Theorem isumrpcl 13655

Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumrpcl.1
isumrpcl.2
isumrpcl.3
isumrpcl.4
isumrpcl.5
isumrpcl.6

Assertion

Ref	Expression
isumrpcl

Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,   ,   ,

Proof of Theorem isumrpcl

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrpcl.2	. . 3
2		isumrpcl.3	. . . . 5
3		isumrpcl.1	. . . . 5
4	2, 3	syl6eleq 2555	. . . 4
5		eluzelz 11119	. . . 4
6	4, 5	syl 16	. . 3
7		uzss 11130	. . . . . . 7
8	4, 7	syl 16	. . . . . 6
9	8, 1, 3	3sstr4g 3544	. . . . 5
10	9	sselda 3503	. . . 4
11		isumrpcl.4	. . . 4
12	10, 11	syldan 470	. . 3
13		isumrpcl.5	. . . . 5
14	13	rpred 11285	. . . 4
15	10, 14	syldan 470	. . 3
16		isumrpcl.6	. . . 4
17	11, 13	eqeltrd 2545	. . . . . 6
18	17	rpcnd 11287	. . . . 5
19	3, 2, 18	iserex 13479	. . . 4
20	16, 19	mpbid 210	. . 3
21	1, 6, 12, 15, 20	isumrecl 13580	. 2
22	17	ralrimiva 2871	. . 3
23		fveq2 5871	. . . . 5
24	23	eleq1d 2526	. . . 4
25	24	rspcv 3206	. . 3
26	2, 22, 25	sylc 60	. 2
27		seq1 12120	. . . 4
28	6, 27	syl 16	. . 3
29		uzid 11124	. . . . . 6
30	6, 29	syl 16	. . . . 5
31	30, 1	syl6eleqr 2556	. . . 4
32	15	recnd 9643	. . . . 5
33	1, 6, 12, 32, 20	isumclim2 13573	. . . 4
34	9	sseld 3502	. . . . . . 7
35		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
36	35	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
37	36	rspcv 3206	. . . . . . 7
38	34, 22, 37	syl6ci 65	. . . . . 6
39	38	imp 429	. . . . 5
40	39	rpred 11285	. . . 4
41	39	rpge0d 11289	. . . 4
42	1, 31, 33, 40, 41	climserle 13485	. . 3
43	28, 42	eqbrtrrd 4474	. 2
44	21, 26, 43	rpgecld 11320	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  domcdm 5004  `cfv 5593  cr 9512  caddc 9516  cle 9650  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  seqcseq 12107  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  effsumlt  13846  eirrlem  13937  aaliou3lem3  22740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509