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Theorem suplem1pr

Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals is a positive real. Part of Proposition 9-3.3 of Gleason p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion suplem1pr A x 𝑷 y A y < 𝑷 x A 𝑷

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrelpr < 𝑷 𝑷 × 𝑷
2 1 brel y < 𝑷 x y 𝑷 x 𝑷
3 2 simpld y < 𝑷 x y 𝑷
4 3 ralimi y A y < 𝑷 x y A y 𝑷
5 dfss3 A 𝑷 y A y 𝑷
6 4 5 sylibr y A y < 𝑷 x A 𝑷
7 6 rexlimivw x 𝑷 y A y < 𝑷 x A 𝑷
8 7 adantl A x 𝑷 y A y < 𝑷 x A 𝑷
9 n0 A z z A
10 ssel A 𝑷 z A z 𝑷
11 prn0 z 𝑷 z
12 0pss z z
13 11 12 sylibr z 𝑷 z
14 elssuni z A z A
15 psssstr z z A A
16 13 14 15 syl2an z 𝑷 z A A
17 16 expcom z A z 𝑷 A
18 10 17 sylcom A 𝑷 z A A
19 18 exlimdv A 𝑷 z z A A
20 9 19 syl5bi A 𝑷 A A
21 prpssnq x 𝑷 x 𝑸
22 21 adantl A 𝑷 x 𝑷 x 𝑸
23 ltprord y 𝑷 x 𝑷 y < 𝑷 x y x
24 pssss y x y x
25 23 24 syl6bi y 𝑷 x 𝑷 y < 𝑷 x y x
26 2 25 mpcom y < 𝑷 x y x
27 26 ralimi y A y < 𝑷 x y A y x
28 unissb A x y A y x
29 27 28 sylibr y A y < 𝑷 x A x
30 sspsstr A x x 𝑸 A 𝑸
31 30 expcom x 𝑸 A x A 𝑸
32 22 29 31 syl2im A 𝑷 x 𝑷 y A y < 𝑷 x A 𝑸
33 32 rexlimdva A 𝑷 x 𝑷 y A y < 𝑷 x A 𝑸
34 20 33 anim12d A 𝑷 A x 𝑷 y A y < 𝑷 x A A 𝑸
35 8 34 mpcom A x 𝑷 y A y < 𝑷 x A A 𝑸
36 prcdnq z 𝑷 x z y < 𝑸 x y z
37 36 ex z 𝑷 x z y < 𝑸 x y z
38 37 com3r y < 𝑸 x z 𝑷 x z y z
39 10 38 sylan9 A 𝑷 y < 𝑸 x z A x z y z
40 39 reximdvai A 𝑷 y < 𝑸 x z A x z z A y z
41 eluni2 x A z A x z
42 eluni2 y A z A y z
43 40 41 42 3imtr4g A 𝑷 y < 𝑸 x x A y A
44 43 ex A 𝑷 y < 𝑸 x x A y A
45 44 com23 A 𝑷 x A y < 𝑸 x y A
46 45 alrimdv A 𝑷 x A y y < 𝑸 x y A
47 eluni x A z x z z A
48 prnmax z 𝑷 x z y z x < 𝑸 y
49 48 ex z 𝑷 x z y z x < 𝑸 y
50 10 49 syl6 A 𝑷 z A x z y z x < 𝑸 y
51 50 com23 A 𝑷 x z z A y z x < 𝑸 y
52 51 imp A 𝑷 x z z A y z x < 𝑸 y
53 ssrexv z A y z x < 𝑸 y y A x < 𝑸 y
54 14 53 syl z A y z x < 𝑸 y y A x < 𝑸 y
55 52 54 sylcom A 𝑷 x z z A y A x < 𝑸 y
56 55 expimpd A 𝑷 x z z A y A x < 𝑸 y
57 56 exlimdv A 𝑷 z x z z A y A x < 𝑸 y
58 47 57 syl5bi A 𝑷 x A y A x < 𝑸 y
59 46 58 jcad A 𝑷 x A y y < 𝑸 x y A y A x < 𝑸 y
60 59 ralrimiv A 𝑷 x A y y < 𝑸 x y A y A x < 𝑸 y
61 8 60 syl A x 𝑷 y A y < 𝑷 x x A y y < 𝑸 x y A y A x < 𝑸 y
62 elnp A 𝑷 A A 𝑸 x A y y < 𝑸 x y A y A x < 𝑸 y
63 35 61 62 sylanbrc A x 𝑷 y A y < 𝑷 x A 𝑷