Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumrpcl Unicode version

Theorem isumrpcl 13655
 Description: The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrpcl.1
isumrpcl.2
isumrpcl.3
isumrpcl.4
isumrpcl.5
isumrpcl.6
Assertion
Ref Expression
isumrpcl
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,   ,   ,

Proof of Theorem isumrpcl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrpcl.2 . . 3
2 isumrpcl.3 . . . . 5
3 isumrpcl.1 . . . . 5
42, 3syl6eleq 2555 . . . 4
5 eluzelz 11119 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
7 uzss 11130 . . . . . . 7
84, 7syl 16 . . . . . 6
98, 1, 33sstr4g 3544 . . . . 5
109sselda 3503 . . . 4
11 isumrpcl.4 . . . 4
1210, 11syldan 470 . . 3
13 isumrpcl.5 . . . . 5
1413rpred 11285 . . . 4
1510, 14syldan 470 . . 3
16 isumrpcl.6 . . . 4
1711, 13eqeltrd 2545 . . . . . 6
1817rpcnd 11287 . . . . 5
193, 2, 18iserex 13479 . . . 4
2016, 19mpbid 210 . . 3
211, 6, 12, 15, 20isumrecl 13580 . 2
2217ralrimiva 2871 . . 3
23 fveq2 5871 . . . . 5
2423eleq1d 2526 . . . 4
2524rspcv 3206 . . 3
262, 22, 25sylc 60 . 2
27 seq1 12120 . . . 4
286, 27syl 16 . . 3
29 uzid 11124 . . . . . 6
306, 29syl 16 . . . . 5
3130, 1syl6eleqr 2556 . . . 4
3215recnd 9643 . . . . 5
331, 6, 12, 32, 20isumclim2 13573 . . . 4
349sseld 3502 . . . . . . 7
35 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
3635eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3736rspcv 3206 . . . . . . 7
3834, 22, 37syl6ci 65 . . . . . 6
3938imp 429 . . . . 5
4039rpred 11285 . . . 4
4139rpge0d 11289 . . . 4
421, 31, 33, 40, 41climserle 13485 . . 3
4328, 42eqbrtrrd 4474 . 2
4421, 26, 43rpgecld 11320 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  domcdm 5004  cfv 5593   cr 9512   caddc 9516   cle 9650   cz 10889   cuz 11110   crp 11249  seqcseq 12107   cli 13307  sum_`csu 13508 This theorem is referenced by:  effsumlt  13846  eirrlem  13937  aaliou3lem3  22740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator