Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ensym |
|- ( B ~~ A -> A ~~ B ) |
2 |
|
bren |
|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) |
3 |
1 2
|
sylib |
|- ( B ~~ A -> E. f f : A -1-1-onto-> B ) |
4 |
|
ssid |
|- A C_ A |
5 |
|
sseq1 |
|- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) ) |
6 |
5
|
anbi1d |
|- ( a = (/) -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) ) |
7 |
6
|
anbi1d |
|- ( a = (/) -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) ) |
8 |
|
uneq1 |
|- ( a = (/) -> ( a u. X ) = ( (/) u. X ) ) |
9 |
|
imaeq2 |
|- ( a = (/) -> ( f " a ) = ( f " (/) ) ) |
10 |
9
|
uneq1d |
|- ( a = (/) -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " (/) ) u. Y ) ) |
11 |
8 10
|
breq12d |
|- ( a = (/) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) ) ) |
12 |
11
|
bibi1d |
|- ( a = (/) -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
13 |
7 12
|
imbi12d |
|- ( a = (/) -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
14 |
|
sseq1 |
|- ( a = b -> ( a C_ A <-> b C_ A ) ) |
15 |
14
|
anbi1d |
|- ( a = b -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) ) |
16 |
15
|
anbi1d |
|- ( a = b -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) ) |
17 |
|
uneq1 |
|- ( a = b -> ( a u. X ) = ( b u. X ) ) |
18 |
|
imaeq2 |
|- ( a = b -> ( f " a ) = ( f " b ) ) |
19 |
18
|
uneq1d |
|- ( a = b -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " b ) u. Y ) ) |
20 |
17 19
|
breq12d |
|- ( a = b -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) ) |
21 |
20
|
bibi1d |
|- ( a = b -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
22 |
16 21
|
imbi12d |
|- ( a = b -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
23 |
|
sseq1 |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ A <-> ( b u. { c } ) C_ A ) ) |
24 |
23
|
anbi1d |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) ) |
25 |
24
|
anbi1d |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) ) |
26 |
|
uneq1 |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a u. X ) = ( ( b u. { c } ) u. X ) ) |
27 |
|
imaeq2 |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( f " a ) = ( f " ( b u. { c } ) ) ) |
28 |
27
|
uneq1d |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) ) |
29 |
26 28
|
breq12d |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) ) ) |
30 |
29
|
bibi1d |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
31 |
25 30
|
imbi12d |
|- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
32 |
|
sseq1 |
|- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) ) |
33 |
32
|
anbi1d |
|- ( a = A -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) ) |
34 |
33
|
anbi1d |
|- ( a = A -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) ) |
35 |
|
uneq1 |
|- ( a = A -> ( a u. X ) = ( A u. X ) ) |
36 |
|
imaeq2 |
|- ( a = A -> ( f " a ) = ( f " A ) ) |
37 |
36
|
uneq1d |
|- ( a = A -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " A ) u. Y ) ) |
38 |
35 37
|
breq12d |
|- ( a = A -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) ) ) |
39 |
38
|
bibi1d |
|- ( a = A -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
40 |
34 39
|
imbi12d |
|- ( a = A -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
41 |
|
uncom |
|- ( (/) u. X ) = ( X u. (/) ) |
42 |
|
un0 |
|- ( X u. (/) ) = X |
43 |
41 42
|
eqtri |
|- ( (/) u. X ) = X |
44 |
|
ima0 |
|- ( f " (/) ) = (/) |
45 |
44
|
uneq1i |
|- ( ( f " (/) ) u. Y ) = ( (/) u. Y ) |
46 |
|
uncom |
|- ( (/) u. Y ) = ( Y u. (/) ) |
47 |
|
un0 |
|- ( Y u. (/) ) = Y |
48 |
46 47
|
eqtri |
|- ( (/) u. Y ) = Y |
49 |
45 48
|
eqtri |
|- ( ( f " (/) ) u. Y ) = Y |
50 |
43 49
|
breq12i |
|- ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) |
51 |
50
|
a1i |
|- ( ( ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) |
52 |
|
ssun1 |
|- b C_ ( b u. { c } ) |
53 |
|
sstr2 |
|- ( b C_ ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) C_ A -> b C_ A ) ) |
54 |
52 53
|
ax-mp |
|- ( ( b u. { c } ) C_ A -> b C_ A ) |
55 |
54
|
anim1i |
|- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) |
56 |
55
|
anim1i |
|- ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) |
57 |
56
