Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clwlkclwwlklem2.f |
|- F = ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) |-> if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) ) |
2 |
|
simpl |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) |
3 |
|
f1f1orn |
|- ( E : dom E -1-1-> R -> E : dom E -1-1-onto-> ran E ) |
4 |
3
|
3ad2ant1 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E : dom E -1-1-onto-> ran E ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> E : dom E -1-1-onto-> ran E ) |
6 |
5
|
ad2antrl |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> E : dom E -1-1-onto-> ran E ) |
7 |
|
elfzo0 |
|- ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) |
8 |
|
lencl |
|- ( P e. Word V -> ( # ` P ) e. NN0 ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> x e. NN0 ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ 2 <_ ( # ` P ) ) ) -> x e. NN0 ) |
11 |
|
elnn0z |
|- ( x e. NN0 <-> ( x e. ZZ /\ 0 <_ x ) ) |
12 |
|
0red |
|- ( ( x e. ZZ /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> 0 e. RR ) |
13 |
|
zre |
|- ( x e. ZZ -> x e. RR ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( x e. ZZ /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> x e. RR ) |
15 |
|
nn0re |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. RR ) |
16 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
17 |
16
|
a1i |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> 2 e. RR ) |
18 |
15 17
|
resubcld |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( x e. ZZ /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR ) |
20 |
|
lelttr |
|- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR /\ ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR ) -> ( ( 0 <_ x /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
21 |
12 14 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( x e. ZZ /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ x /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
22 |
|
nn0z |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. ZZ ) |
23 |
|
2z |
|- 2 e. ZZ |
24 |
23
|
a1i |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> 2 e. ZZ ) |
25 |
22 24
|
zsubcld |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ ) |
26 |
25
|
anim1i |
|- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
27 |
|
elnnz |
|- ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN <-> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
28 |
26 27
|
sylibr |
|- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN ) |
29 |
|
nn0cn |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( # ` P ) e. CC ) |
30 |
|
peano2cnm |
|- ( ( # ` P ) e. CC -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. CC ) |
31 |
29 30
|
syl |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. CC ) |
32 |
31
|
subid1d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) = ( ( # ` P ) - 1 ) ) |
33 |
32
|
oveq1d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) = ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) ) |
34 |
|
1cnd |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> 1 e. CC ) |
35 |
29 34 34
|
subsub4d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - ( 1 + 1 ) ) ) |
36 |
|
1p1e2 |
|- ( 1 + 1 ) = 2 |
37 |
36
|
a1i |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 1 + 1 ) = 2 ) |
38 |
37
|
oveq2d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - ( 1 + 1 ) ) = ( ( # ` P ) - 2 ) ) |
39 |
35 38
|
eqtrd |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - 2 ) ) |
40 |
33 39
|
eqtrd |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - 2 ) ) |
41 |
40
|
eleq1d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN ) ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( # ` P ) - 2 ) e. NN ) ) |
43 |
28 42
|
mpbird |
|- ( ( ( # ` P ) e. NN0 /\ 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) |
44 |
43
|
ex |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) |
45 |
44
|
adantl |
|- ( ( x e. ZZ /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( 0 < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) |
46 |
21 45
|
syld |
|- ( ( x e. ZZ /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ x /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) |
47 |
46
|
exp4b |
|- ( x e. ZZ -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 0 <_ x -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) ) ) |
48 |
47
|
com23 |
|- ( x e. ZZ -> ( 0 <_ x -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) ) ) |
49 |
48
|
imp |
|- ( ( x e. ZZ /\ 0 <_ x ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) ) |
50 |
11 49
|
sylbi |
|- ( x e. NN0 -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) ) |
51 |
50
|
imp |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) |
52 |
51
|
com12 |
|- ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) ) |
54 |
53
|
impcom |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ 2 <_ ( # ` P ) ) ) -> ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN ) |
55 |
|
df-2 |
|- 2 = ( 1 + 1 ) |
56 |
55
|
a1i |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> 2 = ( 1 + 1 ) ) |
57 |
56
|
oveq2d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) = ( ( # ` P ) - ( 1 + 1 ) ) ) |
58 |
32
|
eqcomd |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 1 ) = ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) ) |
59 |
58
|
oveq1d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) = ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) |
60 |
57 35 59
|
3eqtr2d |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) = ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) |
61 |
60
|
adantl |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) |
62 |
61
|
breq2d |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) <-> x < ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) |
63 |
62
|
biimpcd |
|- ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> x < ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) |
64 |
63
|
adantr |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> x < ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) |
65 |
64
|
impcom |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ 2 <_ ( # ` P ) ) ) -> x < ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) |
66 |
|
elfzo0 |
|- ( x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) |
67 |
10 54 65 66
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ 2 <_ ( # ` P ) ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) |
68 |
67
|
exp32 |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) |
69 |
68
|
a1d |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) |
70 |
69
|
com24 |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 1 ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) |
71 |
70
|
ex |
|- ( x e. NN0 -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 1 ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) |
72 |
71
|
com25 |
|- ( x e. NN0 -> ( x < ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) |
73 |
72
|
