Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fmul01lt1lem2.1 |
⊢ Ⅎ 𝑖 𝐵 |
2 |
|
fmul01lt1lem2.2 |
⊢ Ⅎ 𝑖 𝜑 |
3 |
|
fmul01lt1lem2.3 |
⊢ 𝐴 = seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) |
4 |
|
fmul01lt1lem2.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ ) |
5 |
|
fmul01lt1lem2.5 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ) |
6 |
|
fmul01lt1lem2.6 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
7 |
|
fmul01lt1lem2.7 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
8 |
|
fmul01lt1lem2.8 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ 1 ) |
9 |
|
fmul01lt1lem2.9 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
10 |
|
fmul01lt1lem2.10 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) |
11 |
|
fmul01lt1lem2.11 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ‘ 𝐽 ) < 𝐸 ) |
12 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑖 𝐽 = 𝐿 |
13 |
2 12
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) |
14 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐿 ∈ ℤ ) |
15 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ) |
16 |
6
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
17 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
18 |
8
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ 1 ) |
19 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
20 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐽 = 𝐿 ) |
21 |
20
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐵 ‘ 𝐽 ) = ( 𝐵 ‘ 𝐿 ) ) |
22 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐵 ‘ 𝐽 ) < 𝐸 ) |
23 |
21 22
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐵 ‘ 𝐿 ) < 𝐸 ) |
24 |
1 13 3 14 15 16 17 18 19 23
|
fmul01lt1lem1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) < 𝐸 ) |
25 |
3
|
fveq1i |
⊢ ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) = ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) |
26 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑖 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) |
27 |
2 26
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) |
28 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑖 𝑎 |
29 |
1 28
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) |
30 |
29
|
nfel1 |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ |
31 |
27 30
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
32 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ↔ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ) |
33 |
32
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ) ) |
34 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ) |
35 |
34
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) ) |
36 |
33 35
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) ) ) |
37 |
31 36 6
|
chvarfv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
38 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 𝑎 · 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
39 |
38
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑎 · 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
40 |
5 37 39
|
seqcl |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
42 |
|
elfzuz3 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) ) |
43 |
10 42
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) ) |
44 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑖 𝑎 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) |
45 |
2 44
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) |
46 |
45 30
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
47 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ↔ 𝑎 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) ) |
48 |
47
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) ) ) |
49 |
48 35
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) ) ) |
50 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℤ ) |
51 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
52 |
5 51
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
54 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
55 |
54
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
56 |
50 53 55
|
3jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ) ) |
57 |
4
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ ) |
58 |
57
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℝ ) |
59 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
60 |
10 59
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ ) |
61 |
60
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
63 |
54
|
zred |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
64 |
63
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
65 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → 𝐿 ≤ 𝐽 ) |
66 |
10 65
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽 ) |
67 |
66
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝐿 ≤ 𝐽 ) |
68 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) → 𝐽 ≤ 𝑖 ) |
69 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝐽 ≤ 𝑖 ) |
70 |
58 62 64 67 69
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝐿 ≤ 𝑖 ) |
71 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) → 𝑖 ≤ 𝑀 ) |
72 |
71
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝑖 ≤ 𝑀 ) |
73 |
70 72
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐿 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑀 ) ) |
74 |
|
elfz2 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ↔ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐿 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑀 ) ) ) |
75 |
56 73 74
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) |
76 |
75 6
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
77 |
46 49 76
|
chvarfv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
78 |
43 77 39
|
seqcl |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
79 |
78
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
80 |
9
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ ) |
81 |
80
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
82 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( 𝑎 · 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
83 |
82
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑎 · 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
84 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) → 𝑎 ∈ ℝ ) |
85 |
84
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) → 𝑎 ∈ ℂ ) |
86 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
87 |
86
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
88 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
89 |
88
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) → 𝑐 ∈ ℂ ) |
90 |
85 87 89
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑎 · 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( 𝑎 · ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) |
91 |
90
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑏 ) · 𝑐 ) = ( 𝑎 · ( 𝑏 · 𝑐 ) ) ) |
92 |
60
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ ) |
93 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
94 |
92 93
|
npcand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) = 𝐽 ) |
95 |
94
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) ) |
96 |
43 95
|
eleqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) ) ) |
97 |
96
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) ) ) |
98 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐿 ∈ ℤ ) |
99 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
100 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 1 ∈ ℤ ) |
101 |
99 100
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℤ ) |
102 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ¬ 𝐽 = 𝐿 ) |
103 |
|
eqcom |
⊢ ( 𝐽 = 𝐿 ↔ 𝐿 = 𝐽 ) |
104 |
102 103
|
sylnib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ¬ 𝐿 = 𝐽 ) |
105 |
57 61
|
leloed |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ( 𝐿 < 𝐽 ∨ 𝐿 = 𝐽 ) ) ) |
106 |
66 105
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 < 𝐽 ∨ 𝐿 = 𝐽 ) ) |
107 |
106
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐿 < 𝐽 ∨ 𝐿 = 𝐽 ) ) |
108 |
|
orel2 |
⊢ ( ¬ 𝐿 = 𝐽 → ( ( 𝐿 < 𝐽 ∨ 𝐿 = 𝐽 ) → 𝐿 < 𝐽 ) ) |
109 |
104 107 108
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐿 < 𝐽 ) |
110 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 < 𝐽 ↔ 𝐿 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ) ) |
111 |
4 60 110
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 < 𝐽 ↔ 𝐿 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ) ) |
112 |
111
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐿 < 𝐽 ↔ 𝐿 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ) ) |
113 |
109 112
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐿 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ) |
114 |
|
eluz2 |
⊢ ( ( 𝐽 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ↔ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ) ) |
115 |
98 101 113 114
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐽 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ) |
116 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑖 ¬ 𝐽 = 𝐿 |
117 |
2 116
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) |
118 |
117 26
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) |
