Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elex |
|- ( A e. ( fi ` ( B u. C ) ) -> A e. _V ) |
2 |
1
|
adantl |
|- ( ( ( B e. D /\ C e. K ) /\ A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) -> A e. _V ) |
3 |
|
simpll |
|- ( ( ( B e. D /\ C e. K ) /\ A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) -> B e. D ) |
4 |
|
simplr |
|- ( ( ( B e. D /\ C e. K ) /\ A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) -> C e. K ) |
5 |
2 3 4
|
3jca |
|- ( ( ( B e. D /\ C e. K ) /\ A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) |
6 |
|
elex |
|- ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V ) |
7 |
6
|
3anim1i |
|- ( ( A e. ( fi ` B ) /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) |
8 |
7
|
3expib |
|- ( A e. ( fi ` B ) -> ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) ) |
9 |
|
elex |
|- ( A e. ( fi ` C ) -> A e. _V ) |
10 |
9
|
3anim1i |
|- ( ( A e. ( fi ` C ) /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) |
11 |
10
|
3expib |
|- ( A e. ( fi ` C ) -> ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) ) |
12 |
|
vex |
|- x e. _V |
13 |
12
|
inex1 |
|- ( x i^i y ) e. _V |
14 |
|
eleq1 |
|- ( A = ( x i^i y ) -> ( A e. _V <-> ( x i^i y ) e. _V ) ) |
15 |
13 14
|
mpbiri |
|- ( A = ( x i^i y ) -> A e. _V ) |
16 |
15
|
a1i |
|- ( ( x e. ( fi ` B ) /\ y e. ( fi ` C ) ) -> ( A = ( x i^i y ) -> A e. _V ) ) |
17 |
16
|
rexlimivv |
|- ( E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) -> A e. _V ) |
18 |
17
|
3anim1i |
|- ( ( E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) |
19 |
18
|
3expib |
|- ( E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) -> ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) ) |
20 |
8 11 19
|
3jaoi |
|- ( ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) -> ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) ) |
21 |
20
|
impcom |
|- ( ( ( B e. D /\ C e. K ) /\ ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) -> ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) ) |
22 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> A e. _V ) |
23 |
|
unexg |
|- ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( B u. C ) e. _V ) |
24 |
23
|
3adant1 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( B u. C ) e. _V ) |
25 |
|
elfi |
|- ( ( A e. _V /\ ( B u. C ) e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( B u. C ) ) <-> E. z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) A = |^| z ) ) |
26 |
22 24 25
|
syl2anc |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. ( fi ` ( B u. C ) ) <-> E. z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) A = |^| z ) ) |
27 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) -> A e. _V ) |
28 |
|
eleq1 |
|- ( A = |^| z -> ( A e. _V <-> |^| z e. _V ) ) |
29 |
|
intex |
|- ( z =/= (/) <-> |^| z e. _V ) |
30 |
28 29
|
bitr4di |
|- ( A = |^| z -> ( A e. _V <-> z =/= (/) ) ) |
31 |
27 30
|
syl5ibcom |
|- ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) -> ( A = |^| z -> z =/= (/) ) ) |
32 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> B e. D ) |
33 |
|
inss2 |
|- ( z i^i B ) C_ B |
34 |
33
|
a1i |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i B ) C_ B ) |
35 |
|
simp1l |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i B ) =/= (/) ) |
36 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) |
37 |
36
|
elin2d |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z e. Fin ) |
38 |
|
inss1 |
|- ( z i^i B ) C_ z |
39 |
|
ssfi |
