Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dirkeritg.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑥 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
2 |
|
dirkeritg.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
3 |
|
dirkeritg.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝐷 ‘ 𝑁 ) |
4 |
|
dirkeritg.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
5 |
|
dirkeritg.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
6 |
|
dirkeritg.aleb |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
7 |
|
dirkeritg.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝑥 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
8 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) |
9 |
8
|
cbvitgv |
⊢ ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 |
10 |
9
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
11 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
13 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
14 |
13
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
15 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
16 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
17 |
16
|
zred |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
19 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
20 |
18 19
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
recoscld |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
22 |
15 21
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
23 |
14 22
|
readdcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
24 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
25 |
24
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ ) |
26 |
|
pipos |
⊢ 0 < π |
27 |
24 26
|
gt0ne0ii |
⊢ π ≠ 0 |
28 |
27
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0 ) |
29 |
23 25 28
|
redivcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ∈ ℝ ) |
30 |
12 29
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ∈ ℝ ) |
31 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
32 |
31
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
33 |
12 30 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
34 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 mod ( 2 · π ) ) = ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) ) |
35 |
34
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑥 mod ( 2 · π ) ) = 0 ↔ ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 ) ) |
36 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑥 ) = ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
37 |
36
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
38 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑥 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) ) |
39 |
38
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑥 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
40 |
39
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑥 / 2 ) ) ) = ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
41 |
37 40
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑥 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
42 |
35 41
|
ifbieq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → if ( ( 𝑥 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑥 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑥 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
mpteq2i |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑥 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑥 / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
45 |
1 44
|
eqtri |
⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
46 |
45 2 3 31
|
dirkertrigeq |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ) |
47 |
46
|
fveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ‘ 𝑠 ) ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ‘ 𝑠 ) ) |
49 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( 𝑘 · 𝑥 ) = ( 𝑘 · 𝑠 ) ) |
50 |
49
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) |
51 |
50
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) / 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) |
52 |
51
|
sumeq2sdv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) |
53 |
38 52
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( 𝑥 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ) |
54 |
53
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑠 → ( ( ( 𝑥 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
55 |
54
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝑥 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
56 |
7 55
|
eqtri |
⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
57 |
56
|
oveq2i |
⊢ ( ℝ D 𝐺 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ) |
58 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
59 |
58
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
60 |
|
recn |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ ) |
61 |
60
|
halfcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
62 |
16
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
63 |
62
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
64 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
65 |
63 64
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
66 |
65
|
sincld |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
67 |
|
0red |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 0 ∈ ℝ ) |
68 |
|
1red |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 1 ∈ ℝ ) |
69 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
70 |
69
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 0 < 1 ) |
71 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 1 ≤ 𝑘 ) |
72 |
67 68 17 70 71
|
ltletrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 0 < 𝑘 ) |
73 |
72
|
gt0ne0d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ≠ 0 ) |
74 |
73
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ≠ 0 ) |
75 |
66 63 74
|
divcld |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
76 |
15 75
|
fsumcl |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
77 |
61 76
|
addcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
78 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
79 |
78
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ ) |
80 |
77 79 28
|
divcld |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℝ → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ∈ ℂ ) |
81 |
80
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ∈ ℂ ) |
82 |
29
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ∈ ℝ ) |
83 |
77
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
84 |
23
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
85 |
61
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
86 |
13
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
87 |
60
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
88 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℝ ) |
89 |
59
|
dvmptid |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ 1 ) ) |
90 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
91 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
92 |
91
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ≠ 0 ) |
93 |
59 87 88 89 90 92
|
dvmptdivc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 𝑠 / 2 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 1 / 2 ) ) ) |
94 |
76
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
95 |
22
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
96 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
97 |
96
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
98 |
|
reopn |
⊢ ℝ ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
99 |
98
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) |
100 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
101 |
75
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
102 |
101
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
103 |
21
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
104 |
103
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
105 |
104
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
106 |
58
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
107 |
66
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
108 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℂ ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
109 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℂ ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
110 |
108 109
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
111 |
110
|
coscld |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
112 |
108 111
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ ) |
113 |
60 112
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ ) |
114 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
115 |
|
resmpt |
⊢ ( ℝ ⊆ ℂ → ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) |
116 |
114 115
|
mp1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) |
117 |
116
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ↾ ℝ ) ) |
118 |
117
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) = ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ↾ ℝ ) ) ) |
119 |
110
|
sincld |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
120 |
119
|
fmpttd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ ) |
121 |
112
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ∀ 𝑠 ∈ ℂ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ ) |
122 |
|
dmmptg |
⊢ ( ∀ 𝑠 ∈ ℂ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ → dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) = ℂ ) |
123 |
121 122
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) = ℂ ) |
124 |
114 123
|
sseqtrrid |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ℝ ⊆ dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
125 |
|
dvsinax |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℂ → ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
126 |
62 125
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
127 |
126
|
dmeqd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) = dom ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
128 |
124 127
|
sseqtrrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ℝ ⊆ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
129 |
|
dvcnre |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) : ℂ ⟶ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ↾ ℝ ) ) = ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) |
130 |
120 128 129
