Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) ) |
2 |
|
8nn |
|- 8 e. NN |
3 |
2
|
nnzi |
|- 8 e. ZZ |
4 |
3
|
a1i |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 8 e. ZZ ) |
5 |
|
3z |
|- 3 e. ZZ |
6 |
5
|
a1i |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. ZZ ) |
7 |
4 6
|
zaddcld |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( 8 + 3 ) e. ZZ ) |
8 |
|
eluzelz |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. ZZ ) |
9 |
|
eluz2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) <-> ( ; 1 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) ) |
10 |
|
8p4e12 |
|- ( 8 + 4 ) = ; 1 2 |
11 |
10
|
breq1i |
|- ( ( 8 + 4 ) <_ N <-> ; 1 2 <_ N ) |
12 |
|
1nn0 |
|- 1 e. NN0 |
13 |
|
2nn |
|- 2 e. NN |
14 |
|
1lt2 |
|- 1 < 2 |
15 |
12 12 13 14
|
declt |
|- ; 1 1 < ; 1 2 |
16 |
|
8p3e11 |
|- ( 8 + 3 ) = ; 1 1 |
17 |
15 16 10
|
3brtr4i |
|- ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 ) |
18 |
|
8re |
|- 8 e. RR |
19 |
18
|
a1i |
|- ( N e. ZZ -> 8 e. RR ) |
20 |
|
3re |
|- 3 e. RR |
21 |
20
|
a1i |
|- ( N e. ZZ -> 3 e. RR ) |
22 |
19 21
|
readdcld |
|- ( N e. ZZ -> ( 8 + 3 ) e. RR ) |
23 |
|
4re |
|- 4 e. RR |
24 |
23
|
a1i |
|- ( N e. ZZ -> 4 e. RR ) |
25 |
19 24
|
readdcld |
|- ( N e. ZZ -> ( 8 + 4 ) e. RR ) |
26 |
|
zre |
|- ( N e. ZZ -> N e. RR ) |
27 |
|
ltleletr |
|- ( ( ( 8 + 3 ) e. RR /\ ( 8 + 4 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 ) /\ ( 8 + 4 ) <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) ) |
28 |
22 25 26 27
|
syl3anc |
|- ( N e. ZZ -> ( ( ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 ) /\ ( 8 + 4 ) <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) ) |
29 |
17 28
|
mpani |
|- ( N e. ZZ -> ( ( 8 + 4 ) <_ N -> ( 8 + 3 ) <_ N ) ) |
30 |
11 29
|
syl5bir |
|- ( N e. ZZ -> ( ; 1 2 <_ N -> ( 8 + 3 ) <_ N ) ) |
31 |
30
|
imp |
|- ( ( N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) |
32 |
31
|
3adant1 |
|- ( ( ; 1 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) |
33 |
9 32
|
sylbi |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) |
34 |
|
eluz2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) <-> ( ( 8 + 3 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 8 + 3 ) <_ N ) ) |
35 |
7 8 33 34
|
syl3anbrc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) ) |
36 |
|
eluzsub |
|- ( ( 8 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) ) |
37 |
4 6 35 36
|
syl3anc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) ) |
38 |
37
|
adantr |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) ) |
39 |
38
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) ) |
40 |
|
3odd |
|- 3 e. Odd |
41 |
40
|
a1i |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. Odd ) |
42 |
41
|
anim1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) ) |
43 |
42
|
adantl |
|- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) ) |
44 |
43
|
ancomd |
|- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) ) |
45 |
44
|
adantr |
|- ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) ) |
47 |
|
emoo |
|- ( ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) -> ( N - 3 ) e. Odd ) |
48 |
46 47
|
syl |
|- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. Odd ) |
49 |
|
nnsum4primesoddALTV |
|- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) -> ( ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) ) |
50 |
49
|
imp |
|- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) |
51 |
1 39 48 50
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) |
52 |
|
simpr |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) |
53 |
|
4z |
|- 4 e. ZZ |
54 |
|
fzonel |
|- -. 4 e. ( 1 ..^ 4 ) |
55 |
|
fzoval |
|- ( 4 e. ZZ -> ( 1 ..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ) |
56 |
53 55
|
ax-mp |
|- ( 1 ..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) |
57 |
|
4cn |
|- 4 e. CC |
58 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
59 |
|
3cn |
|- 3 e. CC |
60 |
|
3p1e4 |
|- ( 3 + 1 ) = 4 |
61 |
|
subadd2 |
|- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( 4 - 1 ) = 3 <-> ( 3 + 1 ) = 4 ) ) |
62 |
60 61
|
mpbiri |
|- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( 4 - 1 ) = 3 ) |
63 |
57 58 59 62
|
mp3an |
|- ( 4 - 1 ) = 3 |
64 |
63
|
oveq2i |
|- ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 1 ... 3 ) |
65 |
56 64
|
eqtri |
|- ( 1 ..^ 4 ) = ( 1 ... 3 ) |
66 |
65
|
eqcomi |
|- ( 1 ... 3 ) = ( 1 ..^ 4 ) |
67 |
66
|
eleq2i |
|- ( 4 e. ( 1 ... 3 ) <-> 4 e. ( 1 ..^ 4 ) ) |
68 |
54 67
|
mtbir |
|- -. 4 e. ( 1 ... 3 ) |
69 |
53 68
|
pm3.2i |
|- ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) |
70 |
69
|
a1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) ) |
71 |
|
3prm |
|- 3 e. Prime |
72 |
71
|
a1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. Prime ) |
