Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iscmet3.1 |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
2 |
|
iscmet3.2 |
|- J = ( MetOpen ` D ) |
3 |
|
iscmet3.3 |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
4 |
|
iscmet3.4 |
|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) ) |
5 |
2
|
cmetcau |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ f e. ( Cau ` D ) ) -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) |
6 |
5
|
a1d |
|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ f e. ( Cau ` D ) ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) |
7 |
6
|
ralrimiva |
|- ( D e. ( CMet ` X ) -> A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) |
8 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) ) |
9 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) -> g e. ( CauFil ` D ) ) |
10 |
|
1rp |
|- 1 e. RR+ |
11 |
|
rphalfcl |
|- ( 1 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ ) |
12 |
10 11
|
ax-mp |
|- ( 1 / 2 ) e. RR+ |
13 |
|
rpexpcl |
|- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ ) |
14 |
12 13
|
mpan |
|- ( k e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ ) |
15 |
|
cfili |
|- ( ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ ) -> E. t e. g A. u e. t A. v e. t ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) |
16 |
9 14 15
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) /\ k e. ZZ ) -> E. t e. g A. u e. t A. v e. t ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) |
17 |
16
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) -> A. k e. ZZ E. t e. g A. u e. t A. v e. t ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) |
18 |
|
vex |
|- g e. _V |
19 |
|
znnen |
|- ZZ ~~ NN |
20 |
|
nnenom |
|- NN ~~ _om |
21 |
19 20
|
entri |
|- ZZ ~~ _om |
22 |
|
raleq |
|- ( t = ( s ` k ) -> ( A. v e. t ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) |
23 |
22
|
raleqbi1dv |
|- ( t = ( s ` k ) -> ( A. u e. t A. v e. t ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) |
24 |
18 21 23
|
axcc4 |
|- ( A. k e. ZZ E. t e. g A. u e. t A. v e. t ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) -> E. s ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) |
25 |
17 24
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) -> E. s ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) |
26 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> M e. ZZ ) |
27 |
1
|
uzenom |
|- ( M e. ZZ -> Z ~~ _om ) |
28 |
|
endom |
|- ( Z ~~ _om -> Z ~<_ _om ) |
29 |
26 27 28
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> Z ~<_ _om ) |
30 |
|
dfin5 |
|- ( ( _I ` X ) i^i |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) = { x e. ( _I ` X ) | x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) } |
31 |
|
fzn0 |
|- ( ( M ... k ) =/= (/) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) |
32 |
31
|
biimpri |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... k ) =/= (/) ) |
33 |
32 1
|
eleq2s |
|- ( k e. Z -> ( M ... k ) =/= (/) ) |
34 |
|
metxmet |
|- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
35 |
4 34
|
syl |
|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) ) |
36 |
35
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
37 |
|
simpl |
|- ( ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) -> g e. ( CauFil ` D ) ) |
38 |
|
cfilfil |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) -> g e. ( Fil ` X ) ) |
39 |
36 37 38
|
syl2an |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) -> g e. ( Fil ` X ) ) |
40 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) -> s : ZZ --> g ) |
41 |
|
elfzelz |
|- ( n e. ( M ... k ) -> n e. ZZ ) |
42 |
|
ffvelrn |
|- ( ( s : ZZ --> g /\ n e. ZZ ) -> ( s ` n ) e. g ) |
43 |
40 41 42
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( s ` n ) e. g ) |
44 |
|
filelss |
|- ( ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( s ` n ) e. g ) -> ( s ` n ) C_ X ) |
45 |
39 43 44
|
syl2an2r |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ n e. ( M ... k ) ) -> ( s ` n ) C_ X ) |
46 |
45
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) -> A. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ X ) |
47 |
|
r19.2z |
|- ( ( ( M ... k ) =/= (/) /\ A. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ X ) -> E. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ X ) |
48 |
33 46 47
|
syl2anr |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> E. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ X ) |
49 |
|
iinss |
|- ( E. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ X -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ X ) |
50 |
48 49
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ X ) |
51 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> D e. ( Met ` X ) ) |
52 |
|
elfvdm |
|- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. dom Met ) |
53 |
|
fvi |
|- ( X e. dom Met -> ( _I ` X ) = X ) |
54 |
51 52 53
|
3syl |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> ( _I ` X ) = X ) |
55 |
50 54
