Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clwlkclwwlklem2.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↦ if ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) , ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) , ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ) ) |
2 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) |
3 |
|
f1f1orn |
⊢ ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ran 𝐸 ) |
4 |
3
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ran 𝐸 ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ran 𝐸 ) |
6 |
5
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ran 𝐸 ) |
7 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) |
8 |
|
lencl |
⊢ ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) |
9 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑥 ∈ ℕ0 ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℕ0 ) |
11 |
|
elnn0z |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ↔ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) ) |
12 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
13 |
|
zre |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
15 |
|
nn0re |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℝ ) |
16 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
17 |
16
|
a1i |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ ) |
18 |
15 17
|
resubcld |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
lelttr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
21 |
12 14 19 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
22 |
|
nn0z |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℤ ) |
23 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
24 |
23
|
a1i |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ ) |
25 |
22 24
|
zsubcld |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℤ ) |
26 |
25
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
27 |
|
elnnz |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
28 |
26 27
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℕ ) |
29 |
|
nn0cn |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℂ ) |
30 |
|
peano2cnm |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℂ → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
31 |
29 30
|
syl |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
32 |
31
|
subid1d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) |
33 |
32
|
oveq1d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) ) |
34 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ ) |
35 |
29 34 34
|
subsub4d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − ( 1 + 1 ) ) ) |
36 |
|
1p1e2 |
⊢ ( 1 + 1 ) = 2 |
37 |
36
|
a1i |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 1 + 1 ) = 2 ) |
38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − ( 1 + 1 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) |
39 |
35 38
|
eqtrd |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) |
40 |
33 39
|
eqtrd |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) |
41 |
40
|
eleq1d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℕ ) ) |
42 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℕ ) ) |
43 |
28 42
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
44 |
43
|
ex |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) |
45 |
44
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 0 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) |
46 |
21 45
|
syld |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) |
47 |
46
|
exp4b |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 0 ≤ 𝑥 → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) ) ) |
48 |
47
|
com23 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → ( 0 ≤ 𝑥 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) ) ) |
49 |
48
|
imp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) ) |
50 |
11 49
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) ) |
51 |
50
|
imp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) |
52 |
51
|
com12 |
⊢ ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) ) |
54 |
53
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
55 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
56 |
55
|
a1i |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 2 = ( 1 + 1 ) ) |
57 |
56
|
oveq2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − ( 1 + 1 ) ) ) |
58 |
32
|
eqcomd |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) ) |
59 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) |
60 |
57 35 59
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) |
61 |
60
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) |
62 |
61
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ↔ 𝑥 < ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) |
63 |
62
|
biimpcd |
⊢ ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑥 < ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) |
64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑥 < ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) |
65 |
64
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑥 < ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) |
66 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) |
67 |
10 54 65 66
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) |
68 |
67
|
exp32 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) |
69 |
68
|
a1d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) |
70 |
69
|
com24 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) |
71 |
70
|
ex |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) ) |
72 |
71
|
com25 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) ) |
73 |
72
|
imp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) |
74 |
73
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) |
75 |
74
|
com14 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) |
76 |
8 75
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) ) |
77 |
76
|
imp |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) |
78 |
77
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) |
79 |
7 78
|
syl7bi |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) |
80 |
79
|
com13 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) ) ) |
81 |
80
|
imp31 |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ∧ ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) ) |
82 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) ) |
83 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) ) |
84 |
82 83
|
preq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } = { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) |
85 |
84
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑥 → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
86 |
85
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ∧ ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑖 = 𝑥 ) → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
87 |
81 86
|
rspcdv |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ∧ ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
88 |
87
|
ex |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) |
89 |
88
|
com13 |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) |
90 |
89
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) |
91 |
90
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
92 |
91
|
expdimp |
⊢ ( ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
93 |
92
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) |
94 |
|
f1ocnvdm |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) → ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ∈ dom 𝐸 ) |
95 |
6 93 94
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ∈ dom 𝐸 ) |
96 |
2 95
|
jca |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ) |
97 |
96
|
orcd |
⊢ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ∨ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ) ) |
98 |
|
simpl |
⊢ ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) |
99 |
5
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ran 𝐸 ) |
100 |
|
nn0z |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ ) |
101 |
|
peano2zm |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℤ → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
102 |
22 101
|
syl |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
103 |
100 102
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℤ ) ) |
104 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ↔ 𝑥 ≤ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) ) ) |
105 |
103 104
|
syl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ↔ 𝑥 ≤ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) ) ) |
106 |
39
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) |
107 |
106
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ≤ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) ↔ 𝑥 ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
108 |
107
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ≤ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 1 ) → 𝑥 ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
109 |
105 108
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → 𝑥 ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
110 |
109
|
impancom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → 𝑥 ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
111 |
110
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑥 ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) |
