| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
dirkertrigeq.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 2 |
|
dirkertrigeq.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
| 3 |
|
dirkertrigeq.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) |
| 4 |
|
dirkertrigeq.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
| 5 |
3
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) ) |
| 6 |
1
|
dirkerval |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 7 |
2 6
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 8 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
| 9 |
2
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
| 10 |
8 9
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
| 11 |
|
peano2cn |
⊢ ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ → ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 12 |
10 11
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 13 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
| 14 |
13
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ ) |
| 15 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
| 16 |
15
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≠ 0 ) |
| 17 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
| 18 |
|
pipos |
⊢ 0 < π |
| 19 |
17 18
|
gt0ne0ii |
⊢ π ≠ 0 |
| 20 |
19
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 ) |
| 21 |
12 8 14 16 20
|
divdiv1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) / π ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) ) |
| 22 |
21
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) / π ) ) |
| 23 |
22
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) / π ) ) |
| 24 |
|
iftrue |
⊢ ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 → if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) ) |
| 25 |
24
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) ) |
| 26 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
| 27 |
26
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
| 28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
| 29 |
|
recn |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ ) |
| 30 |
29
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
| 31 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
| 32 |
31 13
|
mulcli |
⊢ ( 2 · π ) ∈ ℂ |
| 33 |
32
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 2 · π ) ∈ ℂ ) |
| 34 |
31 13 15 19
|
mulne0i |
⊢ ( 2 · π ) ≠ 0 |
| 35 |
34
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 2 · π ) ≠ 0 ) |
| 36 |
28 30 33 35
|
divassd |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑠 ) / ( 2 · π ) ) = ( 𝑘 · ( 𝑠 / ( 2 · π ) ) ) ) |
| 37 |
26
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
| 38 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) |
| 39 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
| 40 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
| 41 |
|
pirp |
⊢ π ∈ ℝ+ |
| 42 |
|
rpmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+ ) → ( 2 · π ) ∈ ℝ+ ) |
| 43 |
40 41 42
|
mp2an |
⊢ ( 2 · π ) ∈ ℝ+ |
| 44 |
|
mod0 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 2 · π ) ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ↔ ( 𝑠 / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) ) |
| 45 |
39 43 44
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ↔ ( 𝑠 / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) ) |
| 46 |
38 45
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( 𝑠 / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) |
| 47 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) |
| 48 |
37 47
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑘 · ( 𝑠 / ( 2 · π ) ) ) ∈ ℤ ) |
| 49 |
36 48
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑠 ) / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) |
| 50 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
| 51 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
| 52 |
50 51
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
| 53 |
|
coseq1 |
⊢ ( ( 𝑘 · 𝑠 ) ∈ ℂ → ( ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 1 ↔ ( ( 𝑘 · 𝑠 ) / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) ) |
| 54 |
52 53
|
syl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 1 ↔ ( ( 𝑘 · 𝑠 ) / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) ) |
| 55 |
54
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 1 ↔ ( ( 𝑘 · 𝑠 ) / ( 2 · π ) ) ∈ ℤ ) ) |
| 56 |
49 55
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 1 ) |
| 57 |
56
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 1 ) |
| 58 |
57
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 1 ) |
| 59 |
58
|
sumeq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) 1 ) |
| 60 |
|
fzfid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
| 61 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 62 |
|
fsumconst |
⊢ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) · 1 ) ) |
| 63 |
60 61 62
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) 1 = ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) · 1 ) ) |
| 64 |
2
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
| 65 |
|
hashfz1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
| 66 |
64 65
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
| 67 |
66
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) · 1 ) = ( 𝑁 · 1 ) ) |
| 68 |
9
|
mulid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 · 1 ) = 𝑁 ) |
| 69 |
67 68
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) · 1 ) = 𝑁 ) |
| 70 |
69
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) · 1 ) = 𝑁 ) |
| 71 |
59 63 70
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 𝑁 ) |
| 72 |
71
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + 𝑁 ) ) |
| 73 |
9
|
div1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 / 1 ) = 𝑁 ) |
| 74 |
73
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 = ( 𝑁 / 1 ) ) |
| 75 |
74
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) + 𝑁 ) = ( ( 1 / 2 ) + ( 𝑁 / 1 ) ) ) |
