| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
swrdcl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ∈ Word 𝑉 ) |
| 2 |
1
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ∈ Word 𝑉 ) |
| 3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ∈ Word 𝑉 ) |
| 4 |
|
elfz0ubfz0 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝐿 ) ) |
| 5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝐿 ) ) |
| 6 |
|
elfzuz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
| 7 |
6
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
| 8 |
|
fzss1 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 9 |
7 8
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 10 |
9
|
sseld |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) |
| 11 |
10
|
impr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 12 |
|
3ancomb |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
| 13 |
12
|
biimpi |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
| 14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
| 15 |
|
swrdlen |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 𝑁 − 𝑀 ) ) |
| 16 |
14 15
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 𝑁 − 𝑀 ) ) |
| 17 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ) ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 18 |
11 17
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ) ) ) |
| 19 |
|
swrdval2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝐿 ) ∧ 𝐿 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) substr ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 20 |
3 5 18 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) substr ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 21 |
|
fvex |
⊢ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ∈ V |
| 22 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) |
| 23 |
21 22
|
fnmpti |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) Fn ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) |
| 24 |
23
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) Fn ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) |
| 25 |
|
swrdswrdlem |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( 𝑀 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝐿 ) ) ∧ ( 𝑀 + 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
| 26 |
|
swrdvalfn |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( 𝑀 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝐿 ) ) ∧ ( 𝑀 + 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 28 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
| 29 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ℤ ) |
| 30 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
| 31 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
| 32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
| 33 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ ) |
| 34 |
33
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → 𝐿 ∈ ℂ ) |
| 35 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
| 36 |
35
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
| 37 |
|
pnpcan |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) = ( 𝐿 − 𝐾 ) ) |
| 38 |
37
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 39 |
32 34 36 38
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 40 |
39
|
expcom |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 41 |
29 30 40
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 42 |
28 41
|
syl5com |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 43 |
42
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 44 |
43
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 45 |
44
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) = ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 46 |
45
|
fneq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↔ ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 47 |
27 46
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) Fn ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) |
| 48 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) |
| 49 |
|
fvex |
⊢ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ∈ V |
| 50 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 + 𝐾 ) = ( 𝑦 + 𝐾 ) ) |
| 51 |
50
|
fvoveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) |
| 52 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) |
| 53 |
51 52
|
fvmptg |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ∈ V ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) |
| 54 |
48 49 53
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) |
| 55 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ ) |
| 56 |
55 31 35
|
3anim123i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) |
| 57 |
56
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) |
| 58 |
|
add32r |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) = ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) |
| 59 |
58
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 60 |
57 59
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 61 |
60
|
exp31 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 62 |
61
|
com13 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑦 ∈ ℤ → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 63 |
30 62
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑦 ∈ ℤ → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑦 ∈ ℤ → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 65 |
28 64
|
syl5com |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ℤ → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 66 |
65
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ℤ → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 67 |
66
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ℤ → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 68 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
| 69 |
67 68
|
impel |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) = ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 70 |
69
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑦 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 71 |
54 70
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 72 |
13
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
| 73 |
|
elfz2nn0 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 74 |
|
elfz2 |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ↔ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) |
| 75 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐿 − 𝐾 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) |
| 76 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ ) |
| 77 |
76
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
| 78 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
| 79 |
78
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
| 80 |
|
zre |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ ) |
| 81 |
80
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → 𝐿 ∈ ℝ ) |
| 82 |
|
ltaddsub |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ↔ 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) |
| 83 |
82
|
bicomd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) ) |
| 84 |
77 79 81 83
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) ) |
| 85 |
|
nn0addcl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) |
| 86 |
85
|
ex |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) ) |
| 87 |
86
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) ) |
| 88 |
87
|
impcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) |
| 89 |
88
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) |
| 90 |
|
elnn0z |
⊢ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) |
| 91 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 92 |
|
zre |
⊢ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
| 93 |
92
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
| 94 |
80
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → 𝐿 ∈ ℝ ) |
| 95 |
|
lelttr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) → 0 < 𝐿 ) ) |
