I --> NN0 ) |
40 |
26 38 39
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m : I --> NN0 ) |
41 |
40
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( m ` z ) e. NN0 ) |
42 |
|
nn0cn |
|- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. CC ) |
43 |
|
nn0cn |
|- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC ) |
44 |
|
nn0cn |
|- ( ( m ` z ) e. NN0 -> ( m ` z ) e. CC ) |
45 |
|
sub32 |
|- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC /\ ( m ` z ) e. CC ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) |
46 |
42 43 44 45
|
syl3an |
|- ( ( ( F ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 /\ ( m ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) |
47 |
30 35 41 46
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) |
48 |
47
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) ) |
49 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V ) |
50 |
29
|
feqmptd |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F = ( z e. I |-> ( F ` z ) ) ) |
51 |
34
|
feqmptd |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) ) |
52 |
26 30 35 50 51
|
offval2 |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) ) ) |
53 |
40
|
feqmptd |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m = ( z e. I |-> ( m ` z ) ) ) |
54 |
26 49 41 52 53
|
offval2 |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) ) |
55 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. _V ) |
56 |
26 30 41 50 53
|
offval2 |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) ) ) |
57 |
26 55 35 56 51
|
offval2 |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) ) |
58 |
48 54 57
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) ) |
59 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) e. D ) |
60 |
1 19
|
psrbagconclOLD |
|- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
61 |
26 59 37 60
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
62 |
58 61
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
63 |
58
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - m ) oF - j ) ) ) |
64 |
|
nfcv |
|- F/_ n X |
65 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ k [_ n / k ]_ X |
66 |
|
csbeq1a |
|- ( k = n -> X = [_ n / k ]_ X ) |
67 |
64 65 66
|
cbvmpt |
|- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X ) |
68 |
67
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X ) ) |
69 |
|
csbeq1 |
|- ( n = ( ( F oF - m ) oF - j ) -> [_ n / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) |
70 |
62 63 68 69
|
fmptco |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) |
71 |
70
|
feq1d |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) ) |
72 |
25 71
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) |
73 |
72
|
fvmptelrn |
|- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B ) |
74 |
73
|
anasss |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B ) |
75 |
9 74
|
syldan |
|- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B ) |
76 |
1 2 3 4 5 6 75
|
gsumbagdiagOLD |
|- ( ph -> ( G gsum ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsum ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) |
77 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
78 |
1
|
psrbaglefiOLD |
|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin ) |
79 |
3 4 78
|
syl2anc |
|- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin ) |
80 |
2 79
|
eqeltrid |
|- ( ph -> S e. Fin ) |
81 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> I e. V ) |
82 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> F e. D ) |
83 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> m e. S ) |
84 |
1 2
|
psrbagconclOLD |
|- ( ( I e. V /\ F e. D /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S ) |
85 |
81 82 83 84
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S ) |
86 |
13 85
|
sselid |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. D ) |
87 |
1
|
psrbaglefiOLD |
|- ( ( I e. V /\ ( F oF - m ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin ) |
88 |
81 86 87
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin ) |
89 |
|
xpfi |
|- ( ( S e. Fin /\ S e. Fin ) -> ( S X. S ) e. Fin ) |
90 |
80 80 89
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( S X. S ) e. Fin ) |
91 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m e. S ) |
92 |
9
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> j e. S ) |
93 |
|
brxp |
|- ( m ( S X. S ) j <-> ( m e. S /\ j e. S ) ) |
94 |
91 92 93
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m ( S X. S ) j ) |
95 |
94
|
pm2.24d |
|- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( -. m ( S X. S ) j -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) ) |
96 |
95
|
impr |
|- ( ( ph /\ ( ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) /\ -. m ( S X. S ) j ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) |
97 |
5 77 6 80 88 75 90 96
|
gsum2d2 |
|- ( ph -> ( G gsum ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsum ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) ) |
98 |
1
|
psrbaglefiOLD |
|- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin ) |
99 |
12 18 98
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin ) |
100 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j e. S ) |
101 |
1 2 3 4
|
gsumbagdiaglemOLD |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) |
102 |
101
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> m e. S ) |
103 |
|
brxp |
|- ( j ( S X. S ) m <-> ( j e. S /\ m e. S ) ) |
104 |
100 102 103
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j ( S X. S ) m ) |
105 |
104
|
pm2.24d |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( -. j ( S X. S ) m -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) ) |
106 |
105
|
impr |
|- ( ( ph /\ ( ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ -. j ( S X. S ) m ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) |
107 |
5 77 6 80 99 74 90 106
|
gsum2d2 |
|- ( ph -> ( G gsum ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsum ( j e. S |-> ( G gsum ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) ) |
108 |
76 97 107
|
3eqtr3d |
|- ( ph -> ( G gsum ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. S |-> ( G gsum ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) ) |
109 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> G e. CMnd ) |
110 |
75
|
anassrs |
|- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B ) |
111 |
110
|
fmpttd |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } --> B ) |
112 |
|
ovex |
|- ( NN0 ^m I ) e. _V |
113 |
1 112
|
rabex2 |
|- D e. _V |
114 |
113
|
a1i |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> D e. _V ) |
115 |
|
rabexg |
|- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V ) |
116 |
|
mptexg |
|- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V ) |
117 |
114 115 116
|
3syl |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V ) |
118 |
|
funmpt |
|- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) |
119 |
118
|
a1i |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) |
120 |
|
fvexd |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V ) |
121 |
|
suppssdm |
|- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) |
122 |
|
eqid |
|- ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) |
123 |
122
|
dmmptss |
|- dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |
124 |
121 123
|
sstri |
|- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |
125 |
124
|
a1i |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) |
126 |
|
suppssfifsupp |
|- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) ) |
127 |
117 119 120 88 125 126
|
syl32anc |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) ) |
128 |