|
imim1i |
|- ( ( ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
58 |
|
uncom |
|- ( b u. { c } ) = ( { c } u. b ) |
59 |
58
|
uneq1i |
|- ( ( b u. { c } ) u. X ) = ( ( { c } u. b ) u. X ) |
60 |
|
unass |
|- ( ( { c } u. b ) u. X ) = ( { c } u. ( b u. X ) ) |
61 |
59 60
|
eqtri |
|- ( ( b u. { c } ) u. X ) = ( { c } u. ( b u. X ) ) |
62 |
61
|
a1i |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( b u. { c } ) u. X ) = ( { c } u. ( b u. X ) ) ) |
63 |
|
imaundi |
|- ( f " ( b u. { c } ) ) = ( ( f " b ) u. ( f " { c } ) ) |
64 |
|
simprlr |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> f : A -1-1-onto-> B ) |
65 |
|
f1ofn |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A ) |
66 |
64 65
|
syl |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> f Fn A ) |
67 |
|
ssun2 |
|- { c } C_ ( b u. { c } ) |
68 |
|
sstr2 |
|- ( { c } C_ ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) C_ A -> { c } C_ A ) ) |
69 |
67 68
|
ax-mp |
|- ( ( b u. { c } ) C_ A -> { c } C_ A ) |
70 |
|
vex |
|- c e. _V |
71 |
70
|
snss |
|- ( c e. A <-> { c } C_ A ) |
72 |
69 71
|
sylibr |
|- ( ( b u. { c } ) C_ A -> c e. A ) |
73 |
72
|
adantr |
|- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> c e. A ) |
74 |
73
|
ad2antrl |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> c e. A ) |
75 |
|
fnsnfv |
|- ( ( f Fn A /\ c e. A ) -> { ( f ` c ) } = ( f " { c } ) ) |
76 |
66 74 75
|
syl2anc |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` c ) } = ( f " { c } ) ) |
77 |
76
|
eqcomd |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( f " { c } ) = { ( f ` c ) } ) |
78 |
77
|
uneq2d |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( f " b ) u. ( f " { c } ) ) = ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) ) |
79 |
63 78
|
eqtrid |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( f " ( b u. { c } ) ) = ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) ) |
80 |
79
|
uneq1d |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) = ( ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) u. Y ) ) |
81 |
|
uncom |
|- ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) = ( { ( f ` c ) } u. ( f " b ) ) |
82 |
81
|
uneq1i |
|- ( ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) u. Y ) = ( ( { ( f ` c ) } u. ( f " b ) ) u. Y ) |
83 |
|
unass |
|- ( ( { ( f ` c ) } u. ( f " b ) ) u. Y ) = ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) |
84 |
82 83
|
eqtri |
|- ( ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) u. Y ) = ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) |
85 |
80 84
|
eqtrdi |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) = ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) ) |
86 |
62 85
|
breq12d |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( { c } u. ( b u. X ) ) ~<_ ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) ) ) |
87 |
|
simplr |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. c e. b ) |
88 |
|
incom |
|- ( X i^i A ) = ( A i^i X ) |
89 |
|
simprrl |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( A i^i X ) = (/) ) |
90 |
88 89
|
eqtrid |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( X i^i A ) = (/) ) |
91 |
|
minel |
|- ( ( c e. A /\ ( X i^i A ) = (/) ) -> -. c e. X ) |
92 |
74 90 91
|
syl2anc |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. c e. X ) |
93 |
|
ioran |
|- ( -. ( c e. b \/ c e. X ) <-> ( -. c e. b /\ -. c e. X ) ) |
94 |
|
elun |
|- ( c e. ( b u. X ) <-> ( c e. b \/ c e. X ) ) |
95 |
93 94
|
xchnxbir |
|- ( -. c e. ( b u. X ) <-> ( -. c e. b /\ -. c e. X ) ) |
96 |
87 92 95
|
sylanbrc |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. c e. ( b u. X ) ) |
97 |
|
simplr |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) -> -. c e. b ) |
98 |
|
f1of1 |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -1-1-> B ) |
99 |
98
|
adantl |
|- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> f : A -1-1-> B ) |
100 |
54
|
adantr |
|- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> b C_ A ) |
101 |
|
f1elima |
|- ( ( f : A -1-1-> B /\ c e. A /\ b C_ A ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) <-> c e. b ) ) |
102 |
99 73 100 101
|
syl3anc |
|- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) <-> c e. b ) ) |
103 |
102
|
biimpd |
|- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) -> c e. b ) ) |
104 |
103
|
adantl |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) -> c e. b ) ) |
105 |
97 104
|
mtod |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) -> -. ( f ` c ) e. ( f " b ) ) |
106 |
105
|
adantrr |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. ( f ` c ) e. ( f " b ) ) |
107 |
|
f1of |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B ) |
108 |
64 107
|
syl |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> f : A --> B ) |
109 |
108 74
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( f ` c ) e. B ) |
110 |
|
incom |
|- ( Y i^i B ) = ( B i^i Y ) |
111 |
|
simprrr |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( B i^i Y ) = (/) ) |
112 |
110 111
|
eqtrid |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( Y i^i B ) = (/) ) |
113 |
|
minel |
|- ( ( ( f ` c ) e. B /\ ( Y i^i B ) = (/) ) -> -. ( f ` c ) e. Y ) |
114 |
109 112 113
|
syl2anc |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. ( f ` c ) e. Y ) |
115 |
|
ioran |
|- ( -. ( ( f ` c ) e. ( f " b ) \/ ( f ` c ) e. Y ) <-> ( -. ( f ` c ) e. ( f " b ) /\ -. ( f ` c ) e. Y ) ) |
116 |
|
elun |
|- ( ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) <-> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) \/ ( f ` c ) e. Y ) ) |
117 |
115 116
|
xchnxbir |
|- ( -. ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) <-> ( -. ( f ` c ) e. ( f " b ) /\ -. ( f ` c ) e. Y ) ) |
118 |
106 114 117
|
sylanbrc |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) ) |
119 |
|
fvex |
|- ( f ` c ) e. _V |
120 |
70 119
|
domunsncan |
|- ( ( -. c e. ( b u. X ) /\ -. ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) ) -> ( ( { c } u. ( b u. X ) ) ~<_ ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) ) |
121 |
96 118 120
|
syl2anc |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( { c } u. ( b u. X ) ) ~<_ ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) ) |
122 |
86 121
|
bitrd |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) ) |
123 |
|
bitr |
|- ( ( ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) /\ ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) |
124 |
123
|
ex |
|- ( ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) -> ( ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
125 |
122 124
|
syl |
|- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
126 |
125
|
ex |
|- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
127 |
126
|
a2d |
|- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
128 |
57 127
|
syl5 |
|- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
129 |
13 22 31 40 51 128
|
findcard2s |
|- ( A e. Fin -> ( ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
130 |
129
|
expd |
|- ( A e. Fin -> ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
131 |
4 130
|
mpani |
|- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
132 |
131
|
3imp |
|- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) |
133 |
|
f1ofo |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B ) |
134 |
|
foima |
|- ( f : A -onto-> B -> ( f " A ) = B ) |
135 |
133 134
|
syl |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( f " A ) = B ) |
136 |
135
|
uneq1d |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( f " A ) u. Y ) = ( B u. Y ) ) |
137 |
136
|
breq2d |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) ) ) |
138 |
137
|
bibi1d |
|- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
139 |
138
|
3ad2ant2 |
|- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) |
140 |
132 139
|
mpbid |
|- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) |
141 |
140
|
3exp |
|- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
142 |
141
|
exlimdv |
|- ( A e. Fin -> ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
143 |
3 142
|
syl5 |
|- ( A e. Fin -> ( B ~~ A -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) ) |
144 |
143
|
imp31 |
|- ( ( ( A e. Fin /\ B ~~ A ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) |