119 |
118 30
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
120 |
32
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) ) ) |
121 |
120 35
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) ) ) |
122 |
6
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
123 |
119 121 122
|
chvarfv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
124 |
83 91 97 115 123
|
seqsplit |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) · ( seq ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
125 |
94
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) = 𝐽 ) |
126 |
125
|
seqeq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → seq ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐵 ) = seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ) |
127 |
126
|
fveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) = ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) |
128 |
127
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) · ( seq ( ( 𝐽 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) = ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) · ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
129 |
124 128
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) · ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
130 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑖 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) |
131 |
117 130
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) |
132 |
131 30
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑖 ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
133 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ↔ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) ) |
134 |
133
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) ) ) |
135 |
134 35
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑎 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) ) ) |
136 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝐿 ∈ ℤ ) |
137 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
138 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
139 |
138
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
140 |
136 137 139
|
3jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ) ) |
141 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) → 𝐿 ≤ 𝑖 ) |
142 |
141
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝐿 ≤ 𝑖 ) |
143 |
138
|
zred |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
144 |
143
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℝ ) |
145 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
146 |
52
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ ) |
147 |
146
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℝ ) |
148 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
149 |
61 148
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℝ ) |
150 |
149
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℝ ) |
151 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) → 𝑖 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ) |
152 |
151
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑖 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ) |
153 |
61
|
lem1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝐽 ) |
154 |
153
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝐽 ) |
155 |
144 150 145 152 154
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑖 ≤ 𝐽 ) |
156 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) → 𝐽 ≤ 𝑀 ) |
157 |
10 156
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ≤ 𝑀 ) |
158 |
157
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝐽 ≤ 𝑀 ) |
159 |
144 145 147 155 158
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑖 ≤ 𝑀 ) |
160 |
142 159
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐿 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑀 ) ) |
161 |
140 160 74
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) |
162 |
161 6
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
163 |
162
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
164 |
132 135 163
|
chvarfv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝐿 ... ( 𝐽 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
165 |
38
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑎 · 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
166 |
115 164 165
|
seqcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
167 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 1 ∈ ℝ ) |
168 |
|
eqid |
⊢ seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) = seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) |
169 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) ) |
170 |
|
eluzfz2 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐽 ) → 𝑀 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) |
171 |
43 170
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) |
172 |
171
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) |
173 |
76
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
174 |
75 7
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
175 |
174
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
176 |
75 8
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ 1 ) |
177 |
176
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐽 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ 1 ) |
178 |
1 117 168 99 169 172 173 175 177
|
fmul01 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 0 ≤ ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ∧ ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ≤ 1 ) ) |
179 |
178
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 0 ≤ ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) |
180 |
|
eqid |
⊢ seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) = seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) |
181 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐿 ) ) |
182 |
|
1zzd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ ) |
183 |
60 182
|
zsubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℤ ) |
184 |
4 52 183
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℤ ) ) |
185 |
184
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℤ ) ) |
186 |
149 61 146
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ) ) |
187 |
186
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ) ) |
188 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐽 ∈ ℝ ) |
189 |
188
|
lem1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝐽 ) |
190 |
157
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → 𝐽 ≤ 𝑀 ) |
191 |
189 190
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑀 ) ) |
192 |
|
letr |
⊢ ( ( ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑀 ) → ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝑀 ) ) |
193 |
187 191 192
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝑀 ) |
194 |
113 193
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐿 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ∧ ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝑀 ) ) |
195 |
|
elfz2 |
⊢ ( ( 𝐽 − 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ↔ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐿 ≤ ( 𝐽 − 1 ) ∧ ( 𝐽 − 1 ) ≤ 𝑀 ) ) ) |
196 |
185 194 195
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐽 − 1 ) ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) |
197 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → 0 ≤ ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) |
198 |
8
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 𝐿 ... 𝑀 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ≤ 1 ) |
199 |
1 117 180 98 181 196 122 197 198
|
fmul01 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 0 ≤ ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) ∧ ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) ≤ 1 ) ) |
200 |
199
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) ≤ 1 ) |
201 |
166 167 79 179 200
|
lemul1ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ ( 𝐽 − 1 ) ) · ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) ≤ ( 1 · ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
202 |
129 201
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ≤ ( 1 · ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) ) |
203 |
79
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
204 |
203
|
mulid2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 1 · ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) = ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) |
205 |
202 204
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ≤ ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) ) |
206 |
1 2 168 60 43 76 174 176 9 11
|
fmul01lt1lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) < 𝐸 ) |
207 |
206
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐽 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) < 𝐸 ) |
208 |
41 79 81 205 207
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( seq 𝐿 ( · , 𝐵 ) ‘ 𝑀 ) < 𝐸 ) |
209 |
25 208
|
eqbrtrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 𝐿 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) < 𝐸 ) |
210 |
24 209
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ‘ 𝑀 ) < 𝐸 ) |