Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lgsquad2.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ ) |
2 |
|
lgsquad2.2 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀 ) |
3 |
|
lgsquad2.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
lgsquad2.4 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁 ) |
5 |
|
lgsquad2.5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
6 |
|
lgsquad2lem2.f |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ( 𝑚 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
7 |
|
lgsquad2lem2.s |
⊢ ( 𝜓 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑘 ) ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
8 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℕ ) |
10 |
1
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
11 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
12 |
|
gcdcom |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 gcd 2 ) = ( 2 gcd 𝑀 ) ) |
13 |
10 11 12
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 gcd 2 ) = ( 2 gcd 𝑀 ) ) |
14 |
|
2prm |
⊢ 2 ∈ ℙ |
15 |
|
coprm |
⊢ ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ( 2 gcd 𝑀 ) = 1 ) ) |
16 |
14 10 15
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ( 2 gcd 𝑀 ) = 1 ) ) |
17 |
2 16
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 gcd 𝑀 ) = 1 ) |
18 |
13 17
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 gcd 2 ) = 1 ) |
19 |
|
rpmulgcd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑀 gcd 2 ) = 1 ) → ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) |
20 |
1 9 3 18 19
|
syl31anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 𝑀 gcd 𝑁 ) ) |
21 |
20 5
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
22 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( 𝑚 /L 𝑁 ) = ( 1 /L 𝑁 ) ) |
23 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( 𝑁 /L 𝑚 ) = ( 𝑁 /L 1 ) ) |
24 |
22 23
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( ( 1 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 1 ) ) ) |
25 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( 𝑚 − 1 ) = ( 1 − 1 ) ) |
26 |
|
1m1e0 |
⊢ ( 1 − 1 ) = 0 |
27 |
25 26
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( 𝑚 − 1 ) = 0 ) |
28 |
27
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) ) |
29 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
30 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
31 |
29 30
|
div0i |
⊢ ( 0 / 2 ) = 0 |
32 |
28 31
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) = 0 ) |
33 |
32
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
34 |
33
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
35 |
24 34
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ↔ ( ( 1 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 1 ) ) = ( - 1 ↑ ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
36 |
35
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 1 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 1 ) ) = ( - 1 ↑ ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑚 = 1 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 1 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 1 ) ) = ( - 1 ↑ ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
38 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
39 |
38
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ↔ ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) |
40 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( 𝑚 /L 𝑁 ) = ( 𝑥 /L 𝑁 ) ) |
41 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( 𝑁 /L 𝑚 ) = ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) |
42 |
40 41
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) ) |
43 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( 𝑚 − 1 ) = ( 𝑥 − 1 ) ) |
44 |
43
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) = ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) ) |
45 |
44
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
46 |
45
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
47 |
42 46
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
48 |
39 47
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
49 |
48
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑥 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
50 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
51 |
50
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ↔ ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) |
52 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( 𝑚 /L 𝑁 ) = ( 𝑦 /L 𝑁 ) ) |
53 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( 𝑁 /L 𝑚 ) = ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) |
54 |
52 53
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) ) |
55 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( 𝑚 − 1 ) = ( 𝑦 − 1 ) ) |
56 |
55
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) = ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
58 |
57
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
59 |
54 58
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
60 |
51 59
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑦 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
62 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
63 |
62
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ↔ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) |
64 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( 𝑚 /L 𝑁 ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) ) |
65 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( 𝑁 /L 𝑚 ) = ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) |
66 |
64 65
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) ) |
67 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( 𝑚 − 1 ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) ) |
68 |
67
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) = ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) ) |
69 |
68
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
70 |
69
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
71 |
66 70
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
72 |
63 71
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
73 |
72
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑚 = ( 𝑥 · 𝑦 ) → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
74 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
75 |
74
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ↔ ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) |
76 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( 𝑚 /L 𝑁 ) = ( 𝑀 /L 𝑁 ) ) |
77 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( 𝑁 /L 𝑚 ) = ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) |
78 |
76 77
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( ( 𝑀 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) ) |
79 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( 𝑚 − 1 ) = ( 𝑀 − 1 ) ) |
80 |
