Theorem isumshft 13651

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1
isumshft.2
isumshft.3
isumshft.4
isumshft.5
isumshft.6

Assertion

Ref	Expression
isumshft

Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem isumshft

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.5	. . . . . . . . 9
2		isumshft.4	. . . . . . . . 9
3	1, 2	zaddcld 10998	. . . . . . . 8
4		isumshft.2	. . . . . . . . . 10
5	4	eleq2i 2535	. . . . . . . . 9
6	2	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
7		eluzelcn 11121	. . . . . . . . . . . 12
8	7, 4	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . 11
9		isumshft.1	. . . . . . . . . . . . . 14
10		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . 14
11	9, 10	eqeltri 2541	. . . . . . . . . . . . 13
12	11	mptex 6143	. . . . . . . . . . . 12
13	12	shftval 12907	. . . . . . . . . . 11
14	6, 8, 13	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
15		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17	16	fvmpt2i 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
18	15, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		eluzelcn 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20	19, 9	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21		addcom 9787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22	6, 20, 21	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
24	23, 9	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25		eluzadd 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
26	24, 2, 25	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	22, 26	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	27, 4	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		isumshft.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	29, 30	fvmpti 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	28, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33	18, 32	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . . 15
34	33	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . 14
35		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	nfeq1 2634	. . . . . . . . . . . . . . 15
37		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	38	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	37, 39	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	36, 40	rspc 3204	. . . . . . . . . . . . . 14
42	34, 41	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
45	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
46	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
47		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47, 4	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . . 13
49		eluzsub 11139	. . . . . . . . . . . . 13
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
51	50, 9	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . 11
52		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
53		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . 14
54	53	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . 13
55	52, 54	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . 12
56	55	rspccva 3209	. . . . . . . . . . 11
57	44, 51, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
58		pncan3 9851	. . . . . . . . . . . 12
59	6, 8, 58	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
60	59	fveq2d 5875	. . . . . . . . . 10
61	14, 57, 60	3eqtrrd 2503	. . . . . . . . 9
62	5, 61	sylan2br 476	. . . . . . . 8
63	3, 62	seqfeq 12132	. . . . . . 7
64	63	breq1d 4462	. . . . . 6
65	12	isershft 13486	. . . . . . 7
66	1, 2, 65	syl2anc 661	. . . . . 6
67	64, 66	bitr4d 256	. . . . 5
68	67	iotabidv 5577	. . . 4
69		df-fv 5601	. . . 4
70		df-fv 5601	. . . 4
71	68, 69, 70	3eqtr4g 2523	. . 3
72		eqidd 2458	. . . 4
73		isumshft.6	. . . . . 6
74	73, 30	fmptd 6055	. . . . 5
75		ffvelrn 6029	. . . . 5
76	74, 75	sylan 471	. . . 4
77	4, 3, 72, 76	isum 13541	. . 3
78		eqidd 2458	. . . 4
79	74	adantr 465	. . . . . 6
80	28	ralrimiva 2871	. . . . . . 7
81	38	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
82	81	rspccva 3209	. . . . . . 7
83	80, 82	sylan 471	. . . . . 6
84		ffvelrn 6029	. . . . . 6
85	79, 83, 84	syl2anc 661	. . . . 5
86	42, 85	eqeltrd 2545	. . . 4
87	9, 1, 78, 86	isum 13541	. . 3
88	71, 77, 87	3eqtr4d 2508	. 2
89		sumfc 13531	. 2
90		sumfc 13531	. 2
91	88, 89, 90	3eqtr3g 2521	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cid 4795  iotacio 5554  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  caddc 9516  cmin 9828  cz 10889  cuz 11110  seqcseq 12107  cshi 12899  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  eftlub  13844  pserdv2  22825  logtayl  23041  binomcxplemnotnn0  31261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509