Theorem fourierdlem57

Description: The derivative of O . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem57.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
	fourierdlem57.xre	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem57.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem57.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem57.fdv	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ )
	fourierdlem57.ab	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
	fourierdlem57.n0	⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
	fourierdlem57.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
	fourierdlem57.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
Assertion	fourierdlem57	⊢ ( ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) ∧ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2		fourierdlem57.xre	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
3		fourierdlem57.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
4		fourierdlem57.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
5		fourierdlem57.fdv	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ )
6		fourierdlem57.ab	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) )
7		fourierdlem57.n0	⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
8		fourierdlem57.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
9		fourierdlem57.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
10	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ )
11	2 3	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ )
12	11	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* )
13	12	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* )
14	2 4	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
15	14	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* )
16	15	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* )
17	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
18		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℝ )
19	18	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
20	17 19	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
21	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
22	21	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
23	4	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
24	23	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
25		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
26		ioogtlb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 )
27	22 24 25 26	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 )
28	21 19 17 27	ltadd2dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) )
29	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
30		iooltub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 )
31	22 24 25 30	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 )
32	19 29 17 31	ltadd2dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑋 + 𝐵 ) )
33	13 16 20 28 32	eliood	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) )
34	10 33	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
35		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
36	35	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℝ )
37		rehalfcl	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ )
38	19 37	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ )
39	38	resincld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ )
40	36 39	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
41	34 40	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ )
42	38	recoscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ )
43	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
44	43 20	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
45	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
46	44 45	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℝ )
47	42 46	remulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
48	41 47	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) ∈ ℝ )
49	40	resqcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ )
50		2cnd	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ )
51	37	recnd	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
52	51	sincld	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
53	50 52	mulcld	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
54	19 53	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
55		2cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℂ )
56	19 52	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
57		2ne0	⊢ 2 ≠ 0
58	57	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ≠ 0 )
59	6	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
60		eqcom	⊢ ( 𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠 )
61	60	biimpi	⊢ ( 𝑠 = 0 → 0 = 𝑠 )
62	61	adantl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 = 𝑠 )
63		simpl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
64	62 63	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
65	64	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
66	7	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
67	65 66	pm2.65da	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
68	67	neqned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
69		fourierdlem44	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
70	59 68 69	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
71	55 56 58 70	mulne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
72		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
73	72	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℤ )
74	54 71 73	expne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 )
75	48 49 74	redivcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ )
76		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) )
77	75 76	fmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ )
78	9	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
79	78	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
80		reelprrecn	⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ }
81	80	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } )
82	46	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℂ )
83	44	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
84		eqid	⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) )
85	1 2 3 4 84 5	fourierdlem28	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
86	45	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
87		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ∈ ℝ )
88		iooretop	⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
89		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
90	89	tgioo2	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
91	88 90	eleqtri	⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
92	91	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) )
93	8	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
94	81 92 93	dvmptconst	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 0 ) )
95	81 83 34 85 86 87 94	dvmptsub	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) ) )
96	34	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
97	96	subid1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
98	97	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
99	95 98	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) )
100		eldifsn	⊢ ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) )
101	54 71 100	sylanbrc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
102		recn	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ )
103	57	a1i	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 2 ≠ 0 )
104	102 50 103	divrec2d	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) )
105	104	eqcomd	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
106	18 105	syl	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
107	106	fveq2d	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
108		halfcn	⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ
109	108	a1i	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ )
110		id	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ )
111	109 110	mulcld	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ∈ ℂ )
112	111	coscld	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
113	18 102 112	3syl	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
114	107 113	eqeltrrd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
115	114	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
116		ioossre	⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ
117		resmpt	⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
118	116 117	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
119	118	eqcomi	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
120	119	oveq2i	⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) )
121		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
122		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
123	122 53	fmpti	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) : ℝ ⟶ ℂ
124		ssid	⊢ ℝ ⊆ ℝ
125	89 90	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) )
126	121 123 124 116 125	mp4an	⊢ ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) )
127		resmpt	⊢ ( ℝ ⊆ ℂ → ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) )
128	121 127	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
129	105	fveq2d	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
130	129	oveq2d	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
131	130	mpteq2ia	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
132	128 131	eqtr2i	⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ )
133	132	oveq2i	⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) )
134		ioontr	⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 )
135	133 134	reseq12i	⊢ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
136		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
137		2cnd	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ )
138	111	sincld	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
139	137 138	mulcld	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ )
140	136 139	fmpti	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ
141		ssid	⊢ ℂ ⊆ ℂ
142		dmmptg	⊢ ( ∀ 𝑠 ∈ ℂ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ℂ )
143		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
144	143 108	mulcli	⊢ ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ
145	144	a1i	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ )
146	145 112	mulcld	⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ )
147	142 146	mprg	⊢ dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ℂ
148	121 147	sseqtrri	⊢ ℝ ⊆ dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
149		dvasinbx	⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) )
150	143 108 149	mp2an	⊢ ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
151	150	dmeqi	⊢ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) = dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
152	148 151	sseqtrri	⊢ ℝ ⊆ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) )
153		dvres3	⊢ ( ( ( ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ∧ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ) ) → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) = ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) )
154	80 140 141 152 153	mp4an	⊢ ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) = ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ )
155	154	reseq1i	⊢ ( ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
156	150	reseq1i	⊢ ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ )
157	156	reseq1i	⊢ ( ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
158		resabs1	⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ → ( ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) )
159	116 158	ax-mp	⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) )
160		ioosscn	⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ
161		resmpt	⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) )
162	160 161	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
163	157 159 162	3eqtri	⊢ ( ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
164	135 155 163	3eqtri	⊢ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
165	120 126 164	3eqtri	⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
166	143 57	recidi	⊢ ( 2 · ( 1 / 2 ) ) = 1
167	166	oveq1i	⊢ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( 1 · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) )
168	167	a1i	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( 1 · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) )
169	113	mullidd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 1 · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) )
170	168 169 107	3eqtrd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
171	170	mpteq2ia	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
172	165 171	eqtri	⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
173	172	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
174	81 82 34 99 101 115 173	dvmptdiv	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) )
175	79 174	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) )
176	175	feq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) )
177	77 176	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ )
178	177 175	jca	⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) )
179	178 172	pm3.2i	⊢ ( ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) ∧ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )