Theorem incexc 13649

Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
incexc

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem incexc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifi 7829	. . 3
2		hashcl 12428	. . . 4
3	2	nn0cnd 10879	. . 3
4	1, 3	syl 16	. 2
5		simpl 457	. . . . 5
6		pwfi 7835	. . . . 5
7	5, 6	sylib 196	. . . 4
8		diffi 7771	. . . 4
9	7, 8	syl 16	. . 3
10		1cnd 9633	. . . . . 6
11	10	negcld 9941	. . . . 5
12		eldifsni 4156	. . . . . . . 8
13	12	adantl 466	. . . . . . 7
14		eldifi 3625	. . . . . . . . . 10
15		elpwi 4021	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . 9
17		ssfi 7760	. . . . . . . . 9
18	5, 16, 17	syl2an 477	. . . . . . . 8
19		hashnncl 12436	. . . . . . . 8
20	18, 19	syl 16	. . . . . . 7
21	13, 20	mpbird 232	. . . . . 6
22		nnm1nn0 10862	. . . . . 6
23	21, 22	syl 16	. . . . 5
24	11, 23	expcld 12310	. . . 4
25	16	adantl 466	. . . . . . . . 9
26		simplr 755	. . . . . . . . 9
27	25, 26	sstrd 3513	. . . . . . . 8
28		unifi 7829	. . . . . . . 8
29	18, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . 7
30		intssuni 4309	. . . . . . . 8
31	13, 30	syl 16	. . . . . . 7
32		ssfi 7760	. . . . . . 7
33	29, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . 6
34		hashcl 12428	. . . . . 6
35	33, 34	syl 16	. . . . 5
36	35	nn0cnd 10879	. . . 4
37	24, 36	mulcld 9637	. . 3
38	9, 37	fsumcl 13555	. 2
39		disjdif 3900	. . . . 5
40	39	a1i 11	. . . 4
41		0elpw 4621	. . . . . . . 8
42		snssi 4174	. . . . . . . 8
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7
44		undif 3908	. . . . . . 7
45	43, 44	mpbi 208	. . . . . 6
46	45	eqcomi 2470	. . . . 5
47	46	a1i 11	. . . 4
48		1cnd 9633	. . . . . . 7
49	48	negcld 9941	. . . . . 6
50	5, 15, 17	syl2an 477	. . . . . . 7
51		hashcl 12428	. . . . . . 7
52	50, 51	syl 16	. . . . . 6
53	49, 52	expcld 12310	. . . . 5
54	1	adantr 465	. . . . . . . 8
55		inss1 3717	. . . . . . . 8
56		ssfi 7760	. . . . . . . 8
57	54, 55, 56	sylancl 662	. . . . . . 7
58		hashcl 12428	. . . . . . 7
59	57, 58	syl 16	. . . . . 6
60	59	nn0cnd 10879	. . . . 5
61	53, 60	mulcld 9637	. . . 4
62	40, 47, 7, 61	fsumsplit 13562	. . 3
63		inidm 3706	. . . . . . 7
64	63	fveq2i 5874	. . . . . 6
65	64	oveq2i 6307	. . . . 5
66	4	subidd 9942	. . . . 5
67	65, 66	syl5eq 2510	. . . 4
68		incexclem 13648	. . . . 5
69	1, 68	syldan 470	. . . 4
70	67, 69	eqtr3d 2500	. . 3
71	4, 38	negsubd 9960	. . . 4
72		0ex 4582	. . . . . . 7
73		1cnd 9633	. . . . . . . 8
74	73, 4	mulcld 9637	. . . . . . 7
75		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
76		hash0 12437	. . . . . . . . . . . 12
77	75, 76	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11
78	77	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
79		neg1cn 10664	. . . . . . . . . . 11
80		exp0 12170	. . . . . . . . . . 11
81	79, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
82	78, 81	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9
83		rint0 4327	. . . . . . . . . 10
84	83	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
85	82, 84	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
86	85	sumsn 13563	. . . . . . 7
87	72, 74, 86	sylancr 663	. . . . . 6
88	4	mulid2d 9635	. . . . . 6
89	87, 88	eqtr2d 2499	. . . . 5
90	9, 37	fsumneg 13602	. . . . . 6
91		expm1t 12194	. . . . . . . . . . 11
92	11, 21, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
93	24, 11	mulcomd 9638	. . . . . . . . . 10
94	24	mulm1d 10033	. . . . . . . . . 10
95	92, 93, 94	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9
96	25	unissd 4273	. . . . . . . . . . . 12
97	31, 96	sstrd 3513	. . . . . . . . . . 11
98		dfss1 3702	. . . . . . . . . . 11
99	97, 98	sylib 196	. . . . . . . . . 10
100	99	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
101	95, 100	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
102	24, 36	mulneg1d 10034	. . . . . . . 8
103	101, 102	eqtr2d 2499	. . . . . . 7
104	103	sumeq2dv 13525	. . . . . 6
105	90, 104	eqtr3d 2500	. . . . 5
106	89, 105	oveq12d 6314	. . . 4
107	71, 106	eqtr3d 2500	. . 3
108	62, 70, 107	3eqtr4rd 2509	. 2
109	4, 38, 108	subeq0d 9962	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  -ucneg 9829  cn 10561  cn0 10820  cexp 12166  chash 12405  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  incexc2  13650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509