| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 2 ↑ 𝑀 ) = if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) ) ) |
| 2 |
1
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 2 ↑ 𝑀 ) = if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) ) ) ) |
| 3 |
|
oveq2 |
⊢ ( 0 = if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + 0 ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) ) ) |
| 4 |
3
|
eqeq2d |
⊢ ( 0 = if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + 0 ) ↔ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) ) ) ) |
| 5 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 6 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
| 7 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 2 ∈ ℕ ) |
| 8 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
| 9 |
7 8
|
nnexpcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
| 10 |
5 9
|
zmodcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 11 |
10
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℂ ) |
| 12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℂ ) |
| 13 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
| 14 |
13
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℕ0 ) |
| 15 |
8 14
|
nn0addcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
| 16 |
7 15
|
nnexpcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℕ ) |
| 17 |
5 16
|
zmodcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 18 |
17
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 20 |
12 19
|
pncan3d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) = ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
| 21 |
18 11
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 23 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → 2 ∈ ℕ ) |
| 24 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
| 25 |
23 24
|
nnexpcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℕ ) |
| 26 |
25
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
| 27 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 2 ∈ ℂ ) |
| 28 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
| 29 |
28
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 2 ≠ 0 ) |
| 30 |
8
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
| 31 |
27 29 30
|
expne0d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ≠ 0 ) |
| 32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ≠ 0 ) |
| 33 |
|
z0even |
⊢ 2 ∥ 0 |
| 34 |
|
id |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 ) |
| 35 |
33 34
|
breqtrrid |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 → 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 36 |
|
bitsval2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 37 |
5
|
zred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
| 38 |
9
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℝ+ ) |
| 39 |
|
moddiffl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 40 |
37 38 39
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 41 |
40
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ∥ ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) ) |
| 42 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
| 43 |
42
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 2 ∈ ℤ ) |
| 44 |
|
moddifz |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
| 45 |
37 38 44
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
| 46 |
5
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
| 47 |
46 11 18
|
nnncan1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) − ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) − ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 49 |
46 11
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 50 |
46 18
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 51 |
9
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
| 52 |
49 50 51 31
|
divsubdird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) − ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) − ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 53 |
48 52
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) − ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 54 |
27 50
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 · ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) · 2 ) ) |
| 55 |
27 51
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 · ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( 2 ↑ 𝑀 ) · 2 ) ) |
| 56 |
27 8
|
expp1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) = ( ( 2 ↑ 𝑀 ) · 2 ) ) |
| 57 |
55 56
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 · ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 58 |
54 57
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 2 · ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 · ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) · 2 ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
| 59 |
50 51 27 31 29
|
divcan5d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 2 · ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 · ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) = ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 60 |
16
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
| 61 |
30
|
peano2zd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 1 ) ∈ ℤ ) |
| 62 |
27 29 61
|
expne0d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ≠ 0 ) |
| 63 |
50 27 60 62
|
div23d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) · 2 ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) · 2 ) ) |
| 64 |
58 59 63
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) · 2 ) ) |
| 65 |
16
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 66 |
|
moddifz |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℤ ) |
| 67 |
37 65 66
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℤ ) |
| 68 |
67 43
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) · 2 ) ∈ ℤ ) |
| 69 |
64 68
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
| 70 |
45 69
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) − ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ∈ ℤ ) |
| 71 |
53 70
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
| 72 |
|
dvdsmul2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ) → 2 ∥ ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) · 2 ) ) |
| 73 |
67 43 72
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 2 ∥ ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) · 2 ) ) |
| 74 |
46 18 11
|
nnncan2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) − ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) = ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) |
| 75 |
74
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) − ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 76 |
49 21 51 31
|
divsubdird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) − ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) − ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 77 |
75 76 64
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) − ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) / ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) · 2 ) ) |
| 78 |
73 77
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 2 ∥ ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) − ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 79 |
|
dvdssub2 |
⊢ ( ( ( 2 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ∧ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) − ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) → ( 2 ∥ ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 80 |
43 45 71 78 79
|
syl31anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ∥ ( ( 𝑁 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 81 |
41 80
|
bitr3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ↔ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 82 |
81
|
notbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 83 |
36 82
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 84 |
83
|
con2bid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 85 |
35 84
