Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ordtval.1 |
|- X = dom R |
2 |
|
ordtval.2 |
|- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } ) |
3 |
|
ordtval.3 |
|- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } ) |
4 |
|
ordtval.4 |
|- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } ) |
5 |
|
snex |
|- { X } e. _V |
6 |
|
ssun2 |
|- ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) |
7 |
1 2 3
|
ordtuni |
|- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( A u. B ) ) ) |
8 |
|
dmexg |
|- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V ) |
9 |
1 8
|
eqeltrid |
|- ( R e. TosetRel -> X e. _V ) |
10 |
7 9
|
eqeltrrd |
|- ( R e. TosetRel -> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) |
11 |
|
uniexb |
|- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) |
12 |
10 11
|
sylibr |
|- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) |
13 |
|
ssexg |
|- ( ( ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) /\ ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V ) |
14 |
6 12 13
|
sylancr |
|- ( R e. TosetRel -> ( A u. B ) e. _V ) |
15 |
|
elfiun |
|- ( ( { X } e. _V /\ ( A u. B ) e. _V ) -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) ) |
16 |
5 14 15
|
sylancr |
|- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) ) |
17 |
|
fisn |
|- ( fi ` { X } ) = { X } |
18 |
|
ssun1 |
|- { X } C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) |
19 |
17 18
|
eqsstri |
|- ( fi ` { X } ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) |
20 |
19
|
sseli |
|- ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) |
21 |
20
|
a1i |
|- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) ) |
22 |
1 2 3 4
|
ordtbas2 |
|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) ) |
23 |
|
ssun2 |
|- ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) |
24 |
22 23
|
eqsstrdi |
|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) |
25 |
24
|
sseld |
|- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) ) |
26 |
|
fipwuni |
|- ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ~P U. ( A u. B ) |
27 |
26
|
sseli |
|- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n e. ~P U. ( A u. B ) ) |
28 |
27
|
elpwid |
|- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) ) |
29 |
28
|
ad2antll |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) ) |
30 |
6
|
unissi |
|- U. ( A u. B ) C_ U. ( { X } u. ( A u. B ) ) |
31 |
30 7
|
sseqtrrid |
|- ( R e. TosetRel -> U. ( A u. B ) C_ X ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> U. ( A u. B ) C_ X ) |
33 |
29 32
|
sstrd |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ X ) |
34 |
|
simprl |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. ( fi ` { X } ) ) |
35 |
34 17
|
eleqtrdi |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. { X } ) |
36 |
|
elsni |
|- ( m e. { X } -> m = X ) |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m = X ) |
38 |
33 37
|
sseqtrrd |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ m ) |
39 |
|
sseqin2 |
|- ( n C_ m <-> ( m i^i n ) = n ) |
40 |
38 39
|
sylib |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) = n ) |
41 |
24
|
sselda |
|- ( ( R e. TosetRel /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) |
42 |
41
|
adantrl |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) |
43 |
40 42
|
eqeltrd |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) |
44 |
|
eleq1 |
|- ( z = ( m i^i n ) -> ( z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) <-> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) ) |
45 |
43 44
|
syl5ibrcom |
|- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) ) |
46 |
45
|
rexlimdvva |
|- ( R e. TosetRel -> ( E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) ) |
47 |
21 25 46
|
3jaod |
|- ( R e. TosetRel -> ( ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) ) |
48 |
16 47
|
sylbid |
|- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) ) |
49 |
48
|
ssrdv |
|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) |
50 |
|
ssfii |
|- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) |
51 |
12 50
|
syl |
|- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) |
52 |
51
|
unssad |
|- ( R e. TosetRel -> { X } C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) |
53 |
|
fiss |
|- ( ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V /\ ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) |
54 |
12 6 53
|
sylancl |
|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) |
55 |
22 54
|
eqsstrrd |
|- ( R e. TosetRel -> ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) |
56 |
52 55
|
unssd |
|- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) ) |
57 |
49 56
|
eqssd |
|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) |
58 |
|
unass |
|- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) |
59 |
57 58
|
eqtr4di |
|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) ) |