Theorem iunfi 7828

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 7829. Note that depends on , i.e. can be thought of as (x). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iunfi

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iunfi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3054	. . . 4
2		iuneq1 4344	. . . . . 6
3		0iun 4387	. . . . . 6
4	2, 3	syl6eq 2514	. . . . 5
5	4	eleq1d 2526	. . . 4
6	1, 5	imbi12d 320	. . 3
7		raleq 3054	. . . 4
8		iuneq1 4344	. . . . 5
9	8	eleq1d 2526	. . . 4
10	7, 9	imbi12d 320	. . 3
11		raleq 3054	. . . 4
12		iuneq1 4344	. . . . 5
13	12	eleq1d 2526	. . . 4
14	11, 13	imbi12d 320	. . 3
15		raleq 3054	. . . 4
16		iuneq1 4344	. . . . 5
17	16	eleq1d 2526	. . . 4
18	15, 17	imbi12d 320	. . 3
19		0fin 7767	. . . 4
20	19	a1i 11	. . 3
21		ssun1 3666	. . . . . . 7
22		ssralv 3563	. . . . . . 7
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6
24	23	imim1i 58	. . . . 5
25		iunxun 4412	. . . . . . 7
26		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
27		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
28		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
29	26, 27, 28	cbviun 4367	. . . . . . . . . 10
30		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
31		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . 11
32	30, 31	iunxsn 4410	. . . . . . . . . 10
33	29, 32	eqtri 2486	. . . . . . . . 9
34		ssun2 3667	. . . . . . . . . . 11
35		ssnid 4058	. . . . . . . . . . 11
36	34, 35	sselii 3500	. . . . . . . . . 10
37		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . 12
38	37	nfel1 2635	. . . . . . . . . . 11
39		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . 12
40	39	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
41	38, 40	rspc 3204	. . . . . . . . . 10
42	36, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
43	33, 42	syl5eqel 2549	. . . . . . . 8
44		unfi 7807	. . . . . . . 8
45	43, 44	sylan2 474	. . . . . . 7
46	25, 45	syl5eqel 2549	. . . . . 6
47	46	expcom 435	. . . . 5
48	24, 47	sylcom 29	. . . 4
49	48	a1i 11	. . 3
50	6, 10, 14, 18, 20, 49	findcard2 7780	. 2
51	50	imp 429	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  U_ciun 4330  cfn 7536

This theorem is referenced by:  unifi  7829  infssuni  7831  ixpfi  7837  ackbij1lem9  8629  ackbij1lem10  8630  fsuppmapnn0fiublem  12096  fsuppmapnn0fiub  12097  fsum2dlem  13585  fsumcom2  13589  fsumiun  13635  hashiun  13636  ackbijnn  13640  fprod2dlem  13784  fprodcom2  13788  ablfaclem3  17138  pmatcoe1fsupp  19202  locfincmp  20027  txcmplem2  20143  alexsubALTlem3  20549  aannenlem1  22724  fsumvma  23488  frghash2spot  25063  usgreghash2spotv  25066  fiphp3d  30753  hbt  31079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540