Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itg2i1fseq.1 |
|- ( ph -> F e. MblFn ) |
2 |
|
itg2i1fseq.2 |
|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
3 |
|
itg2i1fseq.3 |
|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 ) |
4 |
|
itg2i1fseq.4 |
|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) ) |
5 |
|
itg2i1fseq.5 |
|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) |
6 |
|
itg2i1fseq.6 |
|- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) |
7 |
|
fveq2 |
|- ( n = m -> ( P ` n ) = ( P ` m ) ) |
8 |
7
|
fveq1d |
|- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` x ) ) |
9 |
8
|
cbvmptv |
|- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) ) |
10 |
|
fveq2 |
|- ( x = y -> ( ( P ` m ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` y ) ) |
11 |
10
|
mpteq2dv |
|- ( x = y -> ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) ) |
12 |
9 11
|
syl5eq |
|- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) ) |
13 |
12
|
rneqd |
|- ( x = y -> ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) ) |
14 |
13
|
supeq1d |
|- ( x = y -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) |
15 |
14
|
cbvmptv |
|- ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) |
16 |
3
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 ) |
17 |
|
i1fmbf |
|- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) e. MblFn ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. MblFn ) |
19 |
|
i1ff |
|- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) : RR --> RR ) |
20 |
16 19
|
syl |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> RR ) |
21 |
7
|
breq2d |
|- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( P ` n ) <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) ) |
22 |
|
fvoveq1 |
|- ( n = m -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) ) |
23 |
7 22
|
breq12d |
|- ( n = m -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) |
24 |
21 23
|
anbi12d |
|- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) ) |
25 |
24
|
rspccva |
|- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) |
26 |
4 25
|
sylan |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) |
27 |
26
|
simpld |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( P ` m ) ) |
28 |
|
0plef |
|- ( ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( P ` m ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) ) |
29 |
20 27 28
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
30 |
26
|
simprd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) |
31 |
|
rge0ssre |
|- ( 0 [,) +oo ) C_ RR |
32 |
2
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
33 |
31 32
|
sselid |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR ) |
34 |
1 2 3 4 5
|
itg2i1fseqle |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ F ) |
35 |
20
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) Fn RR ) |
36 |
2
|
ffnd |
|- ( ph -> F Fn RR ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F Fn RR ) |
38 |
|
reex |
|- RR e. _V |
39 |
38
|
a1i |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V ) |
40 |
|
inidm |
|- ( RR i^i RR ) = RR |
41 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) ) |
42 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) ) |
43 |
35 37 39 39 40 41 42
|
ofrfval |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ F <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) ) |
44 |
34 43
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) |
45 |
44
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) |
46 |
45
|
an32s |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) |
47 |
46
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) |
48 |
|
brralrspcev |
|- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) |
49 |
33 47 48
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) |
50 |
7
|
fveq2d |
|- ( n = m -> ( S.2 ` ( P ` n ) ) = ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) |
51 |
50
|
cbvmptv |
|- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) |
52 |
51
|
rneqi |
|- ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) |
53 |
52
|
supeq1i |
|- sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) , RR* , < ) |
54 |
15 18 29 30 49 53
|
itg2mono |
|- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) ) |
55 |
2
|
feqmptd |
|- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) ) |
56 |
7
|
fveq1d |
|- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) ) |
57 |
56
|
cbvmptv |
|- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) |
58 |
57
|
rneqi |
|- ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) |
59 |
58
|
supeq1i |
|- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) |
60 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
61 |
|
1zzd |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ ) |
62 |
20
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR ) |
63 |
62
|
an32s |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR ) |
64 |
63 57
|
fmptd |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) : NN --> RR ) |
65 |
|
peano2nn |
|- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN ) |
66 |
|
ffvelrn |
|- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 ) |
67 |
3 65 66
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 ) |
68 |
|
i1ff |
|- ( ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR ) |
69 |
67 68
|
syl |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR ) |
70 |
69
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR ) |
71 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
72 |
35 70 39 39 40 41 71
|
ofrfval |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) ) |
73 |
30 72
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
74 |
73
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
75 |
74
|
an32s |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
76 |
|
eqid |
|- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) |
77 |
|
fvex |
|- ( ( P ` m ) ` y ) e. _V |
78 |
56 76 77
|
fvmpt |
|- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) ) |
79 |
78
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) ) |
80 |
|
fveq2 |
|- ( n = ( m + 1 ) -> ( P ` n ) = ( P ` ( m + 1 ) ) ) |
81 |
80
|
fveq1d |
|- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
82 |
|
fvex |
|- ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. _V |
83 |
81 76 82
|
fvmpt |
|- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
84 |
65 83
|
syl |
|- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
85 |
84
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) |
86 |
75 79 85
|
3brtr4d |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) ) |
87 |
78
|
breq1d |
|- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) ) |
88 |
87
|
ralbiia |
|- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) |
89 |
88
|
rexbii |
|- ( E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) |
90 |
49 89
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z ) |
91 |
60 61 64 86 90
|
climsup |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) ) |
92 |
|
fveq2 |
|- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) ) |
93 |
92
|
mpteq2dv |
|- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ) |
94 |
|
fveq2 |
|- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) |
95 |
93 94
|
breq12d |
|- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) ) |
96 |
95
|
rspccva |
|- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) |
97 |
5 96
|
sylan |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) |
98 |
|
climuni |
|- ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) /\ ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) ) |
99 |
91 97 98
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) ) |
100 |
59 99
|
eqtr3id |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) ) |
101 |
100
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) ) |
102 |
55 101
|
eqtr4d |
|- ( ph -> F = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) ) |
103 |
102 15
|
eqtr4di |
|- ( ph -> F = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) |
104 |
103
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( S.2 ` F ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) ) |
105 |
|
itg2itg1 |
|- ( ( ( P ` m ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) |
106 |
16 27 105
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) |
107 |
106
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) ) |
108 |
6 107
|
eqtr4id |
|- ( ph -> S = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) ) |
109 |
108 51
|
eqtr4di |
|- ( ph -> S = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) ) |
110 |
109
|
rneqd |
|- ( ph -> ran S = ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) ) |
111 |
110
|
supeq1d |
|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) ) |
112 |
54 104 111
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) ) |