112 |
|
nn0re |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ ) |
113 |
112
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
114 |
113 18
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ) ) |
115 |
|
lenlt |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑥 ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ↔ ¬ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) < 𝑥 ) ) |
116 |
114 115
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ↔ ¬ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) < 𝑥 ) ) |
117 |
111 116
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ¬ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) < 𝑥 ) |
118 |
117
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ¬ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) |
119 |
114
|
ancomd |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ) |
120 |
119
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ) |
121 |
|
lttri3 |
⊢ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ↔ ( ¬ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) ) |
122 |
120 121
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ↔ ( ¬ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) < 𝑥 ∧ ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) ) ) |
123 |
118 122
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) |
124 |
123
|
exp31 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) ) ) |
125 |
124
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) ) ) |
126 |
125
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) ) ) |
127 |
7 126
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) ) ) |
128 |
127
|
impcom |
⊢ ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℕ0 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) ) |
129 |
8 128
|
syl5com |
⊢ ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) ) |
130 |
129
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) ) |
131 |
130
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) = 𝑥 ) |
132 |
131
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) = ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) ) |
133 |
132
|
preq1d |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } = { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) |
134 |
133
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ↔ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
135 |
134
|
biimpd |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
136 |
135
|
exp32 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ) |
137 |
136
|
com12 |
⊢ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ) |
138 |
137
|
com14 |
⊢ ( { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ) |
139 |
138
|
adantl |
⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ) |
140 |
139
|
adantl |
⊢ ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ) |
141 |
140
|
com12 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ) |
142 |
141
|
imp31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
143 |
142
|
impcom |
⊢ ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) |
144 |
|
f1ocnvdm |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1-onto→ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) → ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ∈ dom 𝐸 ) |
145 |
99 143 144
|
syl2anc |
⊢ ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ∈ dom 𝐸 ) |
146 |
98 145
|
jca |
⊢ ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ) |
147 |
146
|
olcd |
⊢ ( ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ∨ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ) ) |
148 |
97 147
|
pm2.61ian |
⊢ ( ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ∨ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ) ) |
149 |
|
ifel |
⊢ ( if ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) , ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) , ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ) ∈ dom 𝐸 ↔ ( ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ∨ ( ¬ 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ∧ ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ∈ dom 𝐸 ) ) ) |
150 |
148 149
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → if ( 𝑥 < ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) , ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑥 + 1 ) ) } ) , ( ◡ 𝐸 ‘ { ( 𝑃 ‘ 𝑥 ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ) ) ∈ dom 𝐸 ) |
151 |
150 1
|
fmptd |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → 𝐹 : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ⟶ dom 𝐸 ) |
152 |
|
iswrdi |
⊢ ( 𝐹 : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ⟶ dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ) |
153 |
151 152
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ) |
154 |
|
wrdf |
⊢ ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 → 𝑃 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ⟶ 𝑉 ) |
155 |
154
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝑃 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ⟶ 𝑉 ) |
156 |
1
|
clwlkclwwlklem2a2 |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) |
157 |
|
fzoval |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) ∈ ℤ → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) |
158 |
8 22 157
|
3syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) |
159 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) = ( ♯ ‘ 𝐹 ) → ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) = ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
160 |
159
|
eqcoms |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) = ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
161 |
158 160
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) = ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
162 |
156 161
|
syldan |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) = ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
163 |
162
|
feq2d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ⟶ 𝑉 ↔ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⟶ 𝑉 ) ) |
164 |
155 163
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⟶ 𝑉 ) |
165 |
164
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⟶ 𝑉 ) |
166 |
165
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⟶ 𝑉 ) |
167 |
|
clwlkclwwlklem2a1 |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
168 |
167
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) ) |
169 |
168
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ) |
170 |
156
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) |
171 |
170
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) |
172 |
1
|
clwlkclwwlklem2a4 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
173 |
172
|
impl |
⊢ ( ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) → ( { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
174 |
173
|
ralimdva |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
175 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ) |
176 |
175
|
raleqdv |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
177 |
176
|
imbi2d |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
178 |
174 177
|
syl5ibr |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) → ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) ) |
179 |
171 178
|
mpcom |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
180 |
179
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
181 |
169 180
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) |
182 |
153 166 181
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⟶ 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ) |
183 |
1
|
clwlkclwwlklem2a3 |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) = ( lastS ‘ 𝑃 ) ) |
184 |
183
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) = ( lastS ‘ 𝑃 ) ) |
185 |
184
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
186 |
185
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( lastS ‘ 𝑃 ) ↔ ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
187 |
186
|
biimpcd |
⊢ ( ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( lastS ‘ 𝑃 ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
188 |
187
|
eqcoms |
⊢ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
189 |
188
|
adantr |
⊢ ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) → ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
190 |
189
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
191 |
182 190
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) ) → ( ( 𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⟶ 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ∧ ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
192 |
191
|
ex |
⊢ ( ( 𝐸 : dom 𝐸 –1-1→ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( ( lastS ‘ 𝑃 ) = ( 𝑃 ‘ 0 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 1 ) − 0 ) − 1 ) ) { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ ran 𝐸 ∧ { ( 𝑃 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) − 2 ) ) , ( 𝑃 ‘ 0 ) } ∈ ran 𝐸 ) ) → ( ( 𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃 : ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⟶ 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ( 𝐸 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) = { ( 𝑃 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑃 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ) ∧ ( 𝑃 ‘ 0 ) = ( 𝑃 ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) |