imp |
|- ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) |
74 |
73
|
3adant2 |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) |
75 |
74
|
com14 |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) |
76 |
8 75
|
syl |
|- ( P e. Word V -> ( 2 <_ ( # ` P ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) ) |
77 |
76
|
imp |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) |
78 |
77
|
3adant1 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( x e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) |
79 |
7 78
|
syl7bi |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) |
80 |
79
|
com13 |
|- ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) ) ) |
81 |
80
|
imp31 |
|- ( ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) /\ ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) ) |
82 |
|
fveq2 |
|- ( i = x -> ( P ` i ) = ( P ` x ) ) |
83 |
|
fvoveq1 |
|- ( i = x -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( x + 1 ) ) ) |
84 |
82 83
|
preq12d |
|- ( i = x -> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) |
85 |
84
|
eleq1d |
|- ( i = x -> ( { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) |
86 |
85
|
adantl |
|- ( ( ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) /\ ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) ) /\ i = x ) -> ( { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E <-> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) |
87 |
81 86
|
rspcdv |
|- ( ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) /\ ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) |
88 |
87
|
ex |
|- ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) ) |
89 |
88
|
com13 |
|- ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) ) |
90 |
89
|
ad2antrl |
|- ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) ) |
91 |
90
|
impcom |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) |
92 |
91
|
expdimp |
|- ( ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) ) |
93 |
92
|
impcom |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) |
94 |
|
f1ocnvdm |
|- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) e. dom E ) |
95 |
6 93 94
|
syl2anc |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) e. dom E ) |
96 |
2 95
|
jca |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) e. dom E ) ) |
97 |
96
|
orcd |
|- ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) e. dom E ) \/ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) e. dom E ) ) ) |
98 |
|
simpl |
|- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) |
99 |
5
|
ad2antrl |
|- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> E : dom E -1-1-onto-> ran E ) |
100 |
|
nn0z |
|- ( x e. NN0 -> x e. ZZ ) |
101 |
|
peano2zm |
|- ( ( # ` P ) e. ZZ -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ ) |
102 |
22 101
|
syl |
|- ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ ) |
103 |
100 102
|
anim12i |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x e. ZZ /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ ) ) |
104 |
|
zltlem1 |
|- ( ( x e. ZZ /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 1 ) <-> x <_ ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) ) ) |
105 |
103 104
|
syl |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 1 ) <-> x <_ ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) ) ) |
106 |
39
|
adantl |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) = ( ( # ` P ) - 2 ) ) |
107 |
106
|
breq2d |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x <_ ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) <-> x <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
108 |
107
|
biimpd |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x <_ ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 1 ) -> x <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
109 |
105 108
|
sylbid |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x < ( ( # ` P ) - 1 ) -> x <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
110 |
109
|
impancom |
|- ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> x <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
111 |
110
|
imp |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> x <_ ( ( # ` P ) - 2 ) ) |
112 |
|
nn0re |
|- ( x e. NN0 -> x e. RR ) |
113 |
112
|
adantr |
|- ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> x e. RR ) |
114 |
113 18
|
anim12i |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x e. RR /\ ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR ) ) |
115 |
|
lenlt |
|- ( ( x e. RR /\ ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR ) -> ( x <_ ( ( # ` P ) - 2 ) <-> -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x ) ) |
116 |
114 115
|
syl |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( x <_ ( ( # ` P ) - 2 ) <-> -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x ) ) |
117 |
111 116
|
mpbid |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x ) |
118 |
117
|
anim1i |
|- ( ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x /\ -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) |
119 |
114
|
ancomd |
|- ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR /\ x e. RR ) ) |
120 |
119
|
adantr |
|- ( ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR /\ x e. RR ) ) |
121 |
|
lttri3 |
|- ( ( ( ( # ` P ) - 2 ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) = x <-> ( -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x /\ -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) ) |
122 |
120 121
|
syl |
|- ( ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( ( # ` P ) - 2 ) = x <-> ( -. ( ( # ` P ) - 2 ) < x /\ -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) ) ) |
123 |
118 122
|
mpbird |
|- ( ( ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) /\ ( # ` P ) e. NN0 ) /\ -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) |
124 |
123
|
exp31 |
|- ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) ) ) |
125 |
124
|
com23 |
|- ( ( x e. NN0 /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) ) ) |
126 |
125
|
3adant2 |
|- ( ( x e. NN0 /\ ( ( # ` P ) - 1 ) e. NN /\ x < ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) ) ) |
127 |
7 126
|
sylbi |
|- ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) ) ) |
128 |
127
|
impcom |
|- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( ( # ` P ) e. NN0 -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) ) |
129 |
8 128
|
syl5com |
|- ( P e. Word V -> ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) ) |
130 |
129
|
3ad2ant2 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) ) |
131 |
130
|
imp |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( ( # ` P ) - 2 ) = x ) |
132 |
131
|
fveq2d |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) = ( P ` x ) ) |
133 |
132
|
preq1d |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } = { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) |
134 |
133
|
eleq1d |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E <-> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) |
135 |
134
|
biimpd |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) |
136 |
135
|
exp32 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) |
137 |
136
|
com12 |
|- ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) |
138 |
137
|
com14 |
|- ( { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) |
139 |
138
|
adantl |
|- ( ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) |
140 |
139
|
adantl |
|- ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) |
141 |
140
|
com12 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) ) |
142 |
141
|
imp31 |
|- ( ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) |
143 |
142
|
impcom |
|- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) |
144 |
|
f1ocnvdm |
|- ( ( E : dom E -1-1-onto-> ran E /\ { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) -> ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) e. dom E ) |
145 |
99 143 144
|
syl2anc |
|- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) e. dom E ) |
146 |
98 145
|
jca |
|- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) e. dom E ) ) |
147 |
146
|
olcd |
|- ( ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) ) -> ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) e. dom E ) \/ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) e. dom E ) ) ) |
148 |
97 147
|
pm2.61ian |
|- ( ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) e. dom E ) \/ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) e. dom E ) ) ) |
149 |
|
ifel |
|- ( if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) e. dom E <-> ( ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) e. dom E ) \/ ( -. x < ( ( # ` P ) - 2 ) /\ ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) e. dom E ) ) ) |
150 |
148 149
|
sylibr |
|- ( ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> if ( x < ( ( # ` P ) - 2 ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) , ( `' E ` { ( P ` x ) , ( P ` 0 ) } ) ) e. dom E ) |
151 |
150 1
|
fmptd |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> F : ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) --> dom E ) |
152 |
|
iswrdi |
|- ( F : ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) --> dom E -> F e. Word dom E ) |
153 |
151 152
|
syl |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> F e. Word dom E ) |
154 |
|
wrdf |
|- ( P e. Word V -> P : ( 0 ..^ ( # ` P ) ) --> V ) |
155 |
154
|
adantr |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> P : ( 0 ..^ ( # ` P ) ) --> V ) |
156 |
1
|
clwlkclwwlklem2a2 |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) ) |
157 |
|
fzoval |
|- ( ( # ` P ) e. ZZ -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( 0 ... ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) |
158 |
8 22 157
|
3syl |
|- ( P e. Word V -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( 0 ... ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) |
159 |
|
oveq2 |
|- ( ( ( # ` P ) - 1 ) = ( # ` F ) -> ( 0 ... ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) ) |
160 |
159
|
eqcoms |
|- ( ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( 0 ... ( ( # ` P ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) ) |
161 |
158 160
|
sylan9eq |
|- ( ( P e. Word V /\ ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) ) |
162 |
156 161
|
syldan |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( 0 ..^ ( # ` P ) ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) ) |
163 |
162
|
feq2d |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( P : ( 0 ..^ ( # ` P ) ) --> V <-> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) ) |
164 |
155 163
|
mpbid |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) |
165 |
164
|
3adant1 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) |
166 |
165
|
adantr |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) |
167 |
|
clwlkclwwlklem2a1 |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) ) |
168 |
167
|
3adant1 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) ) |
169 |
168
|
imp |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) |
170 |
156
|
3adant1 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) ) |
171 |
170
|
adantr |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) ) |
172 |
1
|
clwlkclwwlklem2a4 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
173 |
172
|
impl |
|- ( ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) -> ( { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
174 |
173
|
ralimdva |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
175 |
|
oveq2 |
|- ( ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( 0 ..^ ( # ` F ) ) = ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ) |
176 |
175
|
raleqdv |
|- ( ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
177 |
176
|
imbi2d |
|- ( ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) <-> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
178 |
174 177
|
syl5ibr |
|- ( ( # ` F ) = ( ( # ` P ) - 1 ) -> ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) ) |
179 |
171 178
|
mpcom |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
180 |
179
|
adantrr |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( # ` P ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
181 |
169 180
|
mpd |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) |
182 |
153 166 181
|
3jca |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( F e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) |
183 |
1
|
clwlkclwwlklem2a3 |
|- ( ( P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( P ` ( # ` F ) ) = ( lastS ` P ) ) |
184 |
183
|
3adant1 |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( P ` ( # ` F ) ) = ( lastS ` P ) ) |
185 |
184
|
eqcomd |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( lastS ` P ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) |
186 |
185
|
eqeq2d |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( P ` 0 ) = ( lastS ` P ) <-> ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) |
187 |
186
|
biimpcd |
|- ( ( P ` 0 ) = ( lastS ` P ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) |
188 |
187
|
eqcoms |
|- ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) |
189 |
188
|
adantr |
|- ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) |
190 |
189
|
impcom |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) |
191 |
182 190
|
jca |
|- ( ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) ) -> ( ( F e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) |
192 |
191
|
ex |
|- ( ( E : dom E -1-1-> R /\ P e. Word V /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( lastS ` P ) = ( P ` 0 ) /\ ( A. i e. ( 0 ..^ ( ( ( ( # ` P ) - 1 ) - 0 ) - 1 ) ) { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } e. ran E /\ { ( P ` ( ( # ` P ) - 2 ) ) , ( P ` 0 ) } e. ran E ) ) -> ( ( F e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0 ..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) ) |