Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem57.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem57.xre |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem57.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
4 |
|
fourierdlem57.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
5 |
|
fourierdlem57.fdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ ) |
6 |
|
fourierdlem57.ab |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
7 |
|
fourierdlem57.n0 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
8 |
|
fourierdlem57.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
9 |
|
fourierdlem57.o |
⊢ 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
10 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ ) |
11 |
2 3
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* ) |
14 |
2 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
17 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
18 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
20 |
17 19
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
21 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
23 |
4
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
25 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
26 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 ) |
27 |
22 24 25 26
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 ) |
28 |
21 19 17 27
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) |
29 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
30 |
|
iooltub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 ) |
31 |
22 24 25 30
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 ) |
32 |
19 29 17 31
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑋 + 𝐵 ) ) |
33 |
13 16 20 28 32
|
eliood |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) |
34 |
10 33
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
36 |
35
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
37 |
|
rehalfcl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ ) |
38 |
19 37
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ ) |
39 |
38
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
40 |
36 39
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
34 40
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
42 |
38
|
recoscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
43 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
44 |
43 20
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
45 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
46 |
44 45
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
47 |
42 46
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ∈ ℝ ) |
48 |
41 47
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) ∈ ℝ ) |
49 |
40
|
resqcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
50 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ ) |
51 |
37
|
recnd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
52 |
51
|
sincld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
53 |
50 52
|
mulcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
54 |
19 53
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
55 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
56 |
19 52
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
57 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
58 |
57
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
59 |
6
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
60 |
|
eqcom |
⊢ ( 𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠 ) |
61 |
60
|
biimpi |
⊢ ( 𝑠 = 0 → 0 = 𝑠 ) |
62 |
61
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 = 𝑠 ) |
63 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
64 |
62 63
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
65 |
64
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
66 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
67 |
65 66
|
pm2.65da |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
68 |
67
|
neqned |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
69 |
|
fourierdlem44 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
70 |
59 68 69
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
71 |
55 56 58 70
|
mulne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) |
72 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
73 |
72
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 2 ∈ ℤ ) |
74 |
54 71 73
|
expne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) |
75 |
48 49 74
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
76 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
77 |
75 76
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
78 |
9
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
79 |
78
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
80 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
81 |
80
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
82 |
46
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
83 |
44
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
84 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) |
85 |
1 2 3 4 84 5
|
fourierdlem28 |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) |
86 |
45
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
87 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
88 |
|
iooretop |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
89 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
90 |
89
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
91 |
88 90
|
eleqtri |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
92 |
91
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ) |
93 |
8
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
94 |
81 92 93
|
dvmptconst |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 0 ) ) |
95 |
81 83 34 85 86 87 94
|
dvmptsub |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) ) ) |
96 |
34
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
97 |
96
|
subid1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) |
98 |
97
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 0 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) |
99 |
95 98
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) |
100 |
|
eldifsn |
⊢ ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
101 |
54 71 100
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
102 |
|
recn |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ ) |
103 |
57
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 2 ≠ 0 ) |
104 |
102 50 103
|
divrec2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) |
105 |
104
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) = ( 𝑠 / 2 ) ) |
106 |
18 105
|
syl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) = ( 𝑠 / 2 ) ) |
107 |
106
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
108 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
109 |
108
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
110 |
|
id |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ ) |
111 |
109 110
|
mulcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
112 |
111
|
coscld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
113 |
18 102 112
|
3syl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
114 |
107 113
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
115 |
114
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
116 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ |
117 |
|
resmpt |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
118 |
116 117
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
119 |
118
|
eqcomi |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
120 |
119
|
oveq2i |
⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) |
121 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
122 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
123 |
122 53
|
fmpti |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) : ℝ ⟶ ℂ |
124 |
|
ssid |
⊢ ℝ ⊆ ℝ |
125 |
89 90
|
dvres |
⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) ) |
126 |
121 123 124 116 125
|
mp4an |
⊢ ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) |
127 |
|
resmpt |
⊢ ( ℝ ⊆ ℂ → ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
128 |
121 127
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
129 |
105
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
130 |
129
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
131 |
130
|
mpteq2ia |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
132 |
128 131
|
eqtr2i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) |
133 |
132
|
oveq2i |
⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) |
134 |
|
ioontr |
⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) |
135 |
133 134
|
reseq12i |
⊢ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
136 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
137 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ ) |
138 |
111
|
sincld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
139 |
137 138
|
mulcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ ) |
140 |
136 139
|
fmpti |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ |
141 |
|
ssid |
⊢ ℂ ⊆ ℂ |
142 |
|
dmmptg |
⊢ ( ∀ 𝑠 ∈ ℂ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ℂ ) |
143 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
144 |
143 108
|
mulcli |
⊢ ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ |
145 |
144
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
146 |
145 112
|
mulcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ ) |
147 |
142 146
|
mprg |
⊢ dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ℂ |
148 |
121 147
|
sseqtrri |
⊢ ℝ ⊆ dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
149 |
|
dvasinbx |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
150 |
143 108 149
|
mp2an |
⊢ ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
151 |
150
|
dmeqi |
⊢ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) = dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
152 |
148 151
|
sseqtrri |
⊢ ℝ ⊆ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
153 |
|
dvres3 |
⊢ ( ( ( ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ∧ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ) ) → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) = ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) |
154 |
80 140 141 152 153
|
mp4an |
⊢ ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) = ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) |
155 |
154
|
reseq1i |
⊢ ( ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
156 |
150
|
reseq1i |
⊢ ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) |
157 |
156
|
reseq1i |
⊢ ( ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
158 |
|
resabs1 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ → ( ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) |
159 |
116 158
|
ax-mp |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
160 |
|
ioosscn |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ |
161 |
|
resmpt |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
162 |
160 161
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
163 |
157 159 162
|
3eqtri |
⊢ ( ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) ) ↾ ℝ ) ↾ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
164 |
135 155 163
|
3eqtri |
⊢ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
165 |
120 126 164
|
3eqtri |
⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
166 |
143 57
|
recidi |
⊢ ( 2 · ( 1 / 2 ) ) = 1 |
167 |
166
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( 1 · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) |
168 |
167
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( 1 · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) |
169 |
113
|
mulid2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 1 · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) |
170 |
168 169 107
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) = ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
171 |
170
|
mpteq2ia |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 1 / 2 ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
172 |
165 171
|
eqtri |
⊢ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
173 |
172
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
174 |
81 82 34 99 101 115 173
|
dvmptdiv |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
175 |
79 174
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
176 |
175
|
feq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ↔ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) ) |
177 |
77 176
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
178 |
177 175
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
179 |
178 172
|
pm3.2i |
⊢ ( ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝑂 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( ℝ D 𝑂 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) − ( ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) · ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) / ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) ∧ ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |