Theorem angmgmaddcpbl

Description: Addition of angles is compatible with angle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = { 𝑑 ∈ ( 𝑃 ↑m ( 0 ..^ 3 ) ) ∣ ( ( 𝑑 ‘ 0 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑑 ‘ 1 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 2 ) ) }
	angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	angmgmadd.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	angmgmadd.c	⊢ ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 )
	angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	angmgmadd.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	angmgmadd.o	⊢ + = ( 𝑒 ∈ 𝐴 , 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if ( ( 𝑒 ‘ 0 ) ∈ ( ( 𝑒 ‘ 1 ) 𝐿 ( 𝑒 ‘ 2 ) ) , ⟨“ ( 𝑓 ‘ 0 ) ( 𝑓 ‘ 1 ) ( ℩ 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ ( 𝑓 ‘ 2 ) ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑠 ”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑠 ) = ( ( 𝑒 ‘ 1 ) − ( 𝑒 ‘ 0 ) ) ) ) ”⟩ , ⟨“ ( 𝑒 ‘ 0 ) ( 𝑒 ‘ 1 ) ( ℩ 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ ( 𝑒 ‘ 2 ) ( 𝑒 ‘ 1 ) 𝑠 ”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ( ( 𝑒 ‘ 1 ) − 𝑠 ) = ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − ( 𝑓 ‘ 0 ) ) ∧ ( ( ( 𝑒 ‘ 1 ) 𝐿 ( 𝑒 ‘ 2 ) ) ∩ ( 𝑠 𝐼 ( 𝑒 ‘ 0 ) ) ) ≠ ∅ ) ) ”⟩ ) )
	angmgmaddcpbl.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
	angmgmaddcpbl.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴 )
	angmgmaddcpbl.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴 )
	angmgmaddcpbl.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴 )
	angmgmaddcpbl.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐶 )
	angmgmaddcpbl.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∼ 𝐷 )
Assertion	angmgmaddcpbl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = { 𝑑 ∈ ( 𝑃 ↑m ( 0 ..^ 3 ) ) ∣ ( ( 𝑑 ‘ 0 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑑 ‘ 1 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 2 ) ) }
3		angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		angmgmadd.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
5		angmgmadd.c	⊢ ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 )
6		angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
7		angmgmadd.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
8		angmgmadd.o	⊢ + = ( 𝑒 ∈ 𝐴 , 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if ( ( 𝑒 ‘ 0 ) ∈ ( ( 𝑒 ‘ 1 ) 𝐿 ( 𝑒 ‘ 2 ) ) , ⟨“ ( 𝑓 ‘ 0 ) ( 𝑓 ‘ 1 ) ( ℩ 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ ( 𝑓 ‘ 2 ) ( 𝑓 ‘ 1 ) 𝑠 ”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑠 ) = ( ( 𝑒 ‘ 1 ) − ( 𝑒 ‘ 0 ) ) ) ) ”⟩ , ⟨“ ( 𝑒 ‘ 0 ) ( 𝑒 ‘ 1 ) ( ℩ 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ ( 𝑒 ‘ 2 ) ( 𝑒 ‘ 1 ) 𝑠 ”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ( ( 𝑒 ‘ 1 ) − 𝑠 ) = ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − ( 𝑓 ‘ 0 ) ) ∧ ( ( ( 𝑒 ‘ 1 ) 𝐿 ( 𝑒 ‘ 2 ) ) ∩ ( 𝑠 𝐼 ( 𝑒 ‘ 0 ) ) ) ≠ ∅ ) ) ”⟩ ) )
9		angmgmaddcpbl.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
10		angmgmaddcpbl.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴 )
11		angmgmaddcpbl.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐴 )
12		angmgmaddcpbl.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴 )
13		angmgmaddcpbl.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐶 )
14		angmgmaddcpbl.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∼ 𝐷 )
15		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) → 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
16	15	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
17		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
18	16 17	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) = ( ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ + ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) )
19	7	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
20	19	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
21	20	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
22	21	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
23	22	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
24		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑃 )
25	24	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑃 )
26		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑃 )
27	26	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑃 )
28		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑃 )
29	28	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑃 )
30		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
31	30	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
32	31	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
33		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
34	33	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
35	34	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
36	35	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
37		simp-11r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
38	37	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
39		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑢 ≠ 𝑣 )
40	39	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑢 ≠ 𝑣 )
41		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑣 ≠ 𝑤 )
42	41	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑣 ≠ 𝑤 )
43		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 )
44	43	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 )
45		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
46	45	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
47		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
48	47	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
49		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑡 ∈ 𝑃 )
50		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
51		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) )
52	1 2 3 4 5 6 23 25 27 29 32 36 38 40 42 44 46 8 48 49 50 51	angmgmaddov2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ( ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ + ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑡 ”⟩ )
53	18 52	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑡 ”⟩ )
54	23	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
55	29	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑃 )
56		simp-10r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑘 ∈ 𝑃 )
57	56	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑘 ∈ 𝑃 )
58	57	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑘 ∈ 𝑃 )
59		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
60	59	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
61	60	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
62	61	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
63		simp-11r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑗 ∈ 𝑃 )
64	63	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑗 ∈ 𝑃 )
65	64	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑗 ∈ 𝑃 )
66		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ℎ ∈ 𝑃 )
67	25	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑃 )
68	27	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑃 )
69	49	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑡 ∈ 𝑃 )
70	42	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑣 ≠ 𝑤 )
71		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑗 ≠ 𝑘 )
72	71	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑗 ≠ 𝑘 )