| 76 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
| 77 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
| 78 |
77
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≠ 0 ) |
| 79 |
76 8 9 76 16 78
|
divadddivd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) + ( 𝑁 / 1 ) ) = ( ( ( 1 · 1 ) + ( 𝑁 · 2 ) ) / ( 2 · 1 ) ) ) |
| 80 |
76 76
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 · 1 ) ∈ ℂ ) |
| 81 |
9 8
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 · 2 ) ∈ ℂ ) |
| 82 |
80 81
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 · 1 ) + ( 𝑁 · 2 ) ) = ( ( 𝑁 · 2 ) + ( 1 · 1 ) ) ) |
| 83 |
9 8
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 · 2 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
| 84 |
76
|
mulid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 ) |
| 85 |
83 84
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 · 2 ) + ( 1 · 1 ) ) = ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) |
| 86 |
82 85
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 · 1 ) + ( 𝑁 · 2 ) ) = ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) |
| 87 |
8
|
mulid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 1 ) = 2 ) |
| 88 |
86 87
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 · 1 ) + ( 𝑁 · 2 ) ) / ( 2 · 1 ) ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) |
| 89 |
75 79 88
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) + 𝑁 ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) |
| 90 |
89
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( 1 / 2 ) + 𝑁 ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) |
| 91 |
72 90
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) ) |
| 92 |
91
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / 2 ) / π ) ) |
| 93 |
23 25 92
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
| 94 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 → if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
| 95 |
94
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
| 96 |
13
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ ) |
| 97 |
19
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0 ) |
| 98 |
29 96 97
|
divcan1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 𝑠 / π ) · π ) = 𝑠 ) |
| 99 |
98
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) |
| 100 |
99
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → 𝑠 = ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) |
| 101 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( 𝑠 mod π ) = 0 ) |
| 102 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
| 103 |
|
mod0 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑠 mod π ) = 0 ↔ ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) ) |
| 104 |
102 41 103
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 𝑠 mod π ) = 0 ↔ ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) ) |
| 105 |
101 104
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) |
| 106 |
105
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) |
| 107 |
|
rpreccl |
⊢ ( π ∈ ℝ+ → ( 1 / π ) ∈ ℝ+ ) |
| 108 |
41 107
|
ax-mp |
⊢ ( 1 / π ) ∈ ℝ+ |
| 109 |
|
moddi |
⊢ ( ( ( 1 / π ) ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( 2 · π ) ∈ ℝ+ ) → ( ( 1 / π ) · ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ) = ( ( ( 1 / π ) · 𝑠 ) mod ( ( 1 / π ) · ( 2 · π ) ) ) ) |
| 110 |
108 43 109
|
mp3an13 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 1 / π ) · ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ) = ( ( ( 1 / π ) · 𝑠 ) mod ( ( 1 / π ) · ( 2 · π ) ) ) ) |
| 111 |
29 96 97
|
divrec2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / π ) = ( ( 1 / π ) · 𝑠 ) ) |
| 112 |
111
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 1 / π ) · 𝑠 ) = ( 𝑠 / π ) ) |
| 113 |
96 97
|
reccld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 1 / π ) ∈ ℂ ) |
| 114 |
32
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · π ) ∈ ℂ ) |
| 115 |
113 114
|
mulcomd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 1 / π ) · ( 2 · π ) ) = ( ( 2 · π ) · ( 1 / π ) ) ) |
| 116 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ ) |
| 117 |
116 96 113
|
mulassd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 2 · π ) · ( 1 / π ) ) = ( 2 · ( π · ( 1 / π ) ) ) ) |
| 118 |
13 19
|
recidi |
⊢ ( π · ( 1 / π ) ) = 1 |
| 119 |
118
|
oveq2i |
⊢ ( 2 · ( π · ( 1 / π ) ) ) = ( 2 · 1 ) |
| 120 |
116
|
mulid1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · 1 ) = 2 ) |
| 121 |
119 120
|
syl5eq |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · ( π · ( 1 / π ) ) ) = 2 ) |
| 122 |
115 117 121
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 1 / π ) · ( 2 · π ) ) = 2 ) |
| 123 |
112 122
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( ( 1 / π ) · 𝑠 ) mod ( ( 1 / π ) · ( 2 · π ) ) ) = ( ( 𝑠 / π ) mod 2 ) ) |
| 124 |
110 123
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 𝑠 / π ) mod 2 ) = ( ( 1 / π ) · ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ) ) |
| 125 |
124
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( 𝑠 / π ) mod 2 ) = ( ( 1 / π ) · ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ) ) |
| 126 |
113
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( 1 / π ) ∈ ℂ ) |
| 127 |
|
id |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ ) |
| 128 |
43
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 2 · π ) ∈ ℝ+ ) |
| 129 |
127 128
|
modcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ∈ ℝ ) |
| 130 |
129
|
recnd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) |
| 131 |
130
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) |
| 132 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 133 |
132 13 77 19
|
divne0i |
⊢ ( 1 / π ) ≠ 0 |
| 134 |
133
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( 1 / π ) ≠ 0 ) |
| 135 |
|
neqne |
⊢ ( ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 → ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ≠ 0 ) |
| 136 |
135
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ≠ 0 ) |
| 137 |
126 131 134 136
|
mulne0d |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( 1 / π ) · ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ) ≠ 0 ) |
| 138 |
125 137
|
eqnetrd |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( 𝑠 / π ) mod 2 ) ≠ 0 ) |
| 139 |
138
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 𝑠 / π ) mod 2 ) ≠ 0 ) |
| 140 |
|
oddfl |
⊢ ( ( ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑠 / π ) mod 2 ) ≠ 0 ) → ( 𝑠 / π ) = ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) ) |
| 141 |
106 139 140
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( 𝑠 / π ) = ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) ) |
| 142 |
141
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 𝑠 / π ) · π ) = ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) |
| 143 |
100 142
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → 𝑠 = ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) |
| 144 |
143
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) |
| 145 |
144
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( cos ‘ ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) ) |
| 146 |
145
|
sumeq2sdv |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) ) |
| 147 |
146
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) ) ) |
| 148 |
147
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) ) / π ) ) |
| 149 |
148
|
adantlll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) ) / π ) ) |
| 150 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
| 151 |
17
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ ) |
| 152 |
127 151 97
|
redivcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / π ) ∈ ℝ ) |
| 153 |
152
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
| 154 |
153
|
flcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
| 155 |
154
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
| 156 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) = ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) |
| 157 |
150 155 156
|
dirkertrigeqlem3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) ) / π ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) / 2 ) ) ) ) ) |
| 158 |
157
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) ) / π ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) / 2 ) ) ) ) ) |
| 159 |
141
|
adantlll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( 𝑠 / π ) = ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) ) |
| 160 |
159
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) = ( 𝑠 / π ) ) |
| 161 |
160
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) = ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) |
| 162 |
161
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) = ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) ) |
| 163 |
162
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) ) ) |
| 164 |
161
|
fvoveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( sin ‘ ( ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) / 2 ) ) = ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) ) |
| 165 |
164
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) ) ) |
| 166 |
163 165
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) ) ) ) |
| 167 |
98
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) = ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
| 168 |
167
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
| 169 |
98
|
fvoveq1d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
| 170 |
169
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
| 171 |
168 170
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
| 172 |
171
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
| 173 |
172
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( 𝑠 / π ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( 𝑠 / π ) · π ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
| 174 |
166 173
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( ( ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( ( 𝑠 / π ) / 2 ) ) ) + 1 ) · π ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
| 175 |
149 158 174
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
| 176 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
| 177 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) |
| 178 |
176 41 103
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( 𝑠 mod π ) = 0 ↔ ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) ) |
| 179 |
177 178
|
mtbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ¬ ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) |
| 180 |
176
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
| 181 |
|
sineq0 |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ → ( ( sin ‘ 𝑠 ) = 0 ↔ ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) ) |
| 182 |
180 181
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( sin ‘ 𝑠 ) = 0 ↔ ( 𝑠 / π ) ∈ ℤ ) ) |
| 183 |
179 182
|
mtbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ¬ ( sin ‘ 𝑠 ) = 0 ) |
| 184 |
183
|
neqned |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( sin ‘ 𝑠 ) ≠ 0 ) |
| 185 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
| 186 |
176 184 185
|
dirkertrigeqlem2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
| 187 |
186
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
| 188 |
187
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod π ) = 0 ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
| 189 |
175 188
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
| 190 |
95 189
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) ∧ ¬ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
| 191 |
93 190
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
| 192 |
191
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
| 193 |
4 192
|
syl5req |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑁 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = 𝐻 ) |
| 194 |
5 7 193
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = 𝐻 ) |