Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
o1f |
|- ( F e. O(1) -> F : dom F --> CC ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> F : dom F --> CC ) |
3 |
2
|
ffnd |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> F Fn dom F ) |
4 |
|
rlimf |
|- ( G ~~>r 0 -> G : dom G --> CC ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> G : dom G --> CC ) |
6 |
5
|
ffnd |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> G Fn dom G ) |
7 |
|
o1dm |
|- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> dom F C_ RR ) |
9 |
|
reex |
|- RR e. _V |
10 |
|
ssexg |
|- ( ( dom F C_ RR /\ RR e. _V ) -> dom F e. _V ) |
11 |
8 9 10
|
sylancl |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> dom F e. _V ) |
12 |
|
rlimss |
|- ( G ~~>r 0 -> dom G C_ RR ) |
13 |
12
|
adantl |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> dom G C_ RR ) |
14 |
|
ssexg |
|- ( ( dom G C_ RR /\ RR e. _V ) -> dom G e. _V ) |
15 |
13 9 14
|
sylancl |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> dom G e. _V ) |
16 |
|
eqid |
|- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G ) |
17 |
|
eqidd |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) ) |
18 |
|
eqidd |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) ) |
19 |
3 6 11 15 16 17 18
|
offval |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> ( F oF x. G ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) |
20 |
|
o1bdd |
|- ( ( F e. O(1) /\ F : dom F --> CC ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) |
21 |
1 20
|
mpdan |
|- ( F e. O(1) -> E. a e. RR E. m e. RR A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) |
23 |
|
fvexd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V ) |
24 |
23
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> A. x e. dom G ( G ` x ) e. _V ) |
25 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> y e. RR+ ) |
26 |
|
recn |
|- ( m e. RR -> m e. CC ) |
27 |
26
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> m e. CC ) |
28 |
27
|
abscld |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( abs ` m ) e. RR ) |
29 |
27
|
absge0d |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> 0 <_ ( abs ` m ) ) |
30 |
28 29
|
ge0p1rpd |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( ( abs ` m ) + 1 ) e. RR+ ) |
31 |
25 30
|
rpdivcld |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) e. RR+ ) |
32 |
5
|
feqmptd |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> G = ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) ) |
33 |
|
simpr |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> G ~~>r 0 ) |
34 |
32 33
|
eqbrtrrd |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) ~~>r 0 ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) ~~>r 0 ) |
36 |
24 31 35
|
rlimi |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> E. b e. RR A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) |
37 |
|
inss1 |
|- ( dom F i^i dom G ) C_ dom F |
38 |
|
ssralv |
|- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom F -> ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) ) |
39 |
37 38
|
ax-mp |
|- ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) ) |
40 |
|
inss2 |
|- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G |
41 |
|
ssralv |
|- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom G -> ( A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
42 |
40 41
|
ax-mp |
|- ( A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) |
43 |
39 42
|
anim12i |
|- ( ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> ( A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
44 |
|
r19.26 |
|- ( A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
45 |
43 44
|
sylibr |
|- ( ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
46 |
|
anim12 |
|- ( ( ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( a <_ x /\ b <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
47 |
46
|
ralimi |
|- ( A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ x /\ b <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
48 |
45 47
|
syl |
|- ( ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ x /\ b <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
49 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> a e. RR ) |
50 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> b e. RR ) |
51 |
37 8
|
sstrid |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) |
52 |
51
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) |
53 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> x e. ( dom F i^i dom G ) ) |
54 |
52 53
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> x e. RR ) |
55 |
|
maxle |
|- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x e. RR ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x <-> ( a <_ x /\ b <_ x ) ) ) |
56 |
49 50 54 55
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x <-> ( a <_ x /\ b <_ x ) ) ) |
57 |
56
|
biimpd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x -> ( a <_ x /\ b <_ x ) ) ) |
58 |
5
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> G : dom G --> CC ) |
59 |
40
|
sseli |
|- ( x e. ( dom F i^i dom G ) -> x e. dom G ) |
60 |
59
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> x e. dom G ) |
61 |
58 60
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( G ` x ) e. CC ) |
62 |
61
|
subid1d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( G ` x ) - 0 ) = ( G ` x ) ) |
63 |
62
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) = ( abs ` ( G ` x ) ) ) |
64 |
63
|
breq1d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( G ` x ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) |
65 |
61
|
abscld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( abs ` ( G ` x ) ) e. RR ) |
66 |
31
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) e. RR+ ) |
67 |
66
|
rpred |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) e. RR ) |
68 |
|
ltle |
|- ( ( ( abs ` ( G ` x ) ) e. RR /\ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( G ` x ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( G ` x ) ) <_ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) |
69 |
65 67 68
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` ( G ` x ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( G ` x ) ) <_ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) |
70 |
64 69
|
sylbid |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( G ` x ) ) <_ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) |
71 |
70
|
anim2d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` x ) ) <_ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
72 |
2
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> F : dom F --> CC ) |
73 |
37
|
sseli |
|- ( x e. ( dom F i^i dom G ) -> x e. dom F ) |
74 |
73
|
ad2antll |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> x e. dom F ) |
75 |
72 74
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
76 |
75
|
abscld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR ) |
77 |
75
|
absge0d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) |
78 |
76 77
|
jca |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) ) |
79 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> m e. RR ) |
80 |
61
|
absge0d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( G ` x ) ) ) |
81 |
65 80
|