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ↾ ℝ ) ) = ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) |
131 |
126
|
reseq1d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) ) |
132 |
|
resmpt |
⊢ ( ℝ ⊆ ℂ → ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
133 |
114 132
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) |
134 |
131 133
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ( ℂ D ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ↾ ℝ ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
135 |
118 130 134
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
136 |
106 107 113 135 62 73
|
dvmptdivc |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / 𝑘 ) ) ) |
137 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
138 |
73
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → 𝑘 ≠ 0 ) |
139 |
104 137 138
|
divcan3d |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / 𝑘 ) = ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) |
140 |
139
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑘 · ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / 𝑘 ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) |
141 |
136 140
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) |
142 |
141
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) |
143 |
97 96 59 99 100 102 105 142
|
dvmptfsum |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) |
144 |
59 85 86 93 94 95 143
|
dvmptadd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ) |
145 |
78
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ ) |
146 |
27
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 ) |
147 |
59 83 84 144 145 146
|
dvmptdivc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ) |
148 |
4 5
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
149 |
|
iccntr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
150 |
4 5 149
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
151 |
59 81 82 147 148 97 96 150
|
dvmptres2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ) |
152 |
57 151
|
eqtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐺 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ) |
153 |
152 30
|
fvmpt2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) |
154 |
33 48 153
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑠 ) ) |
155 |
154
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
156 |
|
ioosscn |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ |
157 |
156
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
158 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
159 |
158
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
160 |
|
ssid |
⊢ ℂ ⊆ ℂ |
161 |
160
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ ) |
162 |
157 159 161
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 1 / 2 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
163 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) |
164 |
|
coscn |
⊢ cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
165 |
164
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → cos ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
166 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) |
167 |
166
|
mulc1cncf |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℂ → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
168 |
62 167
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
169 |
165 168
|
cncfmpt1f |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
170 |
156
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
171 |
160
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ℂ ⊆ ℂ ) |
172 |
11 104
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
173 |
163 169 170 171 172
|
cncfmptssg |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
174 |
173
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
175 |
157 100 174
|
fsumcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
176 |
162 175
|
addcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
177 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ π ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ π ) |
178 |
|
cncfmptc |
⊢ ( ( π ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ) → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ π ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
179 |
78 160 160 178
|
mp3an |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ π ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
180 |
179
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ π ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
181 |
|
difssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℂ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ ) |
182 |
|
eldifsn |
⊢ ( π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) ) |
183 |
78 27 182
|
mpbir2an |
⊢ π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) |
184 |
183
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
185 |
177 180 157 181 184
|
cncfmptssg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ π ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ) |
186 |
176 185
|
divcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
187 |
152 186
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐺 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
188 |
|
ioossicc |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) |
189 |
188
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) |
190 |
|
ioombl |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ dom vol |
191 |
190
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ dom vol ) |
192 |
13
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
193 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
194 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
195 |
148
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
196 |
195
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
197 |
194 196
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
198 |
197
|
recoscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
199 |
193 198
|
fsumrecl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
200 |
192 199
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
201 |
24
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → π ∈ ℝ ) |
202 |
27
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → π ≠ 0 ) |
203 |
200 201 202
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ∈ ℝ ) |
204 |
148 114
|
sstrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
205 |
204 159 161
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 1 / 2 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
206 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) |
207 |
169
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
208 |
161 100 207
|
fsumcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
209 |
199
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
210 |
206 208 204 161 209
|
cncfmptssg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
211 |
205 210
|
addcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
212 |
183
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
213 |
204 212 181
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ π ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ) |
214 |
211 213
|
divcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
215 |
|
cniccibl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ∈ 𝐿1 ) |
216 |
4 5 214 215
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ∈ 𝐿1 ) |
217 |
189 191 203 216
|
iblss |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 1 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( cos ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) / π ) ) ∈ 𝐿1 ) |
218 |
152 217
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐺 ) ∈ 𝐿1 ) |
219 |
204 161
|
idcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
220 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
221 |
|
eldifsn |
⊢ ( 2 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
222 |
220 91 221
|
mpbir2an |
⊢ 2 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) |
223 |
222
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
224 |
204 223 181
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 2 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ) |
225 |
219 224
|
divcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
226 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) |
227 |
|
sincn |
⊢ sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) |
228 |
227
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → sin ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
229 |
228 168
|
cncfmpt1f |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
230 |
229
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ℂ ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
231 |
204
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
232 |
160
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ℂ ⊆ ℂ ) |
233 |
62
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
234 |
195
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
235 |
234
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
236 |
233 235
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
237 |
236
|
sincld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
238 |
226 230 231 232 237
|
cncfmptssg |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
239 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0 ) ) |
240 |
62 73 239
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
241 |
240
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
242 |
|
difssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ℂ ∖ { 0 } ) ⊆ ℂ ) |
243 |
231 241 242
|
constcncfg |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) ) |
244 |
238 243
|
divcncf |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
245 |
204 100 244
|
fsumcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
246 |
225 245
|
addcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
247 |
246 213
|
divcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
248 |
56 247
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( ( 𝐴 [,] 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
249 |
4 5 6 187 218 248
|
ftc2 |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( ( ℝ D 𝐺 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) |
250 |
10 155 249
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ∫ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) d 𝑥 = ( ( 𝐺 ‘ 𝐵 ) − ( 𝐺 ‘ 𝐴 ) ) ) |