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Theorem finxpsuclem

Description: Lemma for finxpsuc . (Contributed by ML, 24-Oct-2020)

Ref Expression
Hypothesis finxpsuclem.1 F = n ω , x V if n = 1 𝑜 x U if x V × U n 1 st x n x
Assertion finxpsuclem N ω 1 𝑜 N U ↑↑ suc N = U ↑↑ N × U

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 finxpsuclem.1 F = n ω , x V if n = 1 𝑜 x U if x V × U n 1 st x n x
2 peano2 N ω suc N ω
3 2 adantr N ω 1 𝑜 N suc N ω
4 1on 1 𝑜 On
5 4 onordi Ord 1 𝑜
6 nnord N ω Ord N
7 ordsseleq Ord 1 𝑜 Ord N 1 𝑜 N 1 𝑜 N 1 𝑜 = N
8 5 6 7 sylancr N ω 1 𝑜 N 1 𝑜 N 1 𝑜 = N
9 8 biimpa N ω 1 𝑜 N 1 𝑜 N 1 𝑜 = N
10 elelsuc 1 𝑜 N 1 𝑜 suc N
11 10 a1i N ω 1 𝑜 N 1 𝑜 suc N
12 sucidg N ω N suc N
13 eleq1 1 𝑜 = N 1 𝑜 suc N N suc N
14 12 13 syl5ibrcom N ω 1 𝑜 = N 1 𝑜 suc N
15 11 14 jaod N ω 1 𝑜 N 1 𝑜 = N 1 𝑜 suc N
16 15 adantr N ω 1 𝑜 N 1 𝑜 N 1 𝑜 = N 1 𝑜 suc N
17 9 16 mpd N ω 1 𝑜 N 1 𝑜 suc N
18 1 finxpreclem6 suc N ω 1 𝑜 suc N U ↑↑ suc N V × U
19 3 17 18 syl2anc N ω 1 𝑜 N U ↑↑ suc N V × U
20 19 sselda N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N y V × U
21 2 ad2antrr N ω 1 𝑜 N y V × U suc N ω
22 df-2o 2 𝑜 = suc 1 𝑜
23 ordsucsssuc Ord 1 𝑜 Ord N 1 𝑜 N suc 1 𝑜 suc N
24 5 6 23 sylancr N ω 1 𝑜 N suc 1 𝑜 suc N
25 24 biimpa N ω 1 𝑜 N suc 1 𝑜 suc N
26 22 25 eqsstrid N ω 1 𝑜 N 2 𝑜 suc N
27 26 adantr N ω 1 𝑜 N y V × U 2 𝑜 suc N
28 simpr N ω 1 𝑜 N y V × U y V × U
29 1 finxpreclem4 suc N ω 2 𝑜 suc N y V × U rec F suc N y suc N = rec F suc N 1 st y suc N
30 21 27 28 29 syl21anc N ω 1 𝑜 N y V × U rec F suc N y suc N = rec F suc N 1 st y suc N
31 ordunisuc Ord N suc N = N
32 6 31 syl N ω suc N = N
33 opeq1 suc N = N suc N 1 st y = N 1 st y
34 rdgeq2 suc N 1 st y = N 1 st y rec F suc N 1 st y = rec F N 1 st y
35 33 34 syl suc N = N rec F suc N 1 st y = rec F N 1 st y
36 32 35 syl N ω rec F suc N 1 st y = rec F N 1 st y
37 36 32 fveq12d N ω rec F suc N 1 st y suc N = rec F N 1 st y N
38 37 ad2antrr N ω 1 𝑜 N y V × U rec F suc N 1 st y suc N = rec F N 1 st y N
39 30 38 eqtrd N ω 1 𝑜 N y V × U rec F suc N y suc N = rec F N 1 st y N
40 39 eqeq2d N ω 1 𝑜 N y V × U = rec F suc N y suc N = rec F N 1 st y N
41 1 dffinxpf U ↑↑ suc N = y | suc N ω = rec F suc N y suc N
42 41 abeq2i y U ↑↑ suc N suc N ω = rec F suc N y suc N
43 2 biantrurd N ω = rec F suc N y suc N suc N ω = rec F suc N y suc N
44 42 43 bitr4id N ω y U ↑↑ suc N = rec F suc N y suc N
45 44 ad2antrr N ω 1 𝑜 N y V × U y U ↑↑ suc N = rec F suc N y suc N
46 fvex 1 st y V
47 opeq2 z = 1 st y N z = N 1 st y
48 rdgeq2 N z = N 1 st y rec F N z = rec F N 1 st y
49 47 48 syl z = 1 st y rec F N z = rec F N 1 st y
50 49 fveq1d z = 1 st y rec F N z N = rec F N 1 st y N
51 50 eqeq2d z = 1 st y = rec F N z N = rec F N 1 st y N
52 51 anbi2d z = 1 st y N ω = rec F N z N N ω = rec F N 1 st y N
53 1 dffinxpf U ↑↑ N = z | N ω = rec F N z N
54 46 52 53 elab2 1 st y U ↑↑ N N ω = rec F N 1 st y N
55 54 baib N ω 1 st y U ↑↑ N = rec F N 1 st y N
56 55 ad2antrr N ω 1 𝑜 N y V × U 1 st y U ↑↑ N = rec F N 1 st y N
57 40 45 56 3bitr4d N ω 1 𝑜 N y V × U y U ↑↑ suc N 1 st y U ↑↑ N
58 57 biimpd N ω 1 𝑜 N y V × U y U ↑↑ suc N 1 st y U ↑↑ N
59 58 impancom N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N y V × U 1 st y U ↑↑ N
60 20 59 mpd N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N 1 st y U ↑↑ N
61 60 ex N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N 1 st y U ↑↑ N
62 20 ex N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N y V × U
63 61 62 jcad N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N 1 st y U ↑↑ N y V × U
64 57 exbiri N ω 1 𝑜 N y V × U 1 st y U ↑↑ N y U ↑↑ suc N
65 64 impd N ω 1 𝑜 N y V × U 1 st y U ↑↑ N y U ↑↑ suc N
66 65 ancomsd N ω 1 𝑜 N 1 st y U ↑↑ N y V × U y U ↑↑ suc N
67 63 66 impbid N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N 1 st y U ↑↑ N y V × U
68 elxp8 y U ↑↑ N × U 1 st y U ↑↑ N y V × U
69 67 68 bitr4di N ω 1 𝑜 N y U ↑↑ suc N y U ↑↑ N × U
70 69 eqrdv N ω 1 𝑜 N U ↑↑ suc N = U ↑↑ N × U