5 77 109 88 111 127
|
gsumcl |
|- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) e. B ) |
129 |
128
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B ) |
130 |
1 2
|
psrbagconf1oOLD |
|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S ) |
131 |
3 4 130
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S ) |
132 |
|
f1ocnv |
|- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S ) |
133 |
|
f1of |
|- ( `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S ) |
134 |
131 132 133
|
3syl |
|- ( ph -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S ) |
135 |
|
fco |
|- ( ( ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B /\ `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S ) -> ( ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B ) |
136 |
129 134 135
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B ) |
137 |
|
coass |
|- ( ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) |
138 |
|
f1ococnv2 |
|- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) ) |
139 |
131 138
|
syl |
|- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) ) |
140 |
139
|
coeq2d |
|- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) ) |
141 |
137 140
|
eqtrid |
|- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) ) |
142 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) = ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) |
143 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) |
144 |
|
breq2 |
|- ( n = ( F oF - m ) -> ( x oR <_ n <-> x oR <_ ( F oF - m ) ) ) |
145 |
144
|
rabbidv |
|- ( n = ( F oF - m ) -> { x e. D | x oR <_ n } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) |
146 |
|
ovex |
|- ( n oF - j ) e. _V |
147 |
146 8
|
csbie |
|- [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = Y |
148 |
|
oveq1 |
|- ( n = ( F oF - m ) -> ( n oF - j ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) ) |
149 |
148
|
csbeq1d |
|- ( n = ( F oF - m ) -> [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) |
150 |
147 149
|
eqtr3id |
|- ( n = ( F oF - m ) -> Y = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) |
151 |
145 150
|
mpteq12dv |
|- ( n = ( F oF - m ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) |
152 |
151
|
oveq2d |
|- ( n = ( F oF - m ) -> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) = ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) |
153 |
85 142 143 152
|
fmptco |
|- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) |
154 |
153
|
coeq1d |
|- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) |
155 |
|
coires1 |
|- ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) |
156 |
|
ssid |
|- S C_ S |
157 |
|
resmpt |
|- ( S C_ S -> ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) |
158 |
156 157
|
ax-mp |
|- ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |
159 |
155 158
|
eqtri |
|- ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |
160 |
159
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) |
161 |
141 154 160
|
3eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) |
162 |
161
|
feq1d |
|- ( ph -> ( ( ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B <-> ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B ) ) |
163 |
136 162
|
mpbid |
|- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B ) |
164 |
|
rabexg |
|- ( D e. _V -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V ) |
165 |
113 164
|
mp1i |
|- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V ) |
166 |
2 165
|
eqeltrid |
|- ( ph -> S e. _V ) |
167 |
166
|
mptexd |
|- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V ) |
168 |
|
funmpt |
|- Fun ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |
169 |
168
|
a1i |
|- ( ph -> Fun ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) |
170 |
|
fvexd |
|- ( ph -> ( 0g ` G ) e. _V ) |
171 |
|
suppssdm |
|- ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |
172 |
|
eqid |
|- ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |
173 |
172
|
dmmptss |
|- dom ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) C_ S |
174 |
171 173
|
sstri |
|- ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S |
175 |
174
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S ) |
176 |
|
suppssfifsupp |
|- ( ( ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V /\ Fun ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( S e. Fin /\ ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S ) ) -> ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) ) |
177 |
167 169 170 80 175 176
|
syl32anc |
|- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) ) |
178 |
5 77 6 80 163 177 131
|
gsumf1o |
|- ( ph -> ( G gsum ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsum ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) ) |
179 |
153
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( G gsum ( ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( G gsum ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) ) |
180 |
178 179
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( G gsum ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsum ( m e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) ) |
181 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> G e. CMnd ) |
182 |
113
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> D e. _V ) |
183 |
|
rabexg |
|- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V ) |
184 |
|
mptexg |
|- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V ) |
185 |
182 183 184
|
3syl |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V ) |
186 |
|
funmpt |
|- Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) |
187 |
186
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) |
188 |
|
fvexd |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V ) |
189 |
|
suppssdm |
|- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) |
190 |
|
eqid |
|- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) |
191 |
190
|
dmmptss |
|- dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |
192 |
189 191
|
sstri |
|- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |
193 |
192
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) |
194 |
|
suppssfifsupp |
|- ( ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V /\ Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin /\ ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) ) |
195 |
185 187 188 99 193 194
|
syl32anc |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) ) |
196 |
5 77 181 99 11 195 21
|
gsumf1o |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsum ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsum ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) ) |
197 |
70
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsum ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) = ( G gsum ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) |
198 |
196 197
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsum ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsum ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) |
199 |
198
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( j e. S |-> ( G gsum ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) = ( j e. S |-> ( G gsum ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) |
200 |
199
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( G gsum ( j e. S |-> ( G gsum ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. S |-> ( G gsum ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) ) |
201 |
108 180 200
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( G gsum ( n e. S |-> ( G gsum ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsum ( j e. S |-> ( G gsum ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) ) |