jca |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` ( G ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` x ) ) ) ) |
82 |
|
lemul12a |
|- ( ( ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) /\ m e. RR ) /\ ( ( ( abs ` ( G ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( G ` x ) ) ) /\ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` x ) ) <_ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) x. ( abs ` ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
83 |
78 79 81 67 82
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` x ) ) <_ ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) x. ( abs ` ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
84 |
75 61
|
absmuld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` x ) ) x. ( abs ` ( G ` x ) ) ) ) |
85 |
84
|
breq1d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` x ) ) x. ( abs ` ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) ) |
86 |
79
|
recnd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> m e. CC ) |
87 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> y e. RR+ ) |
88 |
87
|
rpcnd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> y e. CC ) |
89 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` m ) + 1 ) e. RR+ ) |
90 |
89
|
rpcnd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` m ) + 1 ) e. CC ) |
91 |
89
|
rpne0d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` m ) + 1 ) =/= 0 ) |
92 |
86 88 90 91
|
divassd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( m x. y ) / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) = ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) |
93 |
|
peano2re |
|- ( ( abs ` m ) e. RR -> ( ( abs ` m ) + 1 ) e. RR ) |
94 |
28 93
|
syl |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( ( abs ` m ) + 1 ) e. RR ) |
95 |
94
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` m ) + 1 ) e. RR ) |
96 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( abs ` m ) e. RR ) |
97 |
79
|
leabsd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> m <_ ( abs ` m ) ) |
98 |
96
|
ltp1d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( abs ` m ) < ( ( abs ` m ) + 1 ) ) |
99 |
79 96 95 97 98
|
lelttrd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> m < ( ( abs ` m ) + 1 ) ) |
100 |
79 95 87 99
|
ltmul1dd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( m x. y ) < ( ( ( abs ` m ) + 1 ) x. y ) ) |
101 |
87
|
rpred |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> y e. RR ) |
102 |
79 101
|
remulcld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( m x. y ) e. RR ) |
103 |
102 101 89
|
ltdivmuld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( ( m x. y ) / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) < y <-> ( m x. y ) < ( ( ( abs ` m ) + 1 ) x. y ) ) ) |
104 |
100 103
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( m x. y ) / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) < y ) |
105 |
92 104
|
eqbrtrrd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) < y ) |
106 |
75 61
|
mulcld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) e. CC ) |
107 |
106
|
abscld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) e. RR ) |
108 |
79 67
|
remulcld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) e. RR ) |
109 |
|
lelttr |
|- ( ( ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) e. RR /\ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) /\ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
110 |
107 108 101 109
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) /\ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
111 |
105 110
|
mpan2d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
112 |
85 111
|
sylbird |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) x. ( abs ` ( G ` x ) ) ) <_ ( m x. ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
113 |
71 83 112
|
3syld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
114 |
57 113
|
imim12d |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( b e. RR /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( ( ( a <_ x /\ b <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) |
115 |
114
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ x /\ b <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) |
116 |
115
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) -> ( A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ x /\ b <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) |
117 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) -> b e. RR ) |
118 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) -> a e. RR ) |
119 |
117 118
|
ifcld |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR ) |
120 |
116 119
|
jctild |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) -> ( A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ x /\ b <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m /\ ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) ) |
121 |
|
breq1 |
|- ( z = if ( a <_ b , b , a ) -> ( z <_ x <-> if ( a <_ b , b , a ) <_ x ) ) |
122 |
121
|
rspceaimv |
|- ( ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) -> E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
123 |
48 120 122
|
syl56 |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) -> ( ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) /\ A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) ) -> E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) |
124 |
123
|
expcomd |
|- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) /\ b e. RR ) -> ( A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) -> E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) ) |
125 |
124
|
rexlimdva |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( E. b e. RR A. x e. dom G ( b <_ x -> ( abs ` ( ( G ` x ) - 0 ) ) < ( y / ( ( abs ` m ) + 1 ) ) ) -> ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) -> E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) ) |
126 |
36 125
|
mpd |
|- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) -> E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) |
127 |
126
|
rexlimdvva |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. a e. RR E. m e. RR A. x e. dom F ( a <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ m ) -> E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) |
128 |
22 127
|
mpd |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
129 |
128
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) |
130 |
|
ffvelrn |
|- ( ( F : dom F --> CC /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
131 |
2 73 130
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
132 |
|
ffvelrn |
|- ( ( G : dom G --> CC /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. CC ) |
133 |
5 59 132
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` x ) e. CC ) |
134 |
131 133
|
mulcld |
|- ( ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) e. CC ) |
135 |
134
|
ralrimiva |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) e. CC ) |
136 |
135 51
|
rlim0 |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ~~>r 0 <-> A. y e. RR+ E. z e. RR A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) < y ) ) ) |
137 |
129 136
|
mpbird |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ~~>r 0 ) |
138 |
19 137
|
eqbrtrd |
|- ( ( F e. O(1) /\ G ~~>r 0 ) -> ( F oF x. G ) ~~>r 0 ) |