Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sqrlem1.1 |
⊢ 𝑆 = { 𝑥 ∈ ℝ+ ∣ ( 𝑥 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 } |
2 |
|
sqrlem1.2 |
⊢ 𝐵 = sup ( 𝑆 , ℝ , < ) |
3 |
|
sqrlem5.3 |
⊢ 𝑇 = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝑆 ∃ 𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = ( 𝑎 · 𝑏 ) } |
4 |
1 2 3
|
sqrlem6 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐵 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ) |
5 |
1 2
|
sqrlem3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
7 |
1 2
|
sqrlem4 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1 ) ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1 ) ) |
9 |
8
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
10 |
|
rpre |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
12 |
|
rpre |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≤ 1 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
14 |
7 13
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
resqcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐵 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
16 |
11 15
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
18 |
15 11
|
posdifd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ↔ 0 < ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) ) |
19 |
18
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 0 < ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
20 |
17 19
|
elrpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ+ ) |
21 |
|
3rp |
⊢ 3 ∈ ℝ+ |
22 |
|
rpdivcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℝ+ ) |
23 |
20 21 22
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℝ+ ) |
24 |
9 23
|
rpaddcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ ℝ+ ) |
25 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
26 |
25
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
27 |
|
3nn |
⊢ 3 ∈ ℕ |
28 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
29 |
16 27 28
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℂ ) |
32 |
|
binom2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) + ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
33 |
26 31 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) + ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
34 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐵 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
35 |
34
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐵 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
36 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
37 |
25 30
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
38 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ) |
39 |
36 37 38
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ) |
40 |
39
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ∈ ℂ ) |
41 |
30
|
resqcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
42 |
41
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
43 |
35 40 42
|
addassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) + ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐵 ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
44 |
33 43
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐵 ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
45 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
46 |
|
mulass |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℂ ) → ( ( 2 · 𝐵 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) |
47 |
45 26 31 46
|
mp3an2i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · 𝐵 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) |
48 |
47
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 · 𝐵 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) |
49 |
31
|
sqvald |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) |
50 |
48 49
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐵 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) |
51 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
52 |
36 25 51
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 2 · 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
53 |
52
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 2 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
54 |
53 31 31
|
adddird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐵 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) |
55 |
50 54
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) |
56 |
7
|
simprd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → 𝐵 ≤ 1 ) |
57 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → 1 ∈ ℝ ) |
58 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
59 |
58
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → 2 ∈ ℝ+ ) |
60 |
14 57 59
|
lemul2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐵 ≤ 1 ↔ ( 2 · 𝐵 ) ≤ ( 2 · 1 ) ) ) |
61 |
56 60
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 2 · 𝐵 ) ≤ ( 2 · 1 ) ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 2 · 𝐵 ) ≤ ( 2 · 1 ) ) |
63 |
|
2t1e2 |
⊢ ( 2 · 1 ) = 2 |
64 |
62 63
|
breqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 2 · 𝐵 ) ≤ 2 ) |
65 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
66 |
|
1red |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 1 ∈ ℝ ) |
67 |
25
|
sqge0d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 0 ≤ ( 𝐵 ↑ 2 ) ) |
68 |
65 34
|
addge01d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 0 ≤ ( 𝐵 ↑ 2 ) ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐴 + ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) ) |
69 |
67 68
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 𝐴 ≤ ( 𝐴 + ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
70 |
65 34 65
|
lesubaddd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐴 + ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) ) |
71 |
69 70
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 𝐴 ) |
72 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 𝐴 ≤ 1 ) |
73 |
17 65 66 71 72
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 1 ) |
74 |
|
1le3 |
⊢ 1 ≤ 3 |
75 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
76 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
77 |
|
letr |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 3 ) ) |
78 |
75 76 77
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 3 ) ) |
79 |
17 78
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 3 ) ) |
80 |
74 79
|
mpan2i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 1 → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 3 ) ) |
81 |
73 80
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ 3 ) |
82 |
|
3t1e3 |
⊢ ( 3 · 1 ) = 3 |
83 |
81 82
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ ( 3 · 1 ) ) |
84 |
|
3pos |
⊢ 0 < 3 |
85 |
|
ledivmul |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ( 3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3 ) ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ ( 3 · 1 ) ) ) |
86 |
75 85
|
mp3an2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3 ) ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ ( 3 · 1 ) ) ) |
87 |
76 84 86
|
mpanr12 |
⊢ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ ( 3 · 1 ) ) ) |
88 |
17 87
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ≤ ( 3 · 1 ) ) ) |
89 |
83 88
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ) |
90 |
|
le2add |
⊢ ( ( ( ( 2 · 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 2 · 𝐵 ) ≤ 2 ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ) → ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ ( 2 + 1 ) ) ) |
91 |
36 75 90
|
mpanr12 |
⊢ ( ( ( 2 · 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 2 · 𝐵 ) ≤ 2 ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ) → ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ ( 2 + 1 ) ) ) |
92 |
52 30 91
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 2 · 𝐵 ) ≤ 2 ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ≤ 1 ) → ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ ( 2 + 1 ) ) ) |
93 |
64 89 92
|
mp2and |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ ( 2 + 1 ) ) |
94 |
|
df-3 |
⊢ 3 = ( 2 + 1 ) |
95 |
93 94
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 3 ) |
96 |
52 30
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
97 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 3 ∈ ℝ ) |
98 |
96 97 23
|
lemul1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 3 ↔ ( ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ ( 3 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) |
99 |
95 98
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ ( 3 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) |
100 |
17
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
101 |
|
3cn |
⊢ 3 ∈ ℂ |
102 |
|
3ne0 |
⊢ 3 ≠ 0 |
103 |
|
divcan2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) → ( 3 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
104 |
101 102 103
|
mp3an23 |
⊢ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ → ( 3 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
105 |
100 104
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 3 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
106 |
99 105
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 2 · 𝐵 ) + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
107 |
55 106
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
108 |
39 41
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
109 |
34 108 65
|
leaddsub2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝐴 ↔ ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ≤ ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) ) |
110 |
107 109
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐵 ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( 𝐵 · ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ≤ 𝐴 ) |
111 |
44 110
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ) |
112 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) → ( 𝑦 ↑ 2 ) = ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) |
113 |
112
|
breq1d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) → ( ( 𝑦 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ↔ ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ) ) |
114 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ↑ 2 ) = ( 𝑦 ↑ 2 ) ) |
115 |
114
|
breq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ↔ ( 𝑦 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ) ) |
116 |
115
|
cbvrabv |
⊢ { 𝑥 ∈ ℝ+ ∣ ( 𝑥 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 } = { 𝑦 ∈ ℝ+ ∣ ( 𝑦 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 } |
117 |
1 116
|
eqtri |
⊢ 𝑆 = { 𝑦 ∈ ℝ+ ∣ ( 𝑦 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 } |
118 |
113 117
|
elrab2 |
⊢ ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ 𝑆 ↔ ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ ℝ+ ∧ ( ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ) ) |
119 |
24 111 118
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ 𝑆 ) |
120 |
|
suprub |
⊢ ( ( ( 𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ) ∧ ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ sup ( 𝑆 , ℝ , < ) ) |
121 |
120 2
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( ( 𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦 ) ∧ ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 𝐵 ) |
122 |
6 119 121
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 𝐵 ) |
123 |
23
|
rpgt0d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → 0 < ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) |
124 |
29 14
|
ltaddposd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 0 < ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↔ 𝐵 < ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) |
125 |
14 29
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
126 |
14 125
|
ltnled |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐵 < ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ↔ ¬ ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 𝐵 ) ) |
127 |
124 126
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 0 < ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ↔ ¬ ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 𝐵 ) ) |
128 |
127
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ 0 < ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) → ¬ ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 𝐵 ) |
129 |
123 128
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) ∧ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) → ¬ ( 𝐵 + ( ( 𝐴 − ( 𝐵 ↑ 2 ) ) / 3 ) ) ≤ 𝐵 ) |
130 |
122 129
|
pm2.65da |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ¬ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) |
131 |
15 11
|
eqleltd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( ( 𝐵 ↑ 2 ) = 𝐴 ↔ ( ( 𝐵 ↑ 2 ) ≤ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐵 ↑ 2 ) < 𝐴 ) ) ) |
132 |
4 130 131
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1 ) → ( 𝐵 ↑ 2 ) = 𝐴 ) |