Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rpre |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
atanrecl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
4 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
5 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
6 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
7 |
|
divneg |
⊢ ( ( π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → - ( π / 2 ) = ( - π / 2 ) ) |
8 |
4 5 6 7
|
mp3an |
⊢ - ( π / 2 ) = ( - π / 2 ) |
9 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
10 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
11 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ ) |
12 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
13 |
10 11 12
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
14 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
15 |
9 13 14
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
16 |
|
atanre |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ dom arctan ) |
17 |
1 16
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ dom arctan ) |
18 |
|
atandm2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) ) |
19 |
17 18
|
sylib |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) ) |
20 |
19
|
simp3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
21 |
15 20
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
23 |
9 13 22
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
19
|
simp2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
25 |
23 24
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
26 |
21 25
|
subcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
27 |
|
imre |
⊢ ( ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ℜ ‘ ( - i · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
28 |
26 27
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ℑ ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ℜ ‘ ( - i · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
29 |
|
atanval |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ 𝐴 ) = ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
30 |
17 29
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( arctan ‘ 𝐴 ) = ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
31 |
30
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( 2 · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
32 |
10 5 6
|
divcan2i |
⊢ ( 2 · ( i / 2 ) ) = i |
33 |
32
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( i · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
34 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
35 |
34
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ ) |
36 |
35
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ ) |
37 |
|
halfcl |
⊢ ( i ∈ ℂ → ( i / 2 ) ∈ ℂ ) |
38 |
10 37
|
mp1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( i / 2 ) ∈ ℂ ) |
39 |
25 21
|
subcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
40 |
36 38 39
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ( 2 · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( 2 · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
41 |
33 40
|
syl5eqr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( i · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( 2 · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
42 |
31 41
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( i · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
43 |
21 25
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → - ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( i · - ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( i · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
45 |
42 44
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( i · - ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
46 |
|
mulneg12 |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( - i · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( i · - ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
47 |
10 26 46
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( - i · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( i · - ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
48 |
45 47
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( - i · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
49 |
48
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ℜ ‘ ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ℜ ‘ ( - i · ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
50 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
51 |
34 3 50
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
52 |
51
|
rered |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ℜ ‘ ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) |
53 |
28 49 52
|
3eqtr2rd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( ℑ ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
54 |
|
rpgt0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴 ) |
55 |
1
|
rered |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ℜ ‘ 𝐴 ) = 𝐴 ) |
56 |
54 55
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) |
57 |
|
atanlogsublem |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) → ( ℑ ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,) π ) ) |
58 |
17 56 57
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ℑ ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ ( - π (,) π ) ) |
59 |
53 58
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( - π (,) π ) ) |
60 |
|
eliooord |
⊢ ( ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( - π (,) π ) → ( - π < ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) < π ) ) |
61 |
59 60
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( - π < ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) < π ) ) |
62 |
61
|
simpld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → - π < ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) |
63 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
64 |
63
|
renegcli |
⊢ - π ∈ ℝ |
65 |
64
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → - π ∈ ℝ ) |
66 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
67 |
66
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 2 ) |
68 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( - π / 2 ) < ( arctan ‘ 𝐴 ) ↔ - π < ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
69 |
65 3 35 67 68
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ( - π / 2 ) < ( arctan ‘ 𝐴 ) ↔ - π < ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
70 |
62 69
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( - π / 2 ) < ( arctan ‘ 𝐴 ) ) |
71 |
8 70
|
eqbrtrid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → - ( π / 2 ) < ( arctan ‘ 𝐴 ) ) |
72 |
61
|
simprd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) < π ) |
73 |
63
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ ) |
74 |
|
ltmuldiv2 |
⊢ ( ( ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) < π ↔ ( arctan ‘ 𝐴 ) < ( π / 2 ) ) ) |
75 |
3 73 35 67 74
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( ( 2 · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) < π ↔ ( arctan ‘ 𝐴 ) < ( π / 2 ) ) ) |
76 |
72 75
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( arctan ‘ 𝐴 ) < ( π / 2 ) ) |
77 |
|
halfpire |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ |
78 |
77
|
renegcli |
⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ |
79 |
78
|
rexri |
⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* |
80 |
77
|
rexri |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ* |
81 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( - ( π / 2 ) ∈ ℝ* ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ* ) → ( ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ↔ ( ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ - ( π / 2 ) < ( arctan ‘ 𝐴 ) ∧ ( arctan ‘ 𝐴 ) < ( π / 2 ) ) ) ) |
82 |
79 80 81
|
mp2an |
⊢ ( ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ↔ ( ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ - ( π / 2 ) < ( arctan ‘ 𝐴 ) ∧ ( arctan ‘ 𝐴 ) < ( π / 2 ) ) ) |
83 |
3 71 76 82
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ) |