73 |
|
fsnunf |
|- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) /\ 3 e. Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime ) |
74 |
52 70 72 73
|
syl3anc |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime ) |
75 |
|
fzval3 |
|- ( 4 e. ZZ -> ( 1 ... 4 ) = ( 1 ..^ ( 4 + 1 ) ) ) |
76 |
53 75
|
ax-mp |
|- ( 1 ... 4 ) = ( 1 ..^ ( 4 + 1 ) ) |
77 |
|
1z |
|- 1 e. ZZ |
78 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
79 |
|
1lt4 |
|- 1 < 4 |
80 |
78 23 79
|
ltleii |
|- 1 <_ 4 |
81 |
|
eluz2 |
|- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 1 <_ 4 ) ) |
82 |
77 53 80 81
|
mpbir3an |
|- 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) |
83 |
|
fzosplitsn |
|- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1 ..^ 4 ) u. { 4 } ) ) |
84 |
82 83
|
ax-mp |
|- ( 1 ..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1 ..^ 4 ) u. { 4 } ) |
85 |
65
|
uneq1i |
|- ( ( 1 ..^ 4 ) u. { 4 } ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) |
86 |
76 84 85
|
3eqtri |
|- ( 1 ... 4 ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) |
87 |
86
|
feq2i |
|- ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime ) |
88 |
74 87
|
sylibr |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) |
89 |
|
prmex |
|- Prime e. _V |
90 |
|
ovex |
|- ( 1 ... 4 ) e. _V |
91 |
89 90
|
pm3.2i |
|- ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V ) |
92 |
|
elmapg |
|- ( ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) ) |
93 |
91 92
|
mp1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) ) |
94 |
88 93
|
mpbird |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) ) |
95 |
94
|
adantr |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) ) |
96 |
|
fveq1 |
|- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( f ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) |
97 |
96
|
sumeq2sdv |
|- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) |
98 |
97
|
eqeq2d |
|- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) ) |
99 |
98
|
adantl |
|- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) /\ f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) ) |
100 |
82
|
a1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
101 |
86
|
eleq2i |
|- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) ) |
102 |
|
elun |
|- ( k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) ) |
103 |
|
velsn |
|- ( k e. { 4 } <-> k = 4 ) |
104 |
103
|
orbi2i |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) ) |
105 |
101 102 104
|
3bitri |
|- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) ) |
106 |
|
elfz2 |
|- ( k e. ( 1 ... 3 ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) ) |
107 |
20 23
|
pm3.2i |
|- ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) |
108 |
|
3lt4 |
|- 3 < 4 |
109 |
|
ltnle |
|- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 ) ) |
110 |
108 109
|
mpbii |
|- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> -. 4 <_ 3 ) |
111 |
107 110
|
ax-mp |
|- -. 4 <_ 3 |
112 |
|
breq1 |
|- ( k = 4 -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) ) |
113 |
112
|
eqcoms |
|- ( 4 = k -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) ) |
114 |
111 113
|
mtbiri |
|- ( 4 = k -> -. k <_ 3 ) |
115 |
114
|
a1i |
|- ( k e. ZZ -> ( 4 = k -> -. k <_ 3 ) ) |
116 |
115
|
necon2ad |
|- ( k e. ZZ -> ( k <_ 3 -> 4 =/= k ) ) |
117 |
116
|
adantld |
|- ( k e. ZZ -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) ) |
118 |
117
|
3ad2ant3 |
|- ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) ) |
119 |
118
|
imp |
|- ( ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) -> 4 =/= k ) |
120 |
106 119
|
sylbi |
|- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> 4 =/= k ) |
121 |
120
|
adantr |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 =/= k ) |
122 |
|
fvunsn |
|- ( 4 =/= k -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) ) |
123 |
121 122
|
syl |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) ) |
124 |
|
ffvelrn |
|- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) e. Prime ) |
125 |
124
|
ancoms |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. Prime ) |
126 |
|
prmz |
|- ( ( g ` k ) e. Prime -> ( g ` k ) e. ZZ ) |
127 |
125 126
|
syl |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. ZZ ) |
128 |
127
|
zcnd |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. CC ) |
129 |
123 128
|
eqeltrd |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) |
130 |
129
|
ex |
|- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) ) |
131 |
130
|
adantld |
|- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) ) |
132 |
|
fveq2 |
|- ( k = 4 -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) |
133 |
53
|
a1i |
|- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 4 e. ZZ ) |
134 |
5
|
a1i |
|- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 3 e. ZZ ) |
135 |
|
fdm |
|- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> dom g = ( 1 ... 3 ) ) |
136 |
|
eleq2 |
|- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> ( 4 e. dom g <-> 4 e. ( 1 ... 3 ) ) ) |
137 |
68 136
|
mtbiri |
|- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> -. 4 e. dom g ) |
138 |
135 137
|
syl |
|- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> -. 4 e. dom g ) |
139 |
|
fsnunfv |
|- ( ( 4 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ -. 4 e. dom g ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 ) |
140 |
133 134 138 139
|
syl3anc |
|- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 ) |
141 |
140
|
adantl |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 ) |
142 |
132 141
|
sylan9eq |
|- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = 3 ) |
143 |
142 59
|
eqeltrdi |
|- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) |
144 |
143
|
ex |
|- ( k = 4 -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) ) |
145 |
131 144
|
jaoi |
|- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) ) |
146 |
145
|
com12 |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) ) |
147 |
105 146
|
syl5bi |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( k e. ( 1 ... 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) ) |
148 |
147
|
imp |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) |
149 |
100 148 132
|
fsumm1 |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) ) |
150 |
149
|
adantr |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) ) |
151 |
63
|
eqcomi |
|- 3 = ( 4 - 1 ) |
152 |
151
|
oveq2i |
|- ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) |
153 |
152
|
a1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ) |
154 |
120
|
adantl |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> 4 =/= k ) |
155 |
154 122
|
syl |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) ) |
156 |
155
|
eqcomd |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) |
157 |
153 156
|
sumeq12dv |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) |
158 |
157
|
eqeq2d |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) <-> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) ) |
159 |
158
|
biimpa |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) |
160 |
159
|
eqcomd |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( N - 3 ) ) |
161 |
160
|
oveq1d |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) ) |
162 |
53
|
a1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ZZ ) |
163 |
5
|
a1i |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. ZZ ) |
164 |
138
|
adantl |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> -. 4 e. dom g ) |
165 |
162 163 164 139
|
syl3anc |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 ) |
166 |
165
|
oveq2d |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + 3 ) ) |
167 |
|
eluzelcn |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. CC ) |
168 |
59
|
a1i |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. CC ) |
169 |
167 168
|
npcand |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N ) |
170 |
169
|
adantr |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N ) |
171 |
166 170
|
eqtrd |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N ) |
172 |
171
|
adantr |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N ) |
173 |
150 161 172
|
3eqtrrd |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) |
174 |
95 99 173
|
rspcedvd |
|- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) |
175 |
174
|
ex |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) |
176 |
175
|
expcom |
|- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) ) |
177 |
|
elmapi |
|- ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) |
178 |
176 177
|
syl11 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) ) |
179 |
178
|
rexlimdv |
|- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) |
180 |
179
|
adantr |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) |
181 |
180
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) |
182 |
51 181
|
mpd |
|- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOdd ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) |
183 |
|
evengpoap3 |
|- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. o e. GoldbachOdd N = ( o + 3 ) ) ) |
184 |
183
|
imp |
|- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> E. o e. GoldbachOdd N = ( o + 3 ) ) |
185 |
182 184
|
r19.29a |
|- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) |
186 |
185
|
ex |
|- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOdd ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) |