Theorem incexc2 13650

Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
incexc2

Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem incexc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incexc 13649	. . 3
2		hashcl 12428	. . . . . . . . . . . 12
3	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
4	3	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
5		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12
6		elpwi 4021	. . . . . . . . . . . 12
7		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . 13
8	7	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
9	5, 6, 8	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
10		hashdomi 12448	. . . . . . . . . . 11
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . 10
12		fznn 11776	. . . . . . . . . . 11
13	12	rbaibd 910	. . . . . . . . . 10
14	4, 11, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
15		ssfi 7760	. . . . . . . . . . 11
16	5, 6, 15	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
17		hashnncl 12436	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . 9
19	14, 18	bitr2d 254	. . . . . . . 8
20		df-ne 2654	. . . . . . . 8
21		risset 2982	. . . . . . . 8
22	19, 20, 21	3bitr3g 287	. . . . . . 7
23		elsn 4043	. . . . . . . 8
24	23	notbii 296	. . . . . . 7
25		eqcom 2466	. . . . . . . 8
26	25	rexbii 2959	. . . . . . 7
27	22, 24, 26	3bitr4g 288	. . . . . 6
28	27	rabbidva 3100	. . . . 5
29		dfdif2 3484	. . . . 5
30		iunrab 4377	. . . . 5
31	28, 29, 30	3eqtr4g 2523	. . . 4
32	31	sumeq1d 13523	. . 3
33	1, 32	eqtrd 2498	. 2
34		fzfid 12083	. . 3
35		simpll 753	. . . . 5
36		pwfi 7835	. . . . 5
37	35, 36	sylib 196	. . . 4
38		ssrab2 3584	. . . 4
39		ssfi 7760	. . . 4
40	37, 38, 39	sylancl 662	. . 3
41		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
42	41	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
43	42	elrab 3257	. . . . . . . 8
44	43	simprbi 464	. . . . . . 7
45	44	adantl 466	. . . . . 6
46	45	ralrimiva 2871	. . . . 5
47	46	ralrimiva 2871	. . . 4
48		invdisj 4441	. . . 4
49	47, 48	syl 16	. . 3
50	45	oveq1d 6311	. . . . . . 7
51	50	oveq2d 6312	. . . . . 6
52	51	oveq1d 6311	. . . . 5
53		1cnd 9633	. . . . . . . . 9
54	53	negcld 9941	. . . . . . . 8
55		elfznn 11743	. . . . . . . . . 10
56	55	adantl 466	. . . . . . . . 9
57		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . 9
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . 8
59	54, 58	expcld 12310	. . . . . . 7
60	59	adantr 465	. . . . . 6
61		unifi 7829	. . . . . . . . . 10
62	61	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
63	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
64	45, 63	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12
65	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
66		elrabi 3254	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	66	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
68		elpwi 4021	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
70		ssfi 7760	. . . . . . . . . . . . . 14
71	65, 69, 70	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
72		hashnncl 12436	. . . . . . . . . . . . 13
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
74	64, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
75		intssuni 4309	. . . . . . . . . . 11
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . 10
77	69	unissd 4273	. . . . . . . . . 10
78	76, 77	sstrd 3513	. . . . . . . . 9
79		ssfi 7760	. . . . . . . . 9
80	62, 78, 79	syl2anc 661	. . . . . . . 8
81		hashcl 12428	. . . . . . . 8
82	80, 81	syl 16	. . . . . . 7
83	82	nn0cnd 10879	. . . . . 6
84	60, 83	mulcld 9637	. . . . 5
85	52, 84	eqeltrd 2545	. . . 4
86	85	anasss 647	. . 3
87	34, 40, 49, 86	fsumiun 13635	. 2
88	52	sumeq2dv 13525	. . . 4
89	40, 59, 83	fsummulc2 13599	. . . 4
90	88, 89	eqtr4d 2501	. . 3
91	90	sumeq2dv 13525	. 2
92	33, 87, 91	3eqtrd 2502	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286  U_ciun 4330  Disj_wdisj 4422   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cdom 7534  cfn 7536  cc 9511  1c1 9514  cmul 9518  cle 9650  cmin 9828  -ucneg 9829  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cfz 11701  cexp 12166  chash 12405  sum_csu 13508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509