Metamath Proof Explorer

Theorem pthdlem1

Description: Lemma 1 for pthd . (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017) (Revised by AV, 9-Feb-2021)

Ref Expression
Hypotheses pthd.p 
|- ( ph -> P e. Word _V )
pthd.r 
|- R = ( ( # ` P ) - 1 )
pthd.s 
|- ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
Assertion pthdlem1 
|- ( ph -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pthd.p 
 |-  ( ph -> P e. Word _V )
2 pthd.r 
 |-  R = ( ( # ` P ) - 1 )
3 pthd.s 
 |-  ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
4 wrdf 
 |-  ( P e. Word _V -> P : ( 0 ..^ ( # ` P ) ) --> _V )
5 1 4 syl 
 |-  ( ph -> P : ( 0 ..^ ( # ` P ) ) --> _V )
6 fzo0ss1 
 |-  ( 1 ..^ R ) C_ ( 0 ..^ R )
7 2 a1i 
 |-  ( ph -> R = ( ( # ` P ) - 1 ) )
8 7 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( 0 ..^ R ) = ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
9 6 8 sseqtrid 
 |-  ( ph -> ( 1 ..^ R ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
10 lencl 
 |-  ( P e. Word _V -> ( # ` P ) e. NN0 )
11 nn0z 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. ZZ )
12 1 10 11 3syl 
 |-  ( ph -> ( # ` P ) e. ZZ )
13 fzossrbm1 
 |-  ( ( # ` P ) e. ZZ -> ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( # ` P ) ) )
14 12 13 syl 
 |-  ( ph -> ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( # ` P ) ) )
15 9 14 sstrd 
 |-  ( ph -> ( 1 ..^ R ) C_ ( 0 ..^ ( # ` P ) ) )
16 5 15 fssresd 
 |-  ( ph -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V )
17 16 adantr 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V )
18 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
19 1 10 syl 
 |-  ( ph -> ( # ` P ) e. NN0 )
20 nn0re 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. RR )
21 20 ltm1d 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) )
22 1re 
 |-  1 e. RR
23 peano2rem 
 |-  ( ( # ` P ) e. RR -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR )
24 20 23 syl 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR )
25 lttr 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) /\ ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) ) -> 1 < ( # ` P ) ) )
26 22 24 20 25 mp3an2i 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) /\ ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) ) -> 1 < ( # ` P ) ) )
27 1red 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> 1 e. RR )
28 ltle 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( 1 < ( # ` P ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
29 27 20 28 syl2anc 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( # ` P ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
30 26 29 syld 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) /\ ( ( # ` P ) - 1 ) < ( # ` P ) ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
31 21 30 mpan2d 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) -> 1 <_ ( # ` P ) ) )
32 31 imdistani 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 <_ ( # ` P ) ) )
33 elnnnn0c 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN <-> ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 <_ ( # ` P ) ) )
34 32 33 sylibr 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. NN )
35 19 34 sylan 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. NN )
36 fzo0sn0fzo1 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ..^ ( # ` P ) ) ) )
37 35 36 syl 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ..^ ( # ` P ) ) ) )
38 1zzd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
39 1p1e2 
 |-  ( 1 + 1 ) = 2
40 2z 
 |-  2 e. ZZ
41 39 40 eqeltri 
 |-  ( 1 + 1 ) e. ZZ
42 41 a1i 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) e. ZZ )
43 11 adantr 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. ZZ )
44 ltaddsub 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ 1 e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) <-> 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
45 44 bicomd 
 |-  ( ( 1 e. RR /\ 1 e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) <-> ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) ) )
46 22 27 20 45 mp3an2i 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) <-> ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) ) )
47 2re 
 |-  2 e. RR
48 39 47 eqeltri 
 |-  ( 1 + 1 ) e. RR
49 ltle 
 |-  ( ( ( 1 + 1 ) e. RR /\ ( # ` P ) e. RR ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
50 48 20 49 sylancr 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( 1 + 1 ) < ( # ` P ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
51 46 50 sylbid 
 |-  ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
52 51 imp 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) )
53 eluz2 
 |-  ( ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) <-> ( ( 1 + 1 ) e. ZZ /\ ( # ` P ) e. ZZ /\ ( 1 + 1 ) <_ ( # ` P ) ) )
54 42 43 52 53 syl3anbrc 
 |-  ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
55 19 54 sylan 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
56 fzosplitsnm1 
 |-  ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` P ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) ) -> ( 1 ..^ ( # ` P ) ) = ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) )
57 38 55 56 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 ..^ ( # ` P ) ) = ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) )
58 57 uneq2d 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( { 0 } u. ( 1 ..^ ( # ` P ) ) ) = ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) )
59 37 58 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) )
60 59 raleqdv 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> A. i e. ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) )
61 ralunb 
 |-  ( A. i e. ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) )
62 ralunb 
 |-  ( A. i e. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) )
63 62 anbi2i 
 |-  ( ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) )
64 61 63 bitri 
 |-  ( A. i e. ( { 0 } u. ( ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) u. { ( ( # ` P ) - 1 ) } ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) )
65 60 64 bitrdi 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) ) )
66 2 eqcomi 
 |-  ( ( # ` P ) - 1 ) = R
67 66 oveq2i 
 |-  ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( 1 ..^ R )
68 67 raleqi 
 |-  ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) <-> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) )
69 fvres 
 |-  ( i e. ( 1 ..^ R ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) = ( P ` i ) )
70 69 eqcomd 
 |-  ( i e. ( 1 ..^ R ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) )
71 70 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) )
72 71 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) )
73 fvres 
 |-  ( j e. ( 1 ..^ R ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) = ( P ` j ) )
74 73 eqcomd 
 |-  ( j e. ( 1 ..^ R ) -> ( P ` j ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) )
75 74 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( P ` j ) = ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) )
76 72 75 neeq12d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( ( P ` i ) =/= ( P ` j ) <-> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) )
77 76 biimpd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( ( P ` i ) =/= ( P ` j ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) )
78 77 imim2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) /\ j e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
79 78 ralimdva 
 |-  ( ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ i e. ( 1 ..^ R ) ) -> ( A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
80 79 ralimdva 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
81 68 80 syl5bi 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
82 81 adantrd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
83 82 adantld 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( A. i e. { 0 } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) /\ A. i e. { ( ( # ` P ) - 1 ) } A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
84 65 83 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` P ) ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( P ` i ) =/= ( P ` j ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
85 18 84 mpd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) )
86 dff14a 
 |-  ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) -1-1-> _V <-> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V /\ A. i e. ( 1 ..^ R ) A. j e. ( 1 ..^ R ) ( i =/= j -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` i ) =/= ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ` j ) ) ) )
87 17 85 86 sylanbrc 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) -1-1-> _V )
88 df-f1 
 |-  ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) -1-1-> _V <-> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V /\ Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ) )
89 87 88 sylib 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( P |` ( 1 ..^ R ) ) : ( 1 ..^ R ) --> _V /\ Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) ) )
90 89 simprd 
 |-  ( ( ph /\ 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )
91 funcnv0 
 |-  Fun `' (/)
92 19 nn0zd 
 |-  ( ph -> ( # ` P ) e. ZZ )
93 peano2zm 
 |-  ( ( # ` P ) e. ZZ -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ )
94 92 93 syl 
 |-  ( ph -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ )
95 94 zred 
 |-  ( ph -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. RR )
96 1red 
 |-  ( ph -> 1 e. RR )
97 95 96 lenltd 
 |-  ( ph -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) <_ 1 <-> -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) )
98 97 biimpar 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( # ` P ) - 1 ) <_ 1 )
99 2 98 eqbrtrid 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> R <_ 1 )
100 1zzd 
 |-  ( ph -> 1 e. ZZ )
101 2 94 eqeltrid 
 |-  ( ph -> R e. ZZ )
102 100 101 jca 
 |-  ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) )
103 102 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) )
104 fzon 
 |-  ( ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( R <_ 1 <-> ( 1 ..^ R ) = (/) ) )
105 104 bicomd 
 |-  ( ( 1 e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( ( 1 ..^ R ) = (/) <-> R <_ 1 ) )
106 103 105 syl 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( 1 ..^ R ) = (/) <-> R <_ 1 ) )
107 99 106 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 1 ..^ R ) = (/) )
108 107 reseq2d 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) = ( P |` (/) ) )
109 res0 
 |-  ( P |` (/) ) = (/)
110 108 109 eqtrdi 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( P |` ( 1 ..^ R ) ) = (/) )
111 110 cnveqd 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) = `' (/) )
112 111 funeqd 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) <-> Fun `' (/) ) )
113 91 112 mpbiri 
 |-  ( ( ph /\ -. 1 < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )
114 90 113 pm2.61dan 
 |-  ( ph -> Fun `' ( P |` ( 1 ..^ R ) ) )