Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pimdecfgtioo.x |
|- F/ x ph |
2 |
|
pimdecfgtioo.h |
|- F/ y ph |
3 |
|
pimdecfgtioo.a |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
4 |
|
pimdecfgtioo.f |
|- ( ph -> F : A --> RR* ) |
5 |
|
pimdecfgtioo.d |
|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) ) |
6 |
|
pimdecfgtioo.r |
|- ( ph -> R e. RR* ) |
7 |
|
pimdecfgtioo.y |
|- Y = { x e. A | R < ( F ` x ) } |
8 |
|
pimdecfgtioo.c |
|- S = sup ( Y , RR* , < ) |
9 |
|
pimdecfgtioo.e |
|- ( ph -> -. S e. Y ) |
10 |
|
pimdecfgtioo.i |
|- I = ( -oo (,) S ) |
11 |
|
ssrab2 |
|- { x e. A | R < ( F ` x ) } C_ A |
12 |
7 11
|
eqsstri |
|- Y C_ A |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ph -> Y C_ A ) |
14 |
13 3
|
sstrd |
|- ( ph -> Y C_ RR ) |
15 |
14 8 9 10
|
ressioosup |
|- ( ph -> Y C_ I ) |
16 |
15 13
|
ssind |
|- ( ph -> Y C_ ( I i^i A ) ) |
17 |
|
elinel2 |
|- ( x e. ( I i^i A ) -> x e. A ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. A ) |
19 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
20 |
19
|
a1i |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> -oo e. RR* ) |
21 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
22 |
14 21
|
sstrdi |
|- ( ph -> Y C_ RR* ) |
23 |
22
|
supxrcld |
|- ( ph -> sup ( Y , RR* , < ) e. RR* ) |
24 |
8 23
|
eqeltrid |
|- ( ph -> S e. RR* ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> S e. RR* ) |
26 |
|
elinel1 |
|- ( x e. ( I i^i A ) -> x e. I ) |
27 |
26 10
|
eleqtrdi |
|- ( x e. ( I i^i A ) -> x e. ( -oo (,) S ) ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. ( -oo (,) S ) ) |
29 |
|
iooltub |
|- ( ( -oo e. RR* /\ S e. RR* /\ x e. ( -oo (,) S ) ) -> x < S ) |
30 |
20 25 28 29
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x < S ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> x < S ) |
32 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> -. R < ( F ` x ) ) |
33 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> F : A --> RR* ) |
34 |
33 18
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> ( F ` x ) e. RR* ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. RR* ) |
36 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> R e. RR* ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> R e. RR* ) |
38 |
35 37
|
xrlenltd |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( ( F ` x ) <_ R <-> -. R < ( F ` x ) ) ) |
39 |
32 38
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) <_ R ) |
40 |
|
nfv |
|- F/ y x e. ( I i^i A ) |
41 |
2 40
|
nfan |
|- F/ y ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) |
42 |
|
nfv |
|- F/ y ( F ` x ) <_ R |
43 |
41 42
|
nfan |
|- F/ y ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) |
44 |
|
fveq2 |
|- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) |
45 |
44
|
breq2d |
|- ( x = y -> ( R < ( F ` x ) <-> R < ( F ` y ) ) ) |
46 |
45 7
|
elrab2 |
|- ( y e. Y <-> ( y e. A /\ R < ( F ` y ) ) ) |
47 |
46
|
biimpi |
|- ( y e. Y -> ( y e. A /\ R < ( F ` y ) ) ) |
48 |
47
|
simprd |
|- ( y e. Y -> R < ( F ` y ) ) |
49 |
48
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> R < ( F ` y ) ) |
50 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> A C_ RR ) |
51 |
50 18
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. RR ) |
52 |
51
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x e. RR ) |
53 |
14
|
sselda |
|- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. RR ) |
54 |
53
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> y e. RR ) |
55 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> -. y <_ x ) |
56 |
52 54
|
ltnled |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) ) |
57 |
55 56
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x < y ) |
58 |
52 54 57
|
ltled |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x <_ y ) |
59 |
58
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x <_ y ) |
60 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. Y ) -> F : A --> RR* ) |
61 |
13
|
sselda |
|- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. A ) |
62 |
60 61
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( F ` y ) e. RR* ) |
63 |
62
|
ad5ant14 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) e. RR* ) |
64 |
34
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` x ) e. RR* ) |
65 |
36
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> R e. RR* ) |
66 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> x <_ y ) |
67 |
|
rspa |
|- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) /\ x e. A ) -> A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) ) |
68 |
5 17 67
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) ) |
69 |
68
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) ) |
70 |
61
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> y e. A ) |
71 |
|
rspa |
|- ( ( A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) /\ y e. A ) -> ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) ) |
72 |
69 70 71
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) ) |
73 |
66 72
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) |
74 |
73
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) |
75 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` x ) <_ R ) |
76 |
63 64 65 74 75
|
xrletrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ R ) |
77 |
63 65
|
xrlenltd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( ( F ` y ) <_ R <-> -. R < ( F ` y ) ) ) |
78 |
76 77
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> -. R < ( F ` y ) ) |
79 |
59 78
|
syldan |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> -. R < ( F ` y ) ) |
80 |
49 79
|
condan |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) -> y <_ x ) |
81 |
80
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) -> ( y e. Y -> y <_ x ) ) |
82 |
43 81
|
ralrimi |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) -> A. y e. Y y <_ x ) |
83 |
39 82
|
syldan |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> A. y e. Y y <_ x ) |
84 |
22
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> Y C_ RR* ) |
85 |
21 51
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. RR* ) |
86 |
|
supxrleub |
|- ( ( Y C_ RR* /\ x e. RR* ) -> ( sup ( Y , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. Y y <_ x ) ) |
87 |
84 85 86
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> ( sup ( Y , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. Y y <_ x ) ) |
88 |
87
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( sup ( Y , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. Y y <_ x ) ) |
89 |
83 88
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> sup ( Y , RR* , < ) <_ x ) |
90 |
8 89
|
eqbrtrid |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> S <_ x ) |
91 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> S e. RR* ) |
92 |
85
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> x e. RR* ) |
93 |
91 92
|
xrlenltd |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( S <_ x <-> -. x < S ) ) |
94 |
90 93
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> -. x < S ) |
95 |
31 94
|
condan |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> R < ( F ` x ) ) |
96 |
18 95
|
jca |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> ( x e. A /\ R < ( F ` x ) ) ) |
97 |
7
|
rabeq2i |
|- ( x e. Y <-> ( x e. A /\ R < ( F ` x ) ) ) |
98 |
96 97
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. Y ) |
99 |
98
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. ( I i^i A ) -> x e. Y ) ) |
100 |
1 99
|
ralrimi |
|- ( ph -> A. x e. ( I i^i A ) x e. Y ) |
101 |
|
nfcv |
|- F/_ x ( I i^i A ) |
102 |
|
nfrab1 |
|- F/_ x { x e. A | R < ( F ` x ) } |
103 |
7 102
|
nfcxfr |
|- F/_ x Y |
104 |
101 103
|
dfss3f |
|- ( ( I i^i A ) C_ Y <-> A. x e. ( I i^i A ) x e. Y ) |
105 |
100 104
|
sylibr |
|- ( ph -> ( I i^i A ) C_ Y ) |
106 |
16 105
|
eqssd |
|- ( ph -> Y = ( I i^i A ) ) |