Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem56.k |
⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
2 |
|
fourierdlem56.a |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) ) |
3 |
|
fourierdlem56.r4 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
4 |
2
|
difss2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
5 |
4
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
6 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
7 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V |
8 |
6 7
|
ifex |
⊢ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ V |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ V ) |
10 |
1
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ V ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
11 |
5 9 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
12 |
3
|
neneqd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
13 |
12
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
14 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
17 |
16
|
halfcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
18 |
17
|
sincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
19 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
20 |
|
fourierdlem44 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
21 |
5 3 20
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
22 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
24 |
16 18 19 21 23
|
divdiv1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) / 2 ) = ( 𝑠 / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · 2 ) ) ) |
25 |
18 19
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · 2 ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · 2 ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
27 |
24 26
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) / 2 ) ) |
28 |
11 13 27
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) / 2 ) ) |
29 |
28
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) / 2 ) ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) / 2 ) ) ) ) |
31 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
32 |
31
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
33 |
16 18 21
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
35 |
15
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ ) |
36 |
35
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
37 |
34 36
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
38 |
35
|
recoscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
39 |
34
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
40 |
38 39
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
40 15
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
42 |
37 41
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
43 |
36
|
resqcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
44 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
45 |
44
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℤ ) |
46 |
18 21 45
|
expne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) |
47 |
42 43 46
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
48 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
49 |
|
recn |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ ) |
50 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
51 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ ) |
52 |
32
|
dvmptid |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ 1 ) ) |
53 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ |
54 |
53
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
55 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
56 |
55
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
57 |
|
iooretop |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
58 |
57
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) |
59 |
32 50 51 52 54 56 55 58
|
dvmptres |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 1 ) ) |
60 |
|
elsni |
⊢ ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ { 0 } → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) = 0 ) |
61 |
60
|
necon3ai |
⊢ ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 → ¬ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ { 0 } ) |
62 |
21 61
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ { 0 } ) |
63 |
18 62
|
eldifd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
64 |
17
|
coscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
65 |
48
|
halfcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
66 |
64 65
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
67 |
|
cnelprrecn |
⊢ ℂ ∈ { ℝ , ℂ } |
68 |
67
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℂ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
69 |
|
sinf |
⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ |
70 |
69
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → sin : ℂ ⟶ ℂ ) |
71 |
70
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
72 |
|
cosf |
⊢ cos : ℂ ⟶ ℂ |
73 |
72
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → cos : ℂ ⟶ ℂ ) |
74 |
73
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
75 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
76 |
22
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≠ 0 ) |
77 |
32 16 34 59 75 76
|
dvmptdivc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑠 / 2 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 1 / 2 ) ) ) |
78 |
|
ffn |
⊢ ( sin : ℂ ⟶ ℂ → sin Fn ℂ ) |
79 |
69 78
|
ax-mp |
⊢ sin Fn ℂ |
80 |
|
dffn5 |
⊢ ( sin Fn ℂ ↔ sin = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑥 ) ) ) |
81 |
79 80
|
mpbi |
⊢ sin = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑥 ) ) |
82 |
81
|
eqcomi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑥 ) ) = sin |
83 |
82
|
oveq2i |
⊢ ( ℂ D ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ℂ D sin ) |
84 |
|
dvsin |
⊢ ( ℂ D sin ) = cos |
85 |
|
ffn |
⊢ ( cos : ℂ ⟶ ℂ → cos Fn ℂ ) |
86 |
72 85
|
ax-mp |
⊢ cos Fn ℂ |
87 |
|
dffn5 |
⊢ ( cos Fn ℂ ↔ cos = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ 𝑥 ) ) ) |
88 |
86 87
|
mpbi |
⊢ cos = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ 𝑥 ) ) |
89 |
83 84 88
|
3eqtri |
⊢ ( ℂ D ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ 𝑥 ) ) |
90 |
89
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ℂ D ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ 𝑥 ) ) ) |
91 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 / 2 ) → ( sin ‘ 𝑥 ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
92 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑠 / 2 ) → ( cos ‘ 𝑥 ) = ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
93 |
32 68 17 39 71 74 77 90 91 92
|
dvmptco |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) ) ) |
94 |
32 16 48 59 63 66 93
|
dvmptdiv |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
95 |
32 33 47 94 75 76
|
dvmptdivc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑠 / ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) / 2 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) ) ) |
96 |
14
|
recnd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
97 |
96
|
halfcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
98 |
97
|
sincld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
99 |
98
|
mulid2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
100 |
97
|
coscld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
101 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 2 ∈ ℂ ) |
102 |
22
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 2 ≠ 0 ) |
103 |
100 101 102
|
divrecd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) = ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) ) |
104 |
103
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) = ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) ) |
105 |
104
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) · 𝑠 ) ) |
106 |
99 105
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) · 𝑠 ) ) ) |
107 |
106
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
108 |
107
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) = ( ( ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) ) |
109 |
108
|
mpteq2ia |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) ) |
110 |
109
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( 1 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) ) ) |
111 |
30 95 110
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) − ( ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) / 2 ) · 𝑠 ) ) / ( ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) / 2 ) ) ) |