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 → ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 86 |
85
|
con2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) → ¬ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 ) ) |
| 87 |
|
df-neg |
⊢ - 1 = ( 0 − 1 ) |
| 88 |
51
|
mulm1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( - 1 · ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = - ( 2 ↑ 𝑀 ) ) |
| 89 |
9
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
| 90 |
89
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℝ ) |
| 91 |
37 38
|
modcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℝ ) |
| 92 |
91
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℝ ) |
| 93 |
37 65
|
modcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 94 |
93 91
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 95 |
|
modlt |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℝ+ ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < ( 2 ↑ 𝑀 ) ) |
| 96 |
37 38 95
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < ( 2 ↑ 𝑀 ) ) |
| 97 |
91 89
|
ltnegd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < ( 2 ↑ 𝑀 ) ↔ - ( 2 ↑ 𝑀 ) < - ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 98 |
96 97
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - ( 2 ↑ 𝑀 ) < - ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 99 |
|
df-neg |
⊢ - ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = ( 0 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 100 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 101 |
|
modge0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
| 102 |
37 65 101
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
| 103 |
100 93 91 102
|
lesub1dd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 0 − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 104 |
99 103
|
eqbrtrid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ≤ ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 105 |
90 92 94 98 104
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - ( 2 ↑ 𝑀 ) < ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 106 |
88 105
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( - 1 · ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 107 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 108 |
107
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - 1 ∈ ℝ ) |
| 109 |
108 94 38
|
ltmuldivd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 1 · ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ↔ - 1 < ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 110 |
106 109
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - 1 < ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 111 |
87 110
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 0 − 1 ) < ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 112 |
|
0zd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℤ ) |
| 113 |
|
zlem1lt |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) → ( 0 ≤ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ ( 0 − 1 ) < ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 114 |
112 71 113
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 0 ≤ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ ( 0 − 1 ) < ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 115 |
111 114
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 116 |
|
elnn0z |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 117 |
71 115 116
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℕ0 ) |
| 118 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
| 119 |
117 118
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
| 120 |
16
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
| 121 |
|
modge0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℝ+ ) → 0 ≤ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 122 |
37 38 121
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 123 |
93 91
|
subge02d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 0 ≤ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ≤ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) ) |
| 124 |
122 123
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ≤ ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ) |
| 125 |
|
modlt |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ∈ ℝ+ ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) < ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 126 |
37 65 125
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) < ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 127 |
94 93 120 124 126
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) < ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) |
| 128 |
127 56
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) < ( ( 2 ↑ 𝑀 ) · 2 ) ) |
| 129 |
7
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 2 ∈ ℝ ) |
| 130 |
94 129 38
|
ltdivmuld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < 2 ↔ ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) < ( ( 2 ↑ 𝑀 ) · 2 ) ) ) |
| 131 |
128 130
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < 2 ) |
| 132 |
|
elfzo2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ( 0 ..^ 2 ) ↔ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 2 ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) < 2 ) ) |
| 133 |
119 43 131 132
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ( 0 ..^ 2 ) ) |
| 134 |
|
fzo0to2pr |
⊢ ( 0 ..^ 2 ) = { 0 , 1 } |
| 135 |
133 134
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ { 0 , 1 } ) |
| 136 |
|
elpri |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ { 0 , 1 } → ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 ∨ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 1 ) ) |
| 137 |
135 136
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 ∨ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 1 ) ) |
| 138 |
137
|
ord |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 1 ) ) |
| 139 |
86 138
|
syld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 1 ) ) |
| 140 |
139
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 1 ) |
| 141 |
22 26 32 140
|
diveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) = ( 2 ↑ 𝑀 ) ) |
| 142 |
141
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 143 |
20 142
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 144 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 145 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ∈ ℂ ) |
| 146 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 147 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
| 148 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ 𝑀 ) ≠ 0 ) |
| 149 |
|
n2dvds1 |
⊢ ¬ 2 ∥ 1 |
| 150 |
|
breq2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 1 → ( 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ↔ 2 ∥ 1 ) ) |
| 151 |
149 150
|
mtbiri |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 1 → ¬ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 152 |
138 151
|
syl6 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 → ¬ 2 ∥ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) ) |
| 153 |
152 83
|
sylibrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 → 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 154 |
153
|
con1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 ) ) |
| 155 |
154
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) / ( 2 ↑ 𝑀 ) ) = 0 ) |
| 156 |
146 147 148 155
|
diveq0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) − ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) = 0 ) |
| 157 |
144 145 156
|
subeq0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 158 |
145
|
addid1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + 0 ) = ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) ) |
| 159 |
157 158
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + 0 ) ) |
| 160 |
2 4 143 159
|
ifbothda |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 mod ( 2 ↑ ( 𝑀 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 mod ( 2 ↑ 𝑀 ) ) + if ( 𝑀 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) , ( 2 ↑ 𝑀 ) , 0 ) ) ) |