73	72	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑗 ≠ 𝑘 )
74	32	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
75	36	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
76	38	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
77		eqid	⊢ ( hlG ‘ 𝐺 ) = ( hlG ‘ 𝐺 )
78	5	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 ) )
79	50	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
80	78 79	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
81	1 3 54 77 55 68 69 74 75 76 80	cgracom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ )
82	1 3 6 22 31 35 37 43 47 45	lnrot2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐿 𝑦 ) )
83	82	orcd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐿 𝑦 ) ∨ 𝑥 = 𝑦 ) )
84	83	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐿 𝑦 ) ∨ 𝑥 = 𝑦 ) )
85	1 3 4 54 74 75 76 55 68 69 81 6 84	cgracol	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑤 𝐿 𝑣 ) ∨ 𝑤 = 𝑣 ) )
86	70	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑤 ≠ 𝑣 )
87	86	neneqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ¬ 𝑤 = 𝑣 )
88	85 87	olcnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝑤 𝐿 𝑣 ) )
89	1 3 6 54 68 55 69 70 88	lncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝑣 𝐿 𝑤 ) )
90	1 4 3 54 67 69	tgbtwntriv2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝑢 𝐼 𝑡 ) )
91	89 90	elind	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑣 𝐿 𝑤 ) ∩ ( 𝑢 𝐼 𝑡 ) ) )
92	91	ne0d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( ( 𝑣 𝐿 𝑤 ) ∩ ( 𝑢 𝐼 𝑡 ) ) ≠ ∅ )
93		simp-11r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
94	93	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
95	94	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
96	95	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
97		simp-10r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
98	97	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
99	98	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
100	99	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
101		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
102	101	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
103	102	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
104	103	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
105		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
106	78 105	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
107	1 3 54 77 58 65 66 96 100 104 106	cgracom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ )
108	94	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
109	98	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
110	102	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
111	5	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 ) )
112		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
113	13	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) → 𝐸 ∼ 𝐶 )
114	113	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) → 𝐸 ∼ 𝐶 )
115	114	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ∼ 𝐶 )
116		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) → 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
117	116	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
118	115 117	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
119	112 118	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
120	111 119	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
121	120	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
122	1 3 4 22 31 35 37 108 109 110 121 6 83	cgracol	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∨ 𝑎 = 𝑏 ) )
123	122	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∨ 𝑎 = 𝑏 ) )
124	1 3 4 54 96 100 104 58 65 66 107 6 123	cgracol	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( ℎ ∈ ( 𝑘 𝐿 𝑗 ) ∨ 𝑘 = 𝑗 ) )
125	73	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑘 ≠ 𝑗 )
126	125	neneqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ¬ 𝑘 = 𝑗 )
127	124 126	olcnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ℎ ∈ ( 𝑘 𝐿 𝑗 ) )
128	1 3 6 54 65 58 66 73 127	lncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ℎ ∈ ( 𝑗 𝐿 𝑘 ) )
129	1 4 3 54 62 66	tgbtwntriv2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ℎ ∈ ( 𝑖 𝐼 ℎ ) )
130	128 129	elind	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ℎ ∈ ( ( 𝑗 𝐿 𝑘 ) ∩ ( 𝑖 𝐼 ℎ ) ) )
131	130	ne0d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( ( 𝑗 𝐿 𝑘 ) ∩ ( 𝑖 𝐼 ℎ ) ) ≠ ∅ )
132	17	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
133	14	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
134	133	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
135	134	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
136	135	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
137	136	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
138	132 137	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∼ 𝐷 )
139		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
140	139	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
141	140	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
142	138 141	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
143	5	eqcomi	⊢ ( cgrA ‘ 𝐺 ) = ∼
144	143	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( cgrA ‘ 𝐺 ) = ∼ )
145	121	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
146	1 3 54 77 74 75 76 96 100 104 145	cgracom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
147	1 3 54 77 58 65 66 96 100 104 106 74 75 76 146	cgratr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
148	1 3 54 77 58 65 66 74 75 76 147	cgracom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ )
149	1 3 54 77 55 68 69 74 75 76 80 58 65 66 148	cgratr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ )
150	144 149	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ )
151	1 3 6 5 54 55 58 62 65 66 67 68 69 70 73 92 131 142 150	tgaaddcpbl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 ℎ ”⟩ )
152	117	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
153	152	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
154	153 141	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( 𝐶 + 𝐷 ) = ( ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ + ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) )
155		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑖 ≠ 𝑗 )
156	155	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑖 ≠ 𝑗 )
157	156	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑖 ≠ 𝑗 )
158		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
159	158	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
160	159	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
161	160	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
162		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
163	162	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
164	163	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
165	164	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
166	163	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
167	159	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
168	167	neneqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
169	122 168	olcnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) )
170	1 3 6 22 109 110 108 166 169 167	lnrot1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) )
171	170	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) )
172	171	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) )
173		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
174	1 2 3 4 5 6 54 62 65 58 96 100 104 157 73 161 165 8 172 66 105 173	angmgmaddov2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ + ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) = ⟨“ 𝑖 𝑗 ℎ ”⟩ )
175	154 174	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ( 𝐶 + 𝐷 ) = ⟨“ 𝑖 𝑗 ℎ ”⟩ )
176	151 175	breqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
177	176	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
178	1 2 3 4 5 6 23 61 64 57 95 99 103 156 72 160 164 171	angmgmaddov2lem	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ∃! ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
179		reurex	⊢ ( ∃! ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) → ∃ ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
180	178 179	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ∃ ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑘 𝑗 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑗 − ℎ ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
181	177 180	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
182	53 181	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
183	182	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
184	1 2 3 4 5 6 22 24 26 28 31 35 37 39 41 43 45 47	angmgmaddov2lem	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ∃! 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) )
185		reurex	⊢ ( ∃! 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) )
186	184 185	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑤 𝑣 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑣 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) )
187	183 186	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
188	15	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
189		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
190	188 189	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) = ( ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ + ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) )
191	21	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
192	191	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
193		simp-11r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑢 ∈ 𝑃 )
194		simp-10r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑣 ∈ 𝑃 )
195		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑤 ∈ 𝑃 )
196	30	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
197	196	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
198	33	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
199	198	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
200		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
201	200	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
202	201	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
203		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑢 ≠ 𝑣 )
204		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑣 ≠ 𝑤 )
205		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑥 ≠ 𝑦 )
206	205	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑥 ≠ 𝑦 )
207	206	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑥 ≠ 𝑦 )
208		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
209	208	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
210		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
211		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑡 ∈ 𝑃 )
212		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
213		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) )
214		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ )
215	1 2 3 4 5 6 192 193 194 195 197 199 202 203 204 207 209 8 210 211 212 213 214	angmgmaddov1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ( ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ + ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑡 ”⟩ )
216	190 215	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑡 ”⟩ )
217	192	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
218	202	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
219	102	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
220	219	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
221	220	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
222	94	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
223	222	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
224	223	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
225	98	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
226	225	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
227	226	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
228		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ℎ ∈ 𝑃 )
229	197	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
230	199	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
231	211	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑡 ∈ 𝑃 )
232	209	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
233	163	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
234	233	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
235	234	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
236	21	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
237	236	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
238		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) → 𝑡 ∈ 𝑃 )
239	236	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
240	33	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
241	240	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
242	200	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
243	242	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
244		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
245	244	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
246	1 3 6 239 241 243 245	tgelrnln	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∈ ran 𝐿 )
247		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
248	1 6 3 239 246 247	tglnpt	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑙 ∈ 𝑃 )
249	248	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) → 𝑙 ∈ 𝑃 )
250	30	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
251	250	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
252		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) )
253	1 4 3 237 238 249 251 252	tgbtwncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) )
254	236	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
255	250	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
256	248	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) → 𝑙 ∈ 𝑃 )
257		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) → 𝑡 ∈ 𝑃 )
258		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) )
259	1 4 3 254 255 256 257 258	tgbtwncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) )
260	253 259	impbida	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ( 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ↔ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) )
261	260	pm5.32da	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) → ( ( 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ) )
262		elin	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) )
263		elin	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) )
264	262 263	bibi12i	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ↔ 𝑙 ∈ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ) ↔ ( ( 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ) )
