Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hbtlem.p |
|- P = ( Poly1 ` R ) |
2 |
|
hbtlem.u |
|- U = ( LIdeal ` P ) |
3 |
|
hbtlem.s |
|- S = ( ldgIdlSeq ` R ) |
4 |
|
hbtlem2.t |
|- T = ( LIdeal ` R ) |
5 |
|
eqid |
|- ( deg1 ` R ) = ( deg1 ` R ) |
6 |
1 2 3 5
|
hbtlem1 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` X ) = { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) |
7 |
|
eqid |
|- ( Base ` P ) = ( Base ` P ) |
8 |
7 2
|
lidlss |
|- ( I e. U -> I C_ ( Base ` P ) ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> I C_ ( Base ` P ) ) |
10 |
9
|
sselda |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> b e. ( Base ` P ) ) |
11 |
|
eqid |
|- ( coe1 ` b ) = ( coe1 ` b ) |
12 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
13 |
11 7 1 12
|
coe1f |
|- ( b e. ( Base ` P ) -> ( coe1 ` b ) : NN0 --> ( Base ` R ) ) |
14 |
10 13
|
syl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> ( coe1 ` b ) : NN0 --> ( Base ` R ) ) |
15 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> X e. NN0 ) |
16 |
14 15
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> ( ( coe1 ` b ) ` X ) e. ( Base ` R ) ) |
17 |
|
eleq1a |
|- ( ( ( coe1 ` b ) ` X ) e. ( Base ` R ) -> ( a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) -> a e. ( Base ` R ) ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> ( a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) -> a e. ( Base ` R ) ) ) |
19 |
18
|
adantld |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ b e. I ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) -> a e. ( Base ` R ) ) ) |
20 |
19
|
rexlimdva |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) -> a e. ( Base ` R ) ) ) |
21 |
20
|
abssdv |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } C_ ( Base ` R ) ) |
22 |
1
|
ply1ring |
|- ( R e. Ring -> P e. Ring ) |
23 |
22
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> P e. Ring ) |
24 |
|
simp2 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> I e. U ) |
25 |
|
eqid |
|- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P ) |
26 |
2 25
|
lidl0cl |
|- ( ( P e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` P ) e. I ) |
27 |
23 24 26
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( 0g ` P ) e. I ) |
28 |
5 1 25
|
deg1z |
|- ( R e. Ring -> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) = -oo ) |
29 |
28
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) = -oo ) |
30 |
|
nn0ssre |
|- NN0 C_ RR |
31 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
32 |
30 31
|
sstri |
|- NN0 C_ RR* |
33 |
|
simp3 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> X e. NN0 ) |
34 |
32 33
|
sseldi |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> X e. RR* ) |
35 |
|
mnfle |
|- ( X e. RR* -> -oo <_ X ) |
36 |
34 35
|
syl |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> -oo <_ X ) |
37 |
29 36
|
eqbrtrd |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X ) |
38 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
39 |
1 25 38
|
coe1z |
|- ( R e. Ring -> ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) = ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ) |
40 |
39
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) = ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ) |
41 |
40
|
fveq1d |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) = ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` X ) ) |
42 |
|
fvex |
|- ( 0g ` R ) e. _V |
43 |
42
|
fvconst2 |
|- ( X e. NN0 -> ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` X ) = ( 0g ` R ) ) |
44 |
43
|
3ad2ant3 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` X ) = ( 0g ` R ) ) |
45 |
41 44
|
eqtr2d |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) |
46 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) ) |
47 |
46
|
breq1d |
|- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X ) ) |
48 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( 0g ` P ) -> ( coe1 ` b ) = ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ) |
49 |
48
|
fveq1d |
|- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( coe1 ` b ) ` X ) = ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) |
50 |
49
|
eqeq2d |
|- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) ) |
51 |
47 50
|
anbi12d |
|- ( b = ( 0g ` P ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) ) ) |
52 |
51
|
rspcev |
|- ( ( ( 0g ` P ) e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` ( 0g ` P ) ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` X ) ) ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
53 |
27 37 45 52
|
syl12anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
54 |
|
eqeq1 |
|- ( a = ( 0g ` R ) -> ( a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
55 |
54
|
anbi2d |
|- ( a = ( 0g ` R ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
56 |
55
|
rexbidv |
|- ( a = ( 0g ` R ) -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
57 |
42 56
|
elab |
|- ( ( 0g ` R ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( 0g ` R ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
58 |
53 57
|
sylibr |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( 0g ` R ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) |
59 |
58
|
ne0d |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } =/= (/) ) |
60 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> P e. Ring ) |
61 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> I e. U ) |
62 |
|
eqid |
|- ( algSc ` P ) = ( algSc ` P ) |
63 |
1 62 12 7
|
ply1sclf |
|- ( R e. Ring -> ( algSc ` P ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` P ) ) |
64 |
63
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( algSc ` P ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` P ) ) |
65 |
64
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( algSc ` P ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` P ) ) |
66 |
|
simprl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> c e. ( Base ` R ) ) |
67 |
65 66
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( algSc ` P ) ` c ) e. ( Base ` P ) ) |
68 |
|
simprll |
|- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> f e. I ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> f e. I ) |
70 |
|
eqid |
|- ( .r ` P ) = ( .r ` P ) |
71 |
2 7 70
|
lidlmcl |
|- ( ( ( P e. Ring /\ I e. U ) /\ ( ( ( algSc ` P ) ` c ) e. ( Base ` P ) /\ f e. I ) ) -> ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. I ) |
72 |
60 61 67 69 71
|
syl22anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. I ) |
73 |
|
simprrl |
|- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> g e. I ) |
74 |
73
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> g e. I ) |
75 |
|
eqid |
|- ( +g