|- ( ( z e. Fin /\ ( z i^i B ) C_ z ) -> ( z i^i B ) e. Fin ) |
40 |
37 38 39
|
sylancl |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i B ) e. Fin ) |
41 |
|
elfir |
|- ( ( B e. D /\ ( ( z i^i B ) C_ B /\ ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i B ) e. Fin ) ) -> |^| ( z i^i B ) e. ( fi ` B ) ) |
42 |
32 34 35 40 41
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> |^| ( z i^i B ) e. ( fi ` B ) ) |
43 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> C e. K ) |
44 |
|
inss2 |
|- ( z i^i C ) C_ C |
45 |
44
|
a1i |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i C ) C_ C ) |
46 |
|
simp1r |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i C ) =/= (/) ) |
47 |
|
inss1 |
|- ( z i^i C ) C_ z |
48 |
|
ssfi |
|- ( ( z e. Fin /\ ( z i^i C ) C_ z ) -> ( z i^i C ) e. Fin ) |
49 |
37 47 48
|
sylancl |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i C ) e. Fin ) |
50 |
|
elfir |
|- ( ( C e. K /\ ( ( z i^i C ) C_ C /\ ( z i^i C ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) e. Fin ) ) -> |^| ( z i^i C ) e. ( fi ` C ) ) |
51 |
43 45 46 49 50
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> |^| ( z i^i C ) e. ( fi ` C ) ) |
52 |
|
elinel1 |
|- ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) -> z e. ~P ( B u. C ) ) |
53 |
52
|
elpwid |
|- ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) -> z C_ ( B u. C ) ) |
54 |
|
df-ss |
|- ( z C_ ( B u. C ) <-> ( z i^i ( B u. C ) ) = z ) |
55 |
54
|
biimpi |
|- ( z C_ ( B u. C ) -> ( z i^i ( B u. C ) ) = z ) |
56 |
|
indi |
|- ( z i^i ( B u. C ) ) = ( ( z i^i B ) u. ( z i^i C ) ) |
57 |
55 56
|
eqtr3di |
|- ( z C_ ( B u. C ) -> z = ( ( z i^i B ) u. ( z i^i C ) ) ) |
58 |
57
|
inteqd |
|- ( z C_ ( B u. C ) -> |^| z = |^| ( ( z i^i B ) u. ( z i^i C ) ) ) |
59 |
|
intun |
|- |^| ( ( z i^i B ) u. ( z i^i C ) ) = ( |^| ( z i^i B ) i^i |^| ( z i^i C ) ) |
60 |
58 59
|
eqtrdi |
|- ( z C_ ( B u. C ) -> |^| z = ( |^| ( z i^i B ) i^i |^| ( z i^i C ) ) ) |
61 |
36 53 60
|
3syl |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> |^| z = ( |^| ( z i^i B ) i^i |^| ( z i^i C ) ) ) |
62 |
|
ineq1 |
|- ( x = |^| ( z i^i B ) -> ( x i^i y ) = ( |^| ( z i^i B ) i^i y ) ) |
63 |
62
|
eqeq2d |
|- ( x = |^| ( z i^i B ) -> ( |^| z = ( x i^i y ) <-> |^| z = ( |^| ( z i^i B ) i^i y ) ) ) |
64 |
|
ineq2 |
|- ( y = |^| ( z i^i C ) -> ( |^| ( z i^i B ) i^i y ) = ( |^| ( z i^i B ) i^i |^| ( z i^i C ) ) ) |
65 |
64
|
eqeq2d |
|- ( y = |^| ( z i^i C ) -> ( |^| z = ( |^| ( z i^i B ) i^i y ) <-> |^| z = ( |^| ( z i^i B ) i^i |^| ( z i^i C ) ) ) ) |
66 |
63 65
|
rspc2ev |
|- ( ( |^| ( z i^i B ) e. ( fi ` B ) /\ |^| ( z i^i C ) e. ( fi ` C ) /\ |^| z = ( |^| ( z i^i B ) i^i |^| ( z i^i C ) ) ) -> E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) |
67 |
42 51 61 66
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) |
68 |
67
|
3mix3d |
|- ( ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) |
69 |
68
|
3expib |
|- ( ( ( z i^i B ) =/= (/) /\ ( z i^i C ) =/= (/) ) -> ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) ) |
70 |
|
simp23 |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> C e. K ) |
71 |
|
simp1 |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i B ) = (/) ) |
72 |
|
simp3l |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) |
73 |
|
reldisj |
|- ( z C_ ( B u. C ) -> ( ( z i^i B ) = (/) <-> z C_ ( ( B u. C ) \ B ) ) ) |
74 |
72 53 73
|
3syl |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( ( z i^i B ) = (/) <-> z C_ ( ( B u. C ) \ B ) ) ) |
75 |
71 74
|
mpbid |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z C_ ( ( B u. C ) \ B ) ) |
76 |
|
uncom |
|- ( B u. C ) = ( C u. B ) |
77 |
76
|
difeq1i |
|- ( ( B u. C ) \ B ) = ( ( C u. B ) \ B ) |
78 |
|
difun2 |
|- ( ( C u. B ) \ B ) = ( C \ B ) |
79 |
77 78
|
eqtri |
|- ( ( B u. C ) \ B ) = ( C \ B ) |
80 |
|
difss |
|- ( C \ B ) C_ C |
81 |
79 80
|
eqsstri |
|- ( ( B u. C ) \ B ) C_ C |
82 |
75 81
|
sstrdi |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z C_ C ) |
83 |
|
simp3r |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z =/= (/) ) |
84 |
72
|
elin2d |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z e. Fin ) |
85 |
|
elfir |
|- ( ( C e. K /\ ( z C_ C /\ z =/= (/) /\ z e. Fin ) ) -> |^| z e. ( fi ` C ) ) |
86 |
70 82 83 84 85
|
syl13anc |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> |^| z e. ( fi ` C ) ) |
87 |
86
|
3mix2d |
|- ( ( ( z i^i B ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) |
88 |
87
|
3expib |
|- ( ( z i^i B ) = (/) -> ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) ) |
89 |
|
simp22 |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> B e. D ) |
90 |
|
simp1 |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( z i^i C ) = (/) ) |
91 |
|
simp3l |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) |
92 |
|
reldisj |
|- ( z C_ ( B u. C ) -> ( ( z i^i C ) = (/) <-> z C_ ( ( B u. C ) \ C ) ) ) |
93 |
91 53 92
|
3syl |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( ( z i^i C ) = (/) <-> z C_ ( ( B u. C ) \ C ) ) ) |
94 |
90 93
|
mpbid |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z C_ ( ( B u. C ) \ C ) ) |
95 |
|
difun2 |
|- ( ( B u. C ) \ C ) = ( B \ C ) |
96 |
|
difss |
|- ( B \ C ) C_ B |
97 |
95 96
|
eqsstri |
|- ( ( B u. C ) \ C ) C_ B |
98 |
94 97
|
sstrdi |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z C_ B ) |
99 |
|
simp3r |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z =/= (/) ) |
100 |
91
|
elin2d |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> z e. Fin ) |
101 |
|
elfir |
|- ( ( B e. D /\ ( z C_ B /\ z =/= (/) /\ z e. Fin ) ) -> |^| z e. ( fi ` B ) ) |
102 |
89 98 99 100 101
|
syl13anc |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> |^| z e. ( fi ` B ) ) |
103 |
102
|
3mix1d |
|- ( ( ( z i^i C ) = (/) /\ ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) |
104 |
103
|
3expib |
|- ( ( z i^i C ) = (/) -> ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) ) |
105 |
69 88 104
|
pm2.61iine |
|- ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) |
106 |
|
eleq1 |
|- ( A = |^| z -> ( A e. ( fi ` B ) <-> |^| z e. ( fi ` B ) ) ) |
107 |
|
eleq1 |
|- ( A = |^| z -> ( A e. ( fi ` C ) <-> |^| z e. ( fi ` C ) ) ) |
108 |
|
eqeq1 |
|- ( A = |^| z -> ( A = ( x i^i y ) <-> |^| z = ( x i^i y ) ) ) |
109 |
108
|
2rexbidv |
|- ( A = |^| z -> ( E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) <-> E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) |
110 |
106 107 109
|
3orbi123d |
|- ( A = |^| z -> ( ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) <-> ( |^| z e. ( fi ` B ) \/ |^| z e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) |^| z = ( x i^i y ) ) ) ) |
111 |
105 110
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ ( z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) /\ z =/= (/) ) ) -> ( A = |^| z -> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) |
112 |
111
|
expr |
|- ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) -> ( z =/= (/) -> ( A = |^| z -> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) ) |
113 |
112
|
com23 |
|- ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) -> ( A = |^| z -> ( z =/= (/) -> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) ) |
114 |
31 113
|
mpdd |
|- ( ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) /\ z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) ) -> ( A = |^| z -> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) |
115 |
114
|
rexlimdva |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( E. z e. ( ~P ( B u. C ) i^i Fin ) A = |^| z -> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) |
116 |
26 115
|
sylbid |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. ( fi ` ( B u. C ) ) -> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) |
117 |
|
ssun1 |
|- B C_ ( B u. C ) |
118 |
|
fiss |
|- ( ( ( B u. C ) e. _V /\ B C_ ( B u. C ) ) -> ( fi ` B ) C_ ( fi ` ( B u. C ) ) ) |
119 |
23 117 118
|
sylancl |
|- ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( fi ` B ) C_ ( fi ` ( B u. C ) ) ) |
120 |
119
|
3adant1 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( fi ` B ) C_ ( fi ` ( B u. C ) ) ) |
121 |
120
|
sseld |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. ( fi ` B ) -> A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
122 |
|
ssun2 |
|- C C_ ( B u. C ) |
123 |
|
fiss |
|- ( ( ( B u. C ) e. _V /\ C C_ ( B u. C ) ) -> ( fi ` C ) C_ ( fi ` ( B u. C ) ) ) |
124 |
23 122 123
|
sylancl |
|- ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( fi ` C ) C_ ( fi ` ( B u. C ) ) ) |
125 |
124
|
3adant1 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( fi ` C ) C_ ( fi ` ( B u. C ) ) ) |
126 |
125
|
sseld |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. ( fi ` C ) -> A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
127 |
120
|
sseld |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( x e. ( fi ` B ) -> x e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
128 |
125
|
sseld |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( y e. ( fi ` C ) -> y e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
129 |
127 128
|
anim12d |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( ( x e. ( fi ` B ) /\ y e. ( fi ` C ) ) -> ( x e. ( fi ` ( B u. C ) ) /\ y e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) ) |
130 |
|
fiin |
|- ( ( x e. ( fi ` ( B u. C ) ) /\ y e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) |
131 |
|
eleq1a |
|- ( ( x i^i y ) e. ( fi ` ( B u. C ) ) -> ( A = ( x i^i y ) -> A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
132 |
130 131
|
syl |
|- ( ( x e. ( fi ` ( B u. C ) ) /\ y e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) -> ( A = ( x i^i y ) -> A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
133 |
129 132
|
syl6 |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( ( x e. ( fi ` B ) /\ y e. ( fi ` C ) ) -> ( A = ( x i^i y ) -> A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) ) |
134 |
133
|
rexlimdvv |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) -> A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
135 |
121 126 134
|
3jaod |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) -> A e. ( fi ` ( B u. C ) ) ) ) |
136 |
116 135
|
impbid |
|- ( ( A e. _V /\ B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. ( fi ` ( B u. C ) ) <-> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) |
137 |
5 21 136
|
pm5.21nd |
|- ( ( B e. D /\ C e. K ) -> ( A e. ( fi ` ( B u. C ) ) <-> ( A e. ( fi ` B ) \/ A e. ( fi ` C ) \/ E. x e. ( fi ` B ) E. y e. ( fi ` C ) A = ( x i^i y ) ) ) ) |