265	261 264	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) → ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ↔ 𝑙 ∈ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ) )
266	265	eqrdv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) → ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) = ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) )
267	266	neeq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) → ( ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ↔ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ≠ ∅ ) )
268	267	biimpa	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ≠ ∅ )
269	268	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑥 𝐼 𝑡 ) ) ≠ ∅ )
270	192	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
271		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) → ℎ ∈ 𝑃 )
272	192	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
273	226	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
274	220	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
275	234	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → 𝑏 ≠ 𝑐 )
276	1 3 6 272 273 274 275	tgelrnln	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∈ ran 𝐿 )
277		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) )
278	1 6 3 272 276 277	tglnpt	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → 𝑙 ∈ 𝑃 )
279	278	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) → 𝑙 ∈ 𝑃 )
280	223	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
281		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) → 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) )
282	1 4 3 270 271 279 280 281	tgbtwncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) )
283	192	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
284	223	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
285	278	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) → 𝑙 ∈ 𝑃 )
286		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) → ℎ ∈ 𝑃 )
287		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) → 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) )
288	1 4 3 283 284 285 286 287	tgbtwncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) → 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) )
289	282 288	impbida	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ) → ( 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ↔ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) )
290	289	pm5.32da	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) → ( ( 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) ) )
291		elin	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) )
292		elin	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) )
293	291 292	bibi12i	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ↔ 𝑙 ∈ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) ) ↔ ( ( 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∧ 𝑙 ∈ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ↔ ( 𝑙 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∧ 𝑙 ∈ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) ) )
294	290 293	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) → ( 𝑙 ∈ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ↔ 𝑙 ∈ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) ) )
295	294	eqrdv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) → ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) = ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) )
296	295	neeq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) → ( ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ↔ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) ≠ ∅ ) )
297	296	biimpa	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( 𝑎 𝐼 ℎ ) ) ≠ ∅ )
298	188	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ )
299	115	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝐸 ∼ 𝐶 )
300	299	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐸 ∼ 𝐶 )
301	300	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐸 ∼ 𝐶 )
302	298 301	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∼ 𝐶 )
303	117	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
304	303	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
305	302 304	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
306	143	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( cgrA ‘ 𝐺 ) = ∼ )
307	193	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑢 ∈ 𝑃 )
308	194	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑣 ∈ 𝑃 )
309	195	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑤 ∈ 𝑃 )
310	5	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 ) )
311	212	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
312	310 311	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
313	60	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
314	313	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
315	314	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑖 ∈ 𝑃 )
316	63	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑗 ∈ 𝑃 )
317	316	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑗 ∈ 𝑃 )
318	317	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑗 ∈ 𝑃 )
319	56	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑘 ∈ 𝑃 )
320	319	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑘 ∈ 𝑃 )
321	320	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑘 ∈ 𝑃 )
322		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
323	310 322	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
324	189	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
325	135	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
326	325	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
327	326	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐹 ∼ 𝐷 )
328	324 327	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∼ 𝐷 )
329	139	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
330	329	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
331	328 330	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
332	310 331	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ )
333	1 3 217 77 307 308 309 315 318 321 332	cgracom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
334	1 3 217 77 221 227 228 315 318 321 323 307 308 309 333	cgratr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ )
335	1 3 217 77 221 227 228 307 308 309 334	cgracom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ )
336	1 3 217 77 218 230 231 307 308 309 312 221 227 228 335	cgratr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ )
337	306 336	breqdi	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ )
338	1 3 6 5 217 218 221 224 227 228 229 230 231 232 235 269 297 305 337	tgaaddcpbl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑎 𝑏 ℎ ”⟩ )
339	304 330	oveq12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝐶 + 𝐷 ) = ( ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ + ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) )
340	155	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑖 ≠ 𝑗 )
341	340	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑖 ≠ 𝑗 )
342	341	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑖 ≠ 𝑗 )
343	71	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑗 ≠ 𝑘 )
344	343	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑗 ≠ 𝑘 )
345	344	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑗 ≠ 𝑘 )
346	159	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
347	346	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
348	347	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
349	94	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
350	98	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
351	102	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
352	120	ad8antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ )
353		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
354	244	neneqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ¬ 𝑦 = 𝑧 )
355		ioran	⊢ ( ¬ ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∨ 𝑦 = 𝑧 ) ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧 ) )
356	353 354 355	sylanbrc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ¬ ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∨ 𝑦 = 𝑧 ) )
357	1 6 3 236 240 242 250 356	ncolrot2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐿 𝑦 ) ∨ 𝑥 = 𝑦 ) )
358	1 3 4 236 250 240 242 349 350 351 352 6 357	cgrancol	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ¬ ( 𝑐 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∨ 𝑎 = 𝑏 ) )
359	1 6 3 236 349 350 351 358	ncolrot1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ¬ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∨ 𝑏 = 𝑐 ) )
360	359	orsild	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) → ¬ 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) )
361	360	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ¬ 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) )
362	361	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ¬ 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) )
363		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) )
364		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ )
365	1 2 3 4 5 6 217 315 318 321 224 227 221 342 345 348 235 8 362 228 322 363 364	angmgmaddov1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ + ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) = ⟨“ 𝑎 𝑏 ℎ ”⟩ )
366	339 365	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝐶 + 𝐷 ) = ⟨“ 𝑎 𝑏 ℎ ”⟩ )
367	338 366	breqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
368	367	3anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ∧ ℎ ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
369	1 2 3 4 5 6 192 314 317 320 223 226 220 341 344 347 234 361	angmgmaddov1lem	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ∃! ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) )
370		reurex	⊢ ( ∃! ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) → ∃ ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) )
371	369 370	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ∃ ℎ ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑐 𝑏 ℎ ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑏 − ℎ ) = ( 𝑗 − 𝑖 ) ∧ ( ( 𝑏 𝐿 𝑐 ) ∩ ( ℎ 𝐼 𝑎 ) ) ≠ ∅ ) )
372	368 371	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
373	216 372	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
374	373	3anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
375	21	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
376		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑃 )
377		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑃 )
378		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑃 )
379	30	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
380	34	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
381		simp-11r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
382		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑢 ≠ 𝑣 )
383		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑣 ≠ 𝑤 )
384		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 )
385		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
386		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
387	1 2 3 4 5 6 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386	angmgmaddov1lem	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ∃! 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) )
388		reurex	⊢ ( ∃! 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) )
389	387 388	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑧 𝑦 𝑡 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑦 − 𝑡 ) = ( 𝑣 − 𝑢 ) ∧ ( ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∩ ( 𝑡 𝐼 𝑥 ) ) ≠ ∅ ) )
390	374 389	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
391		exmidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ∨ ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) ) )
392	187 390 391	mpjaodan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
393	392	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ) ∧ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
394	393	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
395	394	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑃 ( 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
396	1	fvexi	⊢ 𝑃 ∈ V
397	396 2 12	elcgrabasi	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ∃ 𝑤 ∈ 𝑃 ( 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ) )
398	397	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ∃ 𝑤 ∈ 𝑃 ( 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ) )
399	398	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ∃ 𝑤 ∈ 𝑃 ( 𝐹 = ⟨“ 𝑢 𝑣 𝑤 ”⟩ ∧ ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤 ) ) )
400	395 399	r19.29vva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
401	400	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ) ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
402	401	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
403	402	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
404	396 2 11	elcgrabasi	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) )
405	404	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) )
406	405	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝐸 = ⟨“ 𝑥 𝑦 𝑧 ”⟩ ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) )
407	403 406	r19.29vva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
408	407	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
409	408	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
410	409	r19.29an	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ 𝑃 ( 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
411	396 2 10	elcgrabasi	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ 𝑃 ∃ 𝑗 ∈ 𝑃 ∃ 𝑘 ∈ 𝑃 ( 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ) )
412	411	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝑃 ∃ 𝑗 ∈ 𝑃 ∃ 𝑘 ∈ 𝑃 ( 𝐷 = ⟨“ 𝑖 𝑗 𝑘 ”⟩ ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑗 ≠ 𝑘 ) ) )
413	410 412	r19.29vva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
414	413	anasss	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ) ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
415	414	anasss	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
416	415	r19.29an	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ) ) → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )
417	396 2 9	elcgrabasi	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑎 ∈ 𝑃 ∃ 𝑏 ∈ 𝑃 ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝐶 = ⟨“ 𝑎 𝑏 𝑐 ”⟩ ∧ ( 𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ) ) )
418	416 417	r19.29vva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 + 𝐹 ) ∼ ( 𝐶 + 𝐷 ) )