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ ( _I ` X ) ) |
56 |
|
sseqin2 |
|- ( |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) C_ ( _I ` X ) <-> ( ( _I ` X ) i^i |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) = |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) |
57 |
55 56
|
sylib |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( _I ` X ) i^i |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) = |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) |
58 |
30 57
|
syl5eqr |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> { x e. ( _I ` X ) | x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) } = |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) |
59 |
39
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> g e. ( Fil ` X ) ) |
60 |
43
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) -> A. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) e. g ) |
61 |
60
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> A. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) e. g ) |
62 |
33
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> ( M ... k ) =/= (/) ) |
63 |
|
fzfid |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> ( M ... k ) e. Fin ) |
64 |
|
iinfi |
|- ( ( g e. ( Fil ` X ) /\ ( A. n e. ( M ... k ) ( s ` n ) e. g /\ ( M ... k ) =/= (/) /\ ( M ... k ) e. Fin ) ) -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) e. ( fi ` g ) ) |
65 |
59 61 62 63 64
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) e. ( fi ` g ) ) |
66 |
|
filfi |
|- ( g e. ( Fil ` X ) -> ( fi ` g ) = g ) |
67 |
59 66
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> ( fi ` g ) = g ) |
68 |
65 67
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) e. g ) |
69 |
|
fileln0 |
|- ( ( g e. ( Fil ` X ) /\ |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) e. g ) -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) =/= (/) ) |
70 |
39 68 69
|
syl2an2r |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) =/= (/) ) |
71 |
58 70
|
eqnetrd |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> { x e. ( _I ` X ) | x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) } =/= (/) ) |
72 |
|
rabn0 |
|- ( { x e. ( _I ` X ) | x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) } =/= (/) <-> E. x e. ( _I ` X ) x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) |
73 |
71 72
|
sylib |
|- ( ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) /\ k e. Z ) -> E. x e. ( _I ` X ) x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) |
74 |
73
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ s : ZZ --> g ) ) -> A. k e. Z E. x e. ( _I ` X ) x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) |
75 |
74
|
adantrrr |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> A. k e. Z E. x e. ( _I ` X ) x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) |
76 |
|
fvex |
|- ( _I ` X ) e. _V |
77 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( f ` k ) -> ( x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) <-> ( f ` k ) e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) ) |
78 |
|
fvex |
|- ( f ` k ) e. _V |
79 |
|
eliin |
|- ( ( f ` k ) e. _V -> ( ( f ` k ) e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) <-> A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) |
80 |
78 79
|
ax-mp |
|- ( ( f ` k ) e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) <-> A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) |
81 |
77 80
|
bitrdi |
|- ( x = ( f ` k ) -> ( x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) <-> A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) |
82 |
76 81
|
axcc4dom |
|- ( ( Z ~<_ _om /\ A. k e. Z E. x e. ( _I ` X ) x e. |^|_ n e. ( M ... k ) ( s ` n ) ) -> E. f ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) |
83 |
29 75 82
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> E. f ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) |
84 |
|
df-ral |
|- ( A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) <-> A. f ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) ) |
85 |
|
19.29 |
|- ( ( A. f ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ E. f ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) -> E. f ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) |
86 |
84 85
|
sylanb |
|- ( ( A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) /\ E. f ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) -> E. f ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) |
87 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> M e. ZZ ) |
88 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) ) |
89 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> f : Z --> ( _I ` X ) ) |
90 |
|
feq3 |
|- ( ( _I ` X ) = X -> ( f : Z --> ( _I ` X ) <-> f : Z --> X ) ) |
91 |
88 52 53 90
|
4syl |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> ( f : Z --> ( _I ` X ) <-> f : Z --> X ) ) |
92 |
89 91
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> f : Z --> X ) |