79
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) = ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) ) |
81 |
80
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) |
82 |
81
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
83 |
78 82
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝑀 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
84 |
75 83
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑀 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
85 |
84
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑀 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
86 |
|
1t1e1 |
⊢ ( 1 · 1 ) = 1 |
87 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
88 |
|
exp0 |
⊢ ( - 1 ∈ ℂ → ( - 1 ↑ 0 ) = 1 ) |
89 |
87 88
|
ax-mp |
⊢ ( - 1 ↑ 0 ) = 1 |
90 |
86 89
|
eqtr4i |
⊢ ( 1 · 1 ) = ( - 1 ↑ 0 ) |
91 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
92 |
91
|
oveq1i |
⊢ ( ( 1 ↑ 2 ) /L 𝑁 ) = ( 1 /L 𝑁 ) |
93 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
94 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
95 |
93 94
|
pm3.2i |
⊢ ( 1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0 ) |
96 |
3
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
97 |
|
1gcd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 1 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
98 |
96 97
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
99 |
|
lgssq |
⊢ ( ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 1 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( ( 1 ↑ 2 ) /L 𝑁 ) = 1 ) |
100 |
95 96 98 99
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 ↑ 2 ) /L 𝑁 ) = 1 ) |
101 |
92 100
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 /L 𝑁 ) = 1 ) |
102 |
91
|
oveq2i |
⊢ ( 𝑁 /L ( 1 ↑ 2 ) ) = ( 𝑁 /L 1 ) |
103 |
|
1nn |
⊢ 1 ∈ ℕ |
104 |
103
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℕ ) |
105 |
|
gcd1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 gcd 1 ) = 1 ) |
106 |
96 105
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 gcd 1 ) = 1 ) |
107 |
|
lgssq2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 gcd 1 ) = 1 ) → ( 𝑁 /L ( 1 ↑ 2 ) ) = 1 ) |
108 |
96 104 106 107
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 /L ( 1 ↑ 2 ) ) = 1 ) |
109 |
102 108
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 /L 1 ) = 1 ) |
110 |
101 109
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 1 ) ) = ( 1 · 1 ) ) |
111 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
112 |
3 111
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
113 |
112
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ ) |
114 |
113
|
halfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
115 |
114
|
mul02d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) = 0 ) |
116 |
115
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 ↑ ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( - 1 ↑ 0 ) ) |
117 |
90 110 116
|
3eqtr4a |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 1 ) ) = ( - 1 ↑ ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
118 |
117
|
a1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 1 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 1 ) ) = ( - 1 ↑ ( 0 · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
119 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 𝑚 ∈ ℙ ) |
120 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℤ ) |
121 |
120
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
122 |
11
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 2 ∈ ℤ ) |
123 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
124 |
123
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
125 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
126 |
11 124 125
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
127 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
128 |
|
dvdsmul1 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 2 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) |
129 |
11 124 128
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 2 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) |
130 |
|
rpdvds |
⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ 2 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → ( 𝑚 gcd 2 ) = 1 ) |
131 |
121 122 126 127 129 130
|
syl32anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( 𝑚 gcd 2 ) = 1 ) |
132 |
|
prmrp |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑚 gcd 2 ) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2 ) ) |
133 |
119 14 132
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( ( 𝑚 gcd 2 ) = 1 ↔ 𝑚 ≠ 2 ) ) |
134 |
131 133
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 𝑚 ≠ 2 ) |
135 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ↔ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ≠ 2 ) ) |
136 |
119 134 135
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 𝑚 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) |
137 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ ) |
138 |
137
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 𝑚 ∈ ℕ ) |
139 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → 2 ∈ ℕ ) |
140 |
|
rpmulgcd |
⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑚 gcd 2 ) = 1 ) → ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 𝑚 gcd 𝑁 ) ) |
141 |
138 139 123 131 140
|
syl31anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( 𝑚 gcd 𝑁 ) ) |
142 |
141 127
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( 𝑚 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
143 |
136 142
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( 𝑚 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ∧ ( 𝑚 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
144 |
143 6
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℙ ∧ ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) ) → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
145 |
144
|
exp32 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℙ → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
146 |
145
|
com12 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℙ → ( 𝜑 → ( ( 𝑚 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑚 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑚 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑚 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
147 |
|
jcab |
⊢ ( ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 → ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
148 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
149 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑥 ∈ ℕ ) |
150 |
148 149
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℕ ) |
151 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
152 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑦 ∈ ℕ ) |
153 |
151 152
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℕ ) |
154 |
150 153
|
nnmulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℕ ) |
155 |
|
n2dvds1 |
⊢ ¬ 2 ∥ 1 |
156 |
96
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
157 |
11 156 128
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → 2 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) |
158 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
159 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
160 |
158 159
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) |
161 |
160
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) |
162 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
163 |
161 162
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
164 |
11 156 125
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
165 |
|
dvdsgcd |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℤ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 2 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ∧ 2 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) → 2 ∥ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
166 |
11 163 164 165
|
mp3an2i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( ( 2 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ∧ 2 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) → 2 ∥ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
167 |
157 166
|
mpan2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 2 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) → 2 ∥ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
168 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
169 |
168
|
breq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 2 ∥ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ↔ 2 ∥ 1 ) ) |
170 |
167 169
|
sylibd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 2 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) → 2 ∥ 1 ) ) |
171 |
155 170
|
mtoi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ¬ 2 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) |
172 |
171
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ¬ 2 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) |
173 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
174 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ¬ 2 ∥ 𝑁 ) |
175 |
|
dvdsmul2 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) |
176 |
11 156 175
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → 𝑁 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) |
177 |
|
rpdvds |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ 𝑁 ∥ ( 2 · 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) |
178 |
163 156 164 168 176 177
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) |
179 |
178
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd 𝑁 ) = 1 ) |
180 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) = ( 𝑥 · 𝑦 ) ) |
181 |
161
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
182 |
181 164
|
gcdcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( ( 2 · 𝑁 ) gcd 𝑥 ) ) |
183 |
164 163
|
gcdcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( ( 2 · 𝑁 ) gcd ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
184 |
183 168
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( ( 2 · 𝑁 ) gcd ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = 1 ) |
185 |
|
dvdsmul1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → 𝑥 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) |
186 |
161 185
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → 𝑥 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) |
187 |
|
rpdvds |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ( ( 2 · 𝑁 ) gcd ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = 1 ∧ 𝑥 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) gcd 𝑥 ) = 1 ) |
188 |
164 181 163 184 186 187
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( ( 2 · 𝑁 ) gcd 𝑥 ) = 1 ) |
189 |
182 188
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
190 |
189
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
191 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
192 |
190 191
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
193 |
161
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
194 |
193 164
|
gcdcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = ( ( 2 · 𝑁 ) gcd 𝑦 ) ) |
195 |
|
dvdsmul2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → 𝑦 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) |
196 |
161 195
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → 𝑦 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) |
197 |
|
rpdvds |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ( ( 2 · 𝑁 ) gcd ( 𝑥 · 𝑦 ) ) = 1 ∧ 𝑦 ∥ ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) gcd 𝑦 ) = 1 ) |
198 |
164 193 163 184 196 197
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( ( 2 · 𝑁 ) gcd 𝑦 ) = 1 ) |
199 |
194 198
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) → ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
200 |
199
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ) |
201 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
202 |
200 201
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
203 |
154 172 173 174 179 150 153 180 192 202
|
lgsquad2lem1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
204 |
203
|
exp32 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
205 |
204
|
com23 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
206 |
205
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
207 |
206
|
a2d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) → ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
208 |
147 207
|
syl5bir |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( 𝜑 → ( ( 𝑥 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑥 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑥 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑥 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ∧ ( 𝜑 → ( ( 𝑦 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑦 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑦 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑦 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) → ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L ( 𝑥 · 𝑦 ) ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( ( 𝑥 · 𝑦 ) − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
209 |
37 49 61 73 85 118 146 208
|
prmind |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝜑 → ( ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑀 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
210 |
1 209
|
mpcom |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 gcd ( 2 · 𝑁 ) ) = 1 → ( ( 𝑀 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) ) |
211 |
21 210
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 /L 𝑁 ) · ( 𝑁 /L 𝑀 ) ) = ( - 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) / 2 ) · ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |