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Theorem hofcllem

Description: Lemma for hofcl . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2017)

Ref Expression
Hypotheses hofcl.m M = Hom F C
hofcl.o O = oppCat C
hofcl.d D = SetCat U
hofcl.c φ C Cat
hofcl.u φ U V
hofcl.h φ ran Hom 𝑓 C U
hofcllem.b B = Base C
hofcllem.h H = Hom C
hofcllem.x φ X B
hofcllem.y φ Y B
hofcllem.z φ Z B
hofcllem.w φ W B
hofcllem.s φ S B
hofcllem.t φ T B
hofcllem.m φ K Z H X
hofcllem.n φ L Y H W
hofcllem.p φ P S H Z
hofcllem.q φ Q W H T
Assertion hofcllem φ K S Z comp C X P X Y 2 nd M S T Q Y W comp C T L = P Z W 2 nd M S T Q X H Y Z H W comp D S H T K X Y 2 nd M Z W L

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hofcl.m M = Hom F C
2 hofcl.o O = oppCat C
3 hofcl.d D = SetCat U
4 hofcl.c φ C Cat
5 hofcl.u φ U V
6 hofcl.h φ ran Hom 𝑓 C U
7 hofcllem.b B = Base C
8 hofcllem.h H = Hom C
9 hofcllem.x φ X B
10 hofcllem.y φ Y B
11 hofcllem.z φ Z B
12 hofcllem.w φ W B
13 hofcllem.s φ S B
14 hofcllem.t φ T B
15 hofcllem.m φ K Z H X
16 hofcllem.n φ L Y H W
17 hofcllem.p φ P S H Z
18 hofcllem.q φ Q W H T
19 eqid comp C = comp C
20 4 adantr φ f X H Y C Cat
21 13 adantr φ f X H Y S B
22 11 adantr φ f X H Y Z B
23 9 adantr φ f X H Y X B
24 17 adantr φ f X H Y P S H Z
25 15 adantr φ f X H Y K Z H X
26 14 adantr φ f X H Y T B
27 10 adantr φ f X H Y Y B
28 simpr φ f X H Y f X H Y
29 7 8 19 4 10 12 14 16 18 catcocl φ Q Y W comp C T L Y H T
30 29 adantr φ f X H Y Q Y W comp C T L Y H T
31 7 8 19 20 23 27 26 28 30 catcocl φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f X H T
32 7 8 19 20 21 22 23 24 25 26 31 catass φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f Z X comp C T K S Z comp C T P = Q Y W comp C T L X Y comp C T f S X comp C T K S Z comp C X P
33 12 adantr φ f X H Y W B
34 16 adantr φ f X H Y L Y H W
35 18 adantr φ f X H Y Q W H T
36 7 8 19 20 23 27 33 28 34 26 35 catass φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f = Q X W comp C T L X Y comp C W f
37 36 oveq1d φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f Z X comp C T K = Q X W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C T K
38 7 8 19 20 23 27 33 28 34 catcocl φ f X H Y L X Y comp C W f X H W
39 7 8 19 20 22 23 33 25 38 26 35 catass φ f X H Y Q X W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C T K = Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K
40 37 39 eqtrd φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f Z X comp C T K = Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K
41 40 oveq1d φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f Z X comp C T K S Z comp C T P = Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K S Z comp C T P
42 32 41 eqtr3d φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f S X comp C T K S Z comp C X P = Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K S Z comp C T P
43 42 mpteq2dva φ f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f S X comp C T K S Z comp C X P = f X H Y Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K S Z comp C T P
44 7 8 19 4 13 11 9 17 15 catcocl φ K S Z comp C X P S H X
45 1 4 7 8 9 10 13 14 19 44 29 hof2val φ K S Z comp C X P X Y 2 nd M S T Q Y W comp C T L = f X H Y Q Y W comp C T L X Y comp C T f S X comp C T K S Z comp C X P
46 1 4 7 8 11 12 13 14 19 17 18 hof2val φ P Z W 2 nd M S T Q = g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P
47 1 4 7 8 9 10 11 12 19 15 16 hof2val φ K X Y 2 nd M Z W L = f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K
48 46 47 oveq12d φ P Z W 2 nd M S T Q X H Y Z H W comp D S H T K X Y 2 nd M Z W L = g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P X H Y Z H W comp D S H T f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K
49 eqid comp D = comp D
50 eqid Hom 𝑓 C = Hom 𝑓 C
51 50 7 8 9 10 homfval φ X Hom 𝑓 C Y = X H Y
52 50 7 homffn Hom 𝑓 C Fn B × B
53 52 a1i φ Hom 𝑓 C Fn B × B
54 df-f Hom 𝑓 C : B × B U Hom 𝑓 C Fn B × B ran Hom 𝑓 C U
55 53 6 54 sylanbrc φ Hom 𝑓 C : B × B U
56 55 9 10 fovrnd φ X Hom 𝑓 C Y U
57 51 56 eqeltrrd φ X H Y U
58 50 7 8 11 12 homfval φ Z Hom 𝑓 C W = Z H W
59 55 11 12 fovrnd φ Z Hom 𝑓 C W U
60 58 59 eqeltrrd φ Z H W U
61 50 7 8 13 14 homfval φ S Hom 𝑓 C T = S H T
62 55 13 14 fovrnd φ S Hom 𝑓 C T U
63 61 62 eqeltrrd φ S H T U
64 7 8 19 20 22 23 33 25 38 catcocl φ f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K Z H W
65 64 fmpttd φ f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K : X H Y Z H W
66 4 adantr φ g Z H W C Cat
67 13 adantr φ g Z H W S B
68 11 adantr φ g Z H W Z B
69 14 adantr φ g Z H W T B
70 17 adantr φ g Z H W P S H Z
71 12 adantr φ g Z H W W B
72 simpr φ g Z H W g Z H W
73 18 adantr φ g Z H W Q W H T
74 7 8 19 66 68 71 69 72 73 catcocl φ g Z H W Q Z W comp C T g Z H T
75 7 8 19 66 67 68 69 70 74 catcocl φ g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P S H T
76 75 fmpttd φ g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P : Z H W S H T
77 3 5 49 57 60 63 65 76 setcco φ g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P X H Y Z H W comp D S H T f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K = g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K
78 eqidd φ f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K = f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K
79 eqidd φ g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P = g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P
80 oveq2 g = L X Y comp C W f Z X comp C W K Q Z W comp C T g = Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K
81 80 oveq1d g = L X Y comp C W f Z X comp C W K Q Z W comp C T g S Z comp C T P = Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K S Z comp C T P
82 64 78 79 81 fmptco φ g Z H W Q Z W comp C T g S Z comp C T P f X H Y L X Y comp C W f Z X comp C W K = f X H Y Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K S Z comp C T P
83 48 77 82 3eqtrd φ P Z W 2 nd M S T Q X H Y Z H W comp D S H T K X Y 2 nd M Z W L = f X H Y Q Z W comp C T L X Y comp C W f Z X comp C W K S Z comp C T P
84 43 45 83 3eqtr4d φ K S Z comp C X P X Y 2 nd M S T Q Y W comp C T L = P Z W 2 nd M S T Q X H Y Z H W comp D S H T K X Y 2 nd M Z W L