| 96 |
91 93 94 95
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) → 0 < 𝐿 ) ) |
| 97 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 98 |
80
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → 𝐿 ∈ ℝ ) |
| 99 |
|
nn0re |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
| 100 |
99
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
| 101 |
|
ltletr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 0 < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 102 |
97 98 100 101
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 0 < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 103 |
|
elnnnn0b |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 104 |
103
|
simplbi2 |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 0 < ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) |
| 105 |
104
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 0 < ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) |
| 106 |
102 105
|
syld |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) |
| 107 |
106
|
exp4b |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 0 < 𝐿 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) |
| 108 |
107
|
com23 |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → ( 0 < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) |
| 109 |
108
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 0 < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) |
| 110 |
96 109
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) |
| 111 |
110
|
expd |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) |
| 112 |
111
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) ) |
| 113 |
112
|
ex |
⊢ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) ) ) |
| 114 |
113
|
com24 |
⊢ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ → ( 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) ) ) |
| 115 |
114
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) ) |
| 116 |
90 115
|
sylbi |
⊢ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) ) |
| 117 |
85 116
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) |
| 118 |
117
|
impancom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) ) |
| 119 |
118
|
impcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) ) ) ) |
| 120 |
119
|
imp41 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
| 121 |
|
nn0readdcl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
| 122 |
121
|
ex |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ) ) |
| 123 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ) ) |
| 124 |
123
|
impcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
| 125 |
|
ltletr |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 126 |
124 81 99 125
|
syl2an3an |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 127 |
126
|
exp4b |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 128 |
127
|
com23 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 129 |
128
|
imp41 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) |
| 130 |
|
elfzo0 |
⊢ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ↔ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 131 |
89 120 129 130
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 ) ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 132 |
131
|
exp41 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑥 + 𝐾 ) < 𝐿 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 133 |
84 132
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 134 |
133
|
ex |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) ) |
| 135 |
134
|
com24 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) ) |
| 136 |
135
|
imp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 137 |
136
|
com13 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 138 |
137
|
impancom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 139 |
138
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐿 − 𝐾 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 140 |
75 139
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 141 |
140
|
com14 |
⊢ ( 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 142 |
141
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 143 |
142
|
com12 |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 144 |
143
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
| 145 |
144
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 146 |
74 145
|
sylbi |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 147 |
146
|
com12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 148 |
147
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 149 |
73 148
|
sylbi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 150 |
149
|
imp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) |
| 151 |
150
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) |
| 152 |
151
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) |
| 153 |
152
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) |
| 154 |
|
swrdfv |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ∧ ( 𝑥 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ..^ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) |
| 155 |
72 153 154
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) = ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) |
| 156 |
155
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) ) |
| 157 |
156
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑊 ‘ ( ( 𝑥 + 𝐾 ) + 𝑀 ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) |
| 158 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( 𝑀 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝐿 ) ) ∧ ( 𝑀 + 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
| 159 |
31 33 35
|
3anim123i |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) |
| 160 |
159
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) ) |
| 161 |
160 38
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 162 |
161
|
exp31 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝐿 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 163 |
162
|
com3l |
⊢ ( 𝐿 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 164 |
29 163
|
syl |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 165 |
30 164
|
mpan9 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 166 |
28 165
|
syl5com |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 167 |
166
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 168 |
167
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝐿 − 𝐾 ) = ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) |
| 169 |
168
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) = ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 170 |
169
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↔ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) ) |
| 171 |
170
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 172 |
|
swrdfv |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ( 𝑀 + 𝐾 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝐿 ) ) ∧ ( 𝑀 + 𝐿 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( ( 𝑀 + 𝐿 ) − ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 173 |
158 171 172
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑊 ‘ ( 𝑦 + ( 𝑀 + 𝐾 ) ) ) ) |
| 174 |
71 157 173
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) ‘ 𝑦 ) ) |
| 175 |
24 47 174
|
eqfnfvd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − 𝐾 ) ) ↦ ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) ‘ ( 𝑥 + 𝐾 ) ) ) = ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) ) |
| 176 |
20 175
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) substr ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ) = ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) ) |
| 177 |
176
|
ex |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ 𝑀 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝐿 ∈ ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑊 substr ⟨ 𝑀 , 𝑁 ⟩ ) substr ⟨ 𝐾 , 𝐿 ⟩ ) = ( 𝑊 substr ⟨ ( 𝑀 + 𝐾 ) , ( 𝑀 + 𝐿 ) ⟩ ) ) ) |