Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iscmet3.1 |
⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) |
2 |
|
iscmet3.2 |
⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐷 ) |
3 |
|
iscmet3.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
4 |
|
iscmet3.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
5 |
2
|
cmetcau |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ) → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) |
6 |
5
|
a1d |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) |
7 |
6
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) → ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) |
8 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) |
10 |
|
1rp |
⊢ 1 ∈ ℝ+ |
11 |
|
rphalfcl |
⊢ ( 1 ∈ ℝ+ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
12 |
10 11
|
ax-mp |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+ |
13 |
|
rpexpcl |
⊢ ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ ) |
14 |
12 13
|
mpan |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ ) |
15 |
|
cfili |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) |
16 |
9 14 15
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) |
17 |
16
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) |
18 |
|
vex |
⊢ 𝑔 ∈ V |
19 |
|
znnen |
⊢ ℤ ≈ ℕ |
20 |
|
nnenom |
⊢ ℕ ≈ ω |
21 |
19 20
|
entri |
⊢ ℤ ≈ ω |
22 |
|
raleq |
⊢ ( 𝑡 = ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
23 |
22
|
raleqbi1dv |
⊢ ( 𝑡 = ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
24 |
18 21 23
|
axcc4 |
⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑡 ∈ 𝑔 ∀ 𝑢 ∈ 𝑡 ∀ 𝑣 ∈ 𝑡 ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) → ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
25 |
17 24
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
26 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
27 |
1
|
uzenom |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω ) |
28 |
|
endom |
⊢ ( 𝑍 ≈ ω → 𝑍 ≼ ω ) |
29 |
26 27 28
|
3syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → 𝑍 ≼ ω ) |
30 |
|
dfin5 |
⊢ ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) = { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) } |
31 |
|
fzn0 |
⊢ ( ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ↔ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
32 |
31
|
biimpri |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ) |
33 |
32 1
|
eleq2s |
⊢ ( 𝑘 ∈ 𝑍 → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ) |
34 |
|
metxmet |
⊢ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
35 |
4 34
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
37 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) |
38 |
|
cfilfil |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
39 |
36 37 38
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
40 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) |
41 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
42 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) |
43 |
40 41 42
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) |
44 |
|
filelss |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) |
45 |
39 43 44
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) |
46 |
45
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) |
47 |
|
r19.2z |
⊢ ( ( ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) |
48 |
33 46 47
|
syl2anr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) |
49 |
|
iinss |
⊢ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) |
50 |
48 49
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ 𝑋 ) |
51 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
52 |
|
elfvdm |
⊢ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ dom Met ) |
53 |
|
fvi |
⊢ ( 𝑋 ∈ dom Met → ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
54 |
51 52 53
|
3syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
55 |
50 54
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ ( I ‘ 𝑋 ) ) |
56 |
|
sseqin2 |
⊢ ( ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ⊆ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) = ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
57 |
55 56
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( ( I ‘ 𝑋 ) ∩ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) = ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
58 |
30 57
|
syl5eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) } = ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
59 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
60 |
43
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) |
61 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) |
62 |
33
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ) |
63 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑀 ... 𝑘 ) ∈ Fin ) |
64 |
|
iinfi |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ∧ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ∈ Fin ) ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ ( fi ‘ 𝑔 ) ) |
65 |
59 61 62 63 64
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ ( fi ‘ 𝑔 ) ) |
66 |
|
filfi |
⊢ ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) → ( fi ‘ 𝑔 ) = 𝑔 ) |
67 |
59 66
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( fi ‘ 𝑔 ) = 𝑔 ) |
68 |
65 67
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) |
69 |
|
fileln0 |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ∧ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝑔 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ≠ ∅ ) |
70 |
39 68 69
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ≠ ∅ ) |
71 |
58 70
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) } ≠ ∅ ) |
72 |
|
rabn0 |
⊢ ( { 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) ∣ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
73 |
71 72
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
74 |
73
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
75 |
74
|
adantrrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
76 |
|
fvex |
⊢ ( I ‘ 𝑋 ) ∈ V |
77 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) → ( 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) |
78 |
|
fvex |
⊢ ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ V |
79 |
|
eliin |
⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ V → ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) |
80 |
78 79
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
81 |
77 80
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) → ( 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) |
82 |
76 81
|
axcc4dom |
⊢ ( ( 𝑍 ≼ ω ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∃ 𝑥 ∈ ( I ‘ 𝑋 ) 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) |
83 |
29 75 82
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) |
84 |
|
df-ral |
⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ↔ ∀ 𝑓 ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
85 |
|
19.29 |
⊢ ( ( ∀ 𝑓 ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
86 |
84 85
|
sylanb |
⊢ ( ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) |
87 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
88 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
89 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ) |
90 |
|
feq3 |
⊢ ( ( I ‘ 𝑋 ) = 𝑋 → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 ) ) |
91 |
88 52 53 90
|
4syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ↔ 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 ) ) |
92 |
89 91
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 ) |
93 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
94 |
93
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) |
95 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ) |
96 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) = ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) |
97 |
96
|
breq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) ) |
98 |
95 97
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) ) |
99 |
95 98
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) ) |
100 |
99
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) |
101 |
94 100
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑖 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑖 ) ) |
102 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) |
103 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) |
104 |
103
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑗 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) ) |
105 |
104
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) |
106 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑀 ... 𝑘 ) = ( 𝑀 ... 𝑖 ) ) |
107 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) |
108 |
107
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ↔ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) ) |
109 |
106 108
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) ) |
110 |
105 109
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) ) |
111 |
110
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑍 ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) |
112 |
102 111
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ 𝑍 ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑖 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑗 ) ) |
113 |
88 34
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
114 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) |
115 |
113 114 38
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( Fil ‘ 𝑋 ) ) |
116 |
93
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ) |
117 |
1 2 87 88 92 101 112
|
iscmet3lem1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ) |
118 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ) |
119 |
117 92 118
|
mp2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) |
120 |
1 2 87 88 92 101 112 115 116 119
|
iscmet3lem2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) |
121 |
120
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
122 |
121
|
exlimdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( ( 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) → ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
123 |
86 122
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ∧ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
124 |
123
|
expdimp |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
125 |
124
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ ( I ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑍 ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑀 ... 𝑘 ) ( 𝑓 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑛 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
126 |
83 125
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) |
127 |
126
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
128 |
127
|
exlimdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑠 ( 𝑠 : ℤ ⟶ 𝑔 ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℤ ∀ 𝑢 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ‘ 𝑘 ) ( 𝑢 𝐷 𝑣 ) < ( ( 1 / 2 ) ↑ 𝑘 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
129 |
25 128
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) |
130 |
129
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) |
131 |
2
|
iscmet |
⊢ ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( CauFil ‘ 𝐷 ) ( 𝐽 fLim 𝑔 ) ≠ ∅ ) ) |
132 |
8 130 131
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ) |
133 |
132
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) → 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ) ) |
134 |
7 133
|
impbid2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ∈ ( CMet ‘ 𝑋 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Cau ‘ 𝐷 ) ( 𝑓 : 𝑍 ⟶ 𝑋 → 𝑓 ∈ dom ( ⇝𝑡 ‘ 𝐽 ) ) ) ) |