Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
stoweidlem20.1 |
|- F/ t ph |
2 |
|
stoweidlem20.2 |
|- F = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
3 |
|
stoweidlem20.3 |
|- ( ph -> M e. NN ) |
4 |
|
stoweidlem20.4 |
|- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> A ) |
5 |
|
stoweidlem20.5 |
|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) |
6 |
|
stoweidlem20.6 |
|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) |
7 |
3
|
nnred |
|- ( ph -> M e. RR ) |
8 |
7
|
leidd |
|- ( ph -> M <_ M ) |
9 |
8
|
ancli |
|- ( ph -> ( ph /\ M <_ M ) ) |
10 |
|
eleq1 |
|- ( n = M -> ( n e. NN <-> M e. NN ) ) |
11 |
|
breq1 |
|- ( n = M -> ( n <_ M <-> M <_ M ) ) |
12 |
11
|
anbi2d |
|- ( n = M -> ( ( ph /\ n <_ M ) <-> ( ph /\ M <_ M ) ) ) |
13 |
|
oveq2 |
|- ( n = M -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... M ) ) |
14 |
13
|
sumeq1d |
|- ( n = M -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
15 |
14
|
mpteq2dv |
|- ( n = M -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ) |
16 |
15
|
eleq1d |
|- ( n = M -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) |
17 |
12 16
|
imbi12d |
|- ( n = M -> ( ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ M <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) |
18 |
10 17
|
imbi12d |
|- ( n = M -> ( ( n e. NN -> ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) <-> ( M e. NN -> ( ( ph /\ M <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) ) |
19 |
|
breq1 |
|- ( x = 1 -> ( x <_ M <-> 1 <_ M ) ) |
20 |
19
|
anbi2d |
|- ( x = 1 -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ 1 <_ M ) ) ) |
21 |
|
oveq2 |
|- ( x = 1 -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... 1 ) ) |
22 |
21
|
sumeq1d |
|- ( x = 1 -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
23 |
22
|
mpteq2dv |
|- ( x = 1 -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ) |
24 |
23
|
eleq1d |
|- ( x = 1 -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) |
25 |
20 24
|
imbi12d |
|- ( x = 1 -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) |
26 |
|
breq1 |
|- ( x = y -> ( x <_ M <-> y <_ M ) ) |
27 |
26
|
anbi2d |
|- ( x = y -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ y <_ M ) ) ) |
28 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... y ) ) |
29 |
28
|
sumeq1d |
|- ( x = y -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
30 |
29
|
mpteq2dv |
|- ( x = y -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ) |
31 |
30
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) |
32 |
27 31
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) |
33 |
|
breq1 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ M <-> ( y + 1 ) <_ M ) ) |
34 |
33
|
anbi2d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) ) |
35 |
|
oveq2 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) |
36 |
35
|
sumeq1d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
37 |
36
|
mpteq2dv |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ) |
38 |
37
|
eleq1d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) |
39 |
34 38
|
imbi12d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) |
40 |
|
breq1 |
|- ( x = n -> ( x <_ M <-> n <_ M ) ) |
41 |
40
|
anbi2d |
|- ( x = n -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ n <_ M ) ) ) |
42 |
|
oveq2 |
|- ( x = n -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... n ) ) |
43 |
42
|
sumeq1d |
|- ( x = n -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
44 |
43
|
mpteq2dv |
|- ( x = n -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ) |
45 |
44
|
eleq1d |
|- ( x = n -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) |
46 |
41 45
|
imbi12d |
|- ( x = n -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) |
47 |
|
1z |
|- 1 e. ZZ |
48 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
49 |
3 48
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
50 |
|
eluzfz1 |
|- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... M ) ) |
51 |
49 50
|
syl |
|- ( ph -> 1 e. ( 1 ... M ) ) |
52 |
4 51
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( G ` 1 ) e. A ) |
53 |
52
|
ancli |
|- ( ph -> ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) ) |
54 |
|
eleq1 |
|- ( f = ( G ` 1 ) -> ( f e. A <-> ( G ` 1 ) e. A ) ) |
55 |
54
|
anbi2d |
|- ( f = ( G ` 1 ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) ) ) |
56 |
|
feq1 |
|- ( f = ( G ` 1 ) -> ( f : T --> RR <-> ( G ` 1 ) : T --> RR ) ) |
57 |
55 56
|
imbi12d |
|- ( f = ( G ` 1 ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) -> ( G ` 1 ) : T --> RR ) ) ) |
58 |
57 6
|
vtoclg |
|- ( ( G ` 1 ) e. A -> ( ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) -> ( G ` 1 ) : T --> RR ) ) |
59 |
52 53 58
|
sylc |
|- ( ph -> ( G ` 1 ) : T --> RR ) |
60 |
59
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` 1 ) ` t ) e. RR ) |
61 |
60
|
recnd |
|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` 1 ) ` t ) e. CC ) |
62 |
|
fveq2 |
|- ( i = 1 -> ( G ` i ) = ( G ` 1 ) ) |
63 |
62
|
fveq1d |
|- ( i = 1 -> ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` 1 ) ` t ) ) |
64 |
63
|
fsum1 |
|- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( G ` 1 ) ` t ) e. CC ) -> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` 1 ) ` t ) ) |
65 |
47 61 64
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` 1 ) ` t ) ) |
66 |
1 65
|
mpteq2da |
|- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` 1 ) ` t ) ) ) |
67 |
59
|
feqmptd |
|- ( ph -> ( G ` 1 ) = ( t e. T |-> ( ( G ` 1 ) ` t ) ) ) |
68 |
66 67
|
eqtr4d |
|- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( G ` 1 ) ) |
69 |
68 52
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) |
70 |
69
|
adantr |
|- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) |
71 |
|
simprl |
|- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ph ) |
72 |
|
simpll |
|- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> y e. NN ) |
73 |
|
simprr |
|- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( y + 1 ) <_ M ) |
74 |
|
simp1 |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ph ) |
75 |
|
nnre |
|- ( y e. NN -> y e. RR ) |
76 |
75
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> y e. RR ) |
77 |
|
1red |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> 1 e. RR ) |
78 |
76 77
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) e. RR ) |
79 |
3
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> M e. NN ) |
80 |
79
|
nnred |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> M e. RR ) |
81 |
76
|
lep1d |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> y <_ ( y + 1 ) ) |
82 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) <_ M ) |
83 |
76 78 80 81 82
|
letrd |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> y <_ M ) |
84 |
74 83
|
jca |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( ph /\ y <_ M ) ) |
85 |
71 72 73 84
|
syl3anc |
|- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( ph /\ y <_ M ) ) |
86 |
|
simplr |
|- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) |
87 |
85 86
|
mpd |
|- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) |
88 |
|
nfv |
|- F/ t y e. NN |
89 |
|
nfv |
|- F/ t ( y + 1 ) <_ M |
90 |
1 88 89
|
nf3an |
|- F/ t ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) |
91 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> y e. NN ) |
92 |
91 48
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
93 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ph ) |
94 |
|
1zzd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ ) |
95 |
3
|
nnzd |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
96 |
95
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> M e. ZZ ) |
97 |
96
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> M e. ZZ ) |
98 |
|
elfzelz |
|- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> i e. ZZ ) |
99 |
98
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i e. ZZ ) |
100 |
|
elfzle1 |
|- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> 1 <_ i ) |
101 |
100
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> 1 <_ i ) |
102 |
98
|
zred |
|- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> i e. RR ) |
103 |
102
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i e. RR ) |
104 |
78
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) e. RR ) |
105 |
80
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> M e. RR ) |
106 |
|
elfzle2 |
|- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> i <_ ( y + 1 ) ) |
107 |
106
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i <_ ( y + 1 ) ) |
108 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) <_ M ) |
109 |
103 104 105 107 108
|
letrd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i <_ M ) |
110 |
|
elfz4 |
|- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) -> i e. ( 1 ... M ) ) |
111 |
94 97 99 101 109 110
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i e. ( 1 ... M ) ) |
112 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> t e. T ) |
113 |
4
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` i ) e. A ) |
114 |
113
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( G ` i ) e. A ) |
115 |
|
simp1 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ph ) |
116 |
115 114
|
jca |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) ) |
117 |
|
eleq1 |
|- ( f = ( G ` i ) -> ( f e. A <-> ( G ` i ) e. A ) ) |
118 |
117
|
anbi2d |
|- ( f = ( G ` i ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) ) ) |
119 |
|
feq1 |
|- ( f = ( G ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( G ` i ) : T --> RR ) ) |
120 |
118 119
|
imbi12d |
|- ( f = ( G ` i ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) -> ( G ` i ) : T --> RR ) ) ) |
121 |
120 6
|
vtoclg |
|- ( ( G ` i ) e. A -> ( ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) -> ( G ` i ) : T --> RR ) ) |
122 |
114 116 121
|
sylc |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( G ` i ) : T --> RR ) |
123 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> t e. T ) |
124 |
122 123
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR ) |
125 |
124
|
recnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. CC ) |
126 |
93 111 112 125
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. CC ) |
127 |
|
fveq2 |
|- ( i = ( y + 1 ) -> ( G ` i ) = ( G ` ( y + 1 ) ) ) |
128 |
127
|
fveq1d |
|- ( i = ( y + 1 ) -> ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) |
129 |
92 126 128
|
fsump1 |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) |
130 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> t e. T ) |
131 |
|
fzfid |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( 1 ... y ) e. Fin ) |
132 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ph ) |
133 |
|
1zzd |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> 1 e. ZZ ) |
134 |
96
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> M e. ZZ ) |
135 |
|
elfzelz |
|- ( i e. ( 1 ... y ) -> i e. ZZ ) |
136 |
135
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i e. ZZ ) |
137 |
|
elfzle1 |
|- ( i e. ( 1 ... y ) -> 1 <_ i ) |
138 |
137
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> 1 <_ i ) |
139 |
135
|
zred |
|- ( i e. ( 1 ... y ) -> i e. RR ) |
140 |
139
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i e. RR ) |
141 |
78
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ( y + 1 ) e. RR ) |
142 |
80
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> M e. RR ) |
143 |
76
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> y e. RR ) |
144 |
|
elfzle2 |
|- ( i e. ( 1 ... y ) -> i <_ y ) |
145 |
144
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ y ) |
146 |
|
letrp1 |
|- ( ( i e. RR /\ y e. RR /\ i <_ y ) -> i <_ ( y + 1 ) ) |
147 |
140 143 145 146
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ ( y + 1 ) ) |
148 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ( y + 1 ) <_ M ) |
149 |
140 141 142 147 148
|
letrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ M ) |
150 |
149
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ M ) |
151 |
133 134 136 138 150 110
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i e. ( 1 ... M ) ) |
152 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> t e. T ) |
153 |
132 151 152 124
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR ) |
154 |
131 153
|
fsumrecl |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR ) |
155 |
|
eqid |
|- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
156 |
155
|
fvmpt2 |
|- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
157 |
130 154 156
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
158 |
157
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) |
159 |
129 158
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) |
160 |
90 159
|
mpteq2da |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) ) |
161 |
160
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) ) |
162 |
|
1zzd |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> 1 e. ZZ ) |
163 |
|
peano2nn |
|- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. NN ) |
164 |
163
|
nnzd |
|- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. ZZ ) |
165 |
164
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) e. ZZ ) |
166 |
163
|
nnge1d |
|- ( y e. NN -> 1 <_ ( y + 1 ) ) |
167 |
166
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) |
168 |
|
elfz4 |
|- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( y + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) |
169 |
162 96 165 167 82 168
|
syl32anc |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) |
170 |
4
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) |
171 |
74 169 170
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) |
172 |
|
eleq1 |
|- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( f e. A <-> ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) ) |
173 |
172
|
anbi2d |
|- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) ) ) |
174 |
|
feq1 |
|- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) ) |
175 |
173 174
|
imbi12d |
|- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) ) ) |
176 |
175 6
|
vtoclg |
|- ( ( G ` ( y + 1 ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) ) |
177 |
176
|
anabsi7 |
|- ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) |
178 |
74 171 177
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) |
179 |
178
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) e. RR ) |
180 |
|
eqid |
|- ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) |
181 |
180
|
fvmpt2 |
|- ( ( t e. T /\ ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) = ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) |
182 |
130 179 181
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) = ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) |
183 |
182
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) |
184 |
90 183
|
mpteq2da |
|- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) ) |
185 |
184
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) ) |
186 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ph ) |
187 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) |
188 |
169
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) |
189 |
177
|
feqmptd |
|- ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) |
190 |
170 189
|
syldan |
|- ( ( ph /\ ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) |
191 |
190 170
|
eqeltrrd |
|- ( ( ph /\ ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) e. A ) |
192 |
186 188 191
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) e. A ) |
193 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ t ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) |
194 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ t ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) |
195 |
5 193 194
|
stoweidlem8 |
|- ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A /\ ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) e. A ) |
196 |
186 187 192 195
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) e. A ) |
197 |
185 196
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A ) |
198 |
161 197
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) |
199 |
71 72 73 87 198
|
syl31anc |
|- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) |
200 |
199
|
exp31 |
|- ( y e. NN -> ( ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) |
201 |
25 32 39 46 70 200
|
nnind |
|- ( n e. NN -> ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) |
202 |
18 201
|
vtoclg |
|- ( M e. NN -> ( M e. NN -> ( ( ph /\ M <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) |
203 |
3 3 9 202
|
syl3c |
|- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) |
204 |
2 203
|
eqeltrid |
|- ( ph -> F e. A ) |