93 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) |
94 |
93
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) |
95 |
|
fveq2 |
|- ( k = i -> ( s ` k ) = ( s ` i ) ) |
96 |
|
oveq2 |
|- ( k = i -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ i ) ) |
97 |
96
|
breq2d |
|- ( k = i -> ( ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ i ) ) ) |
98 |
95 97
|
raleqbidv |
|- ( k = i -> ( A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> A. v e. ( s ` i ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ i ) ) ) |
99 |
95 98
|
raleqbidv |
|- ( k = i -> ( A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> A. u e. ( s ` i ) A. v e. ( s ` i ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ i ) ) ) |
100 |
99
|
cbvralvw |
|- ( A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> A. i e. ZZ A. u e. ( s ` i ) A. v e. ( s ` i ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ i ) ) |
101 |
94 100
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> A. i e. ZZ A. u e. ( s ` i ) A. v e. ( s ` i ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ i ) ) |
102 |
|
simprrr |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) |
103 |
|
fveq2 |
|- ( n = j -> ( s ` n ) = ( s ` j ) ) |
104 |
103
|
eleq2d |
|- ( n = j -> ( ( f ` k ) e. ( s ` n ) <-> ( f ` k ) e. ( s ` j ) ) ) |
105 |
104
|
cbvralvw |
|- ( A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) <-> A. j e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` j ) ) |
106 |
|
oveq2 |
|- ( k = i -> ( M ... k ) = ( M ... i ) ) |
107 |
|
fveq2 |
|- ( k = i -> ( f ` k ) = ( f ` i ) ) |
108 |
107
|
eleq1d |
|- ( k = i -> ( ( f ` k ) e. ( s ` j ) <-> ( f ` i ) e. ( s ` j ) ) ) |
109 |
106 108
|
raleqbidv |
|- ( k = i -> ( A. j e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` j ) <-> A. j e. ( M ... i ) ( f ` i ) e. ( s ` j ) ) ) |
110 |
105 109
|
syl5bb |
|- ( k = i -> ( A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) <-> A. j e. ( M ... i ) ( f ` i ) e. ( s ` j ) ) ) |
111 |
110
|
cbvralvw |
|- ( A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) <-> A. i e. Z A. j e. ( M ... i ) ( f ` i ) e. ( s ` j ) ) |
112 |
102 111
|
sylib |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> A. i e. Z A. j e. ( M ... i ) ( f ` i ) e. ( s ` j ) ) |
113 |
88 34
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) ) |
114 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> g e. ( CauFil ` D ) ) |
115 |
113 114 38
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> g e. ( Fil ` X ) ) |
116 |
93
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> s : ZZ --> g ) |
117 |
1 2 87 88 92 101 112
|
iscmet3lem1 |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> f e. ( Cau ` D ) ) |
118 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) ) |
119 |
117 92 118
|
mp2d |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) |
120 |
1 2 87 88 92 101 112 115 116 119
|
iscmet3lem2 |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) |
121 |
120
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> ( ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
122 |
121
|
exlimdv |
|- ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> ( E. f ( ( f e. ( Cau ` D ) -> ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
123 |
86 122
|
syl5 |
|- ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> ( ( A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) /\ E. f ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
124 |
123
|
expdimp |
|- ( ( ( ph /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) -> ( E. f ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
125 |
124
|
an32s |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> ( E. f ( f : Z --> ( _I ` X ) /\ A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( f ` k ) e. ( s ` n ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
126 |
83 125
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ ( g e. ( CauFil ` D ) /\ ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) |
127 |
126
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) -> ( ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
128 |
127
|
exlimdv |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) -> ( E. s ( s : ZZ --> g /\ A. k e. ZZ A. u e. ( s ` k ) A. v e. ( s ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
129 |
25 128
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) /\ g e. ( CauFil ` D ) ) -> ( J fLim g ) =/= (/) ) |
130 |
129
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) -> A. g e. ( CauFil ` D ) ( J fLim g ) =/= (/) ) |
131 |
2
|
iscmet |
|- ( D e. ( CMet ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. g e. ( CauFil ` D ) ( J fLim g ) =/= (/) ) ) |
132 |
8 130 131
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) ) |
133 |
132
|
ex |
|- ( ph -> ( A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) -> D e. ( CMet ` X ) ) ) |
134 |
7 133
|
impbid2 |
|- ( ph -> ( D e. ( CMet ` X ) <-> A. f e. ( Cau ` D ) ( f : Z --> X -> f e. dom ( ~~>t ` J ) ) ) ) |