Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xblss2.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
2 |
|
xblss2.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋 ) |
3 |
|
xblss2.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋 ) |
4 |
|
xblss2.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ* ) |
5 |
|
xblss2.5 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
6 |
|
xblss2.6 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ∈ ℝ ) |
7 |
|
xblss2.7 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ) |
8 |
|
elbl |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) ) ) |
9 |
1 2 4 8
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) ) ) |
10 |
9
|
simprbda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
11 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
12 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝑋 ) |
13 |
|
xmetcl |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ) |
14 |
11 12 10 13
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ) |
16 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ∈ ℝ ) |
17 |
16
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ∈ ℝ* ) |
18 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ ℝ* ) |
19 |
17 18
|
xaddcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ∈ ℝ* ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ∈ ℝ* ) |
21 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
22 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝑋 ) |
23 |
|
xmetcl |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ) |
24 |
11 22 10 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ) |
25 |
17 24
|
xaddcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) ∈ ℝ* ) |
26 |
|
xmettri2 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) ≤ ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) ) |
27 |
11 22 12 10 26
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) ≤ ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) ) |
28 |
9
|
simplbda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) |
29 |
|
xltadd2 |
⊢ ( ( ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) < ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ) ) |
30 |
24 18 16 29
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ↔ ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) < ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ) ) |
31 |
28 30
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) < ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ) |
32 |
14 25 19 27 31
|
xrlelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) < ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ) |
33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) < ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ) |
34 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
35 |
18
|
xnegcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → -𝑒 𝑅 ∈ ℝ* ) |
36 |
34 35
|
xaddcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ∈ ℝ* ) |
37 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ) |
38 |
|
xleadd1a |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) +𝑒 𝑅 ) ) |
39 |
17 36 18 37 38
|
syl31anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) +𝑒 𝑅 ) ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) +𝑒 𝑅 ) ) |
41 |
|
xnpcan |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) +𝑒 𝑅 ) = 𝑆 ) |
42 |
34 41
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) +𝑒 𝑅 ) = 𝑆 ) |
43 |
40 42
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) +𝑒 𝑅 ) ≤ 𝑆 ) |
44 |
15 20 21 33 43
|
xrltletrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) < 𝑆 ) |
45 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) |
46 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ) |
47 |
|
0xr |
⊢ 0 ∈ ℝ* |
48 |
47
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 0 ∈ ℝ* ) |
49 |
|
xmetge0 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ) |
50 |
11 22 12 49
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ) |
51 |
48 17 36 50 37
|
xrletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 0 ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ) |
52 |
|
ge0nemnf |
⊢ ( ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ) → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ≠ -∞ ) |
53 |
36 51 52
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ≠ -∞ ) |
54 |
53
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ≠ -∞ ) |
55 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
56 |
|
xaddmnf1 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ +∞ ) → ( 𝑆 +𝑒 -∞ ) = -∞ ) |
57 |
56
|
ex |
⊢ ( 𝑆 ∈ ℝ* → ( 𝑆 ≠ +∞ → ( 𝑆 +𝑒 -∞ ) = -∞ ) ) |
58 |
55 57
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑆 ≠ +∞ → ( 𝑆 +𝑒 -∞ ) = -∞ ) ) |
59 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → 𝑅 = +∞ ) |
60 |
|
xnegeq |
⊢ ( 𝑅 = +∞ → -𝑒 𝑅 = -𝑒 +∞ ) |
61 |
59 60
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → -𝑒 𝑅 = -𝑒 +∞ ) |
62 |
|
xnegpnf |
⊢ -𝑒 +∞ = -∞ |
63 |
61 62
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → -𝑒 𝑅 = -∞ ) |
64 |
63
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) = ( 𝑆 +𝑒 -∞ ) ) |
65 |
64
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) = -∞ ↔ ( 𝑆 +𝑒 -∞ ) = -∞ ) ) |
66 |
58 65
|
sylibrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑆 ≠ +∞ → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) = -∞ ) ) |
67 |
66
|
necon1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) ≠ -∞ → 𝑆 = +∞ ) ) |
68 |
54 67
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → 𝑆 = +∞ ) |
69 |
68 63
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) = ( +∞ +𝑒 -∞ ) ) |
70 |
|
pnfaddmnf |
⊢ ( +∞ +𝑒 -∞ ) = 0 |
71 |
69 70
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑆 +𝑒 -𝑒 𝑅 ) = 0 ) |
72 |
46 71
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ 0 ) |
73 |
50
|
biantrud |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ 0 ↔ ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ) ) ) |
74 |
|
xrletri3 |
⊢ ( ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) = 0 ↔ ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ) ) ) |
75 |
17 47 74
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) = 0 ↔ ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ) ) ) |
76 |
|
xmeteq0 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
77 |
11 22 12 76
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) = 0 ↔ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
78 |
73 75 77
|
3bitr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
79 |
78
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑄 ) ≤ 0 ↔ 𝑃 = 𝑄 ) ) |
80 |
72 79
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → 𝑃 = 𝑄 ) |
81 |
80
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) = ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) ) |
82 |
59 68
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → 𝑅 = 𝑆 ) |
83 |
45 81 82
|
3brtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) ∧ 𝑅 = +∞ ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) < 𝑆 ) |
84 |
|
xmetge0 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) |
85 |
11 22 10 84
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ) |
86 |
48 24 18 85 28
|
xrlelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 0 < 𝑅 ) |
87 |
48 18 86
|
xrltled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 0 ≤ 𝑅 ) |
88 |
|
ge0nemnf |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅 ) → 𝑅 ≠ -∞ ) |
89 |
18 87 88
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝑅 ≠ -∞ ) |
90 |
18 89
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞ ) ) |
91 |
|
xrnemnf |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ≠ -∞ ) ↔ ( 𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞ ) ) |
92 |
90 91
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∈ ℝ ∨ 𝑅 = +∞ ) ) |
93 |
44 83 92
|
mpjaodan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) < 𝑆 ) |
94 |
|
elbl |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑄 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑆 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) < 𝑆 ) ) ) |
95 |
11 12 34 94
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑄 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑆 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑄 𝐷 𝑥 ) < 𝑆 ) ) ) |
96 |
10 93 95
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑄 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑆 ) ) |
97 |
96
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑄 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑆 ) ) ) |
98 |
97
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ⊆ ( 𝑄 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑆 ) ) |