Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsplit Unicode version

Theorem isumsplit 13652
 Description: Split off the first terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsplit.1
isumsplit.2
isumsplit.3
isumsplit.4
isumsplit.5
isumsplit.6
Assertion
Ref Expression
isumsplit
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,   ,   ,N   ,

Proof of Theorem isumsplit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumsplit.1 . 2
2 isumsplit.3 . . . 4
32, 1syl6eleq 2555 . . 3
4 eluzel2 11115 . . 3
53, 4syl 16 . 2
6 isumsplit.4 . 2
7 isumsplit.5 . 2
8 isumsplit.2 . . 3
9 eluzelz 11119 . . . 4
103, 9syl 16 . . 3
11 uzss 11130 . . . . . . . 8
123, 11syl 16 . . . . . . 7
1312, 8, 13sstr4g 3544 . . . . . 6
1413sselda 3503 . . . . 5
1514, 6syldan 470 . . . 4
1614, 7syldan 470 . . . 4
17 isumsplit.6 . . . . 5
186, 7eqeltrd 2545 . . . . . 6
191, 2, 18iserex 13479 . . . . 5
2017, 19mpbid 210 . . . 4
218, 10, 15, 16, 20isumclim2 13573 . . 3
22 fzfid 12083 . . . 4
23 elfzuz 11713 . . . . . 6
2423, 1syl6eleqr 2556 . . . . 5
2524, 7sylan2 474 . . . 4
2622, 25fsumcl 13555 . . 3
2714, 18syldan 470 . . . . 5
288, 10, 27serf 12135 . . . 4
2928ffvelrnda 6031 . . 3
305zred 10994 . . . . . . . . . . . 12
3130ltm1d 10503 . . . . . . . . . . 11
32 peano2zm 10932 . . . . . . . . . . . . 13
335, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12
34 fzn 11731 . . . . . . . . . . . 12
355, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3631, 35mpbid 210 . . . . . . . . . 10
3736sumeq1d 13523 . . . . . . . . 9
3837adantr 465 . . . . . . . 8
39 sum0 13543 . . . . . . . 8
4038, 39syl6eq 2514 . . . . . . 7
4140oveq1d 6311 . . . . . 6
4213sselda 3503 . . . . . . . 8
431, 5, 18serf 12135 . . . . . . . . 9
4443ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
4542, 44syldan 470 . . . . . . 7
4645addid2d 9802 . . . . . 6
4741, 46eqtr2d 2499 . . . . 5
48 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4948oveq2d 6312 . . . . . . . 8
5049sumeq1d 13523 . . . . . . 7
51 seqeq1 12110 . . . . . . . 8
5251fveq1d 5873 . . . . . . 7
5350, 52oveq12d 6314 . . . . . 6
5453eqeq2d 2471 . . . . 5
5547, 54syl5ibrcom 222 . . . 4
56 addcl 9595 . . . . . . . 8
5756adantl 466 . . . . . . 7
58 addass 9600 . . . . . . . 8
5958adantl 466 . . . . . . 7
60 simplr 755 . . . . . . . 8
61 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
6210zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
63 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
64 npcan 9852 . . . . . . . . . . . . 13
6562, 63, 64sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
6665eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11
6761, 66syl 16 . . . . . . . . . 10
6867fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
698, 68syl5eq 2510 . . . . . . . 8
7060, 69eleqtrd 2547 . . . . . . 7
715adantr 465 . . . . . . . 8
72 eluzp1m1 11133 . . . . . . . 8
7371, 72sylan 471 . . . . . . 7
74 elfzuz 11713 . . . . . . . . 9
7574, 1syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8
7661, 75, 18syl2an 477 . . . . . . 7
7757, 59, 70, 73, 76seqsplit 12140 . . . . . 6
7861, 24, 6syl2an 477 . . . . . . . 8
7961, 24, 7syl2an 477 . . . . . . . 8
8078, 73, 79fsumser 13552 . . . . . . 7
8167seqeq1d 12113 . . . . . . . 8
8281fveq1d 5873 . . . . . . 7
8380, 82oveq12d 6314 . . . . . 6
8477, 83eqtr4d 2501 . . . . 5
8584ex 434 . . . 4
86 uzp1 11143 . . . . . 6
873, 86syl 16 . . . . 5
8887adantr 465 . . . 4
8955, 85, 88mpjaod 381 . . 3
908, 10, 21, 26, 17, 29, 89climaddc2 13458 . 2
911, 5, 6, 7, 90isumclim 13572 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  domcdm 5004  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  sum_`csu 13508 This theorem is referenced by:  isum1p  13653  geolim2  13680  mertenslem2  13694  mertens  13695  effsumlt  13846  eirrlem  13937  rpnnen2lem8  13955  prmreclem6  14439  aaliou3lem7  22745  abelthlem7  22833  log2tlbnd  23276  subfaclim  28632  binomcxplemnn0  31254  stirlinglem12  31867 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
 Copyright terms: Public domain W3C validator