Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvbdfbdioolem2.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
dvbdfbdioolem2.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
dvbdfbdioolem2.altb |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 ) |
4 |
|
dvbdfbdioolem2.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
5 |
|
dvbdfbdioolem2.dmdv |
⊢ ( 𝜑 → dom ( ℝ D 𝐹 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
6 |
|
dvbdfbdioolem2.k |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
7 |
|
dvbdfbdioolem2.dvbd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝐾 ) |
8 |
|
dvbdfbdioolem2.m |
⊢ 𝑀 = ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
9 |
4
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
10 |
9
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
11 |
10
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
1
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
13 |
2
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
14 |
1 2
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
16 |
|
avglt1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) |
17 |
1 2 16
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) |
18 |
3 17
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) |
19 |
|
avglt2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ) ) |
20 |
1 2 19
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ) ) |
21 |
3 20
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ) |
22 |
12 13 15 18 21
|
eliood |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
23 |
4 22
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
24 |
23
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
24
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
11 26
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) − ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
28 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
29 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
30 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
31 |
29 30
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
32 |
28 31
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
10 33
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
35 |
34
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
10 33
|
abs2difd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) − ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) |
37 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → 𝜑 ) |
38 |
15
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ* ) |
39 |
38
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ* ) |
40 |
13
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
41 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
42 |
41
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
44 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) |
45 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
46 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
47 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
48 |
|
iooltub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 < 𝐵 ) |
49 |
45 46 47 48
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 < 𝐵 ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → 𝑥 < 𝐵 ) |
51 |
39 40 43 44 50
|
eliood |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) |
52 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
53 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
54 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
55 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → dom ( ℝ D 𝐹 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
56 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
57 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑦 ) ) ) |
58 |
57
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝐾 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑦 ) ) ≤ 𝐾 ) ) |
59 |
58
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝐾 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑦 ) ) ≤ 𝐾 ) |
60 |
7 59
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑦 ) ) ≤ 𝐾 ) |
61 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑦 ) ) ≤ 𝐾 ) |
62 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
63 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) |
64 |
52 53 54 55 56 61 62 63
|
dvbdfbdioolem1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝑥 − ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
65 |
64
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
66 |
37 51 65
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
67 |
|
fveq2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
68 |
67
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) |
69 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) |
70 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
71 |
69 70
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
72 |
71 69
|
subeq0bd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) = 0 ) |
73 |
72
|
abs00bd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = 0 ) |
74 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
75 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
76 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
77 |
75 76
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
78 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
79 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ |
80 |
|
dvfre |
⊢ ( ( 𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ ) |
81 |
4 79 80
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐹 ) : dom ( ℝ D 𝐹 ) ⟶ ℝ ) |
82 |
22 5
|
eleqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ dom ( ℝ D 𝐹 ) ) |
83 |
81 82
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
84 |
83
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
85 |
84
|
abscld |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
86 |
84
|
absge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) |
87 |
|
2fveq3 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) |
88 |
87
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝐾 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ≤ 𝐾 ) ) |
89 |
88
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝐾 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ≤ 𝐾 ) |
90 |
7 22 89
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ≤ 𝐾 ) |
91 |
78 85 6 86 90
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐾 ) |
92 |
91
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 0 ≤ 𝐾 ) |
93 |
2 1
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
94 |
1 2
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
95 |
3 94
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
96 |
78 93 95
|
ltled |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
97 |
96
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 0 ≤ ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
98 |
74 77 92 97
|
mulge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 0 ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
99 |
73 98
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
100 |
99
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
101 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) |
102 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
103 |
15
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
104 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
105 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
106 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) |
107 |
104 105 106
|
nltled |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → 𝑥 ≤ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) |
108 |
107
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 𝑥 ≤ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) |
109 |
|
neqne |
⊢ ( ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ≠ 𝑥 ) |
110 |
109
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ≠ 𝑥 ) |
111 |
102 103 108 110
|
leneltd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) |
112 |
10 33
|
abssubd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
113 |
112
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
114 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
115 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
116 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝐹 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
117 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → dom ( ℝ D 𝐹 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
118 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
119 |
60
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑦 ) ) ≤ 𝐾 ) |
120 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
121 |
41
|
rexrd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
122 |
121
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
123 |
13
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
124 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
125 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) |
126 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝐵 ) |
127 |
122 123 124 125 126
|
eliood |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ( 𝑥 (,) 𝐵 ) ) |
128 |
114 115 116 117 118 119 120 127
|
dvbdfbdioolem1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − 𝑥 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
129 |
128
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) − ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
130 |
113 129
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
131 |
101 111 130
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) = 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
132 |
100 131
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) < 𝑥 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
133 |
66 132
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) − ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
134 |
27 35 32 36 133
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) − ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
135 |
27 32 26 134
|
leadd1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) − ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) |
136 |
11
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ ) |
137 |
26
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
138 |
136 137
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) − ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) |
139 |
138
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) − ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) |
140 |
25
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
141 |
6
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ ) |
142 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
143 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
144 |
142 143
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
145 |
141 144
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
146 |
140 145
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) |
147 |
8 146
|
eqtrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 = ( ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) |
148 |
147
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑀 = ( ( 𝐾 · ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) |
149 |
135 139 148
|
3brtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑀 ) |
150 |
149
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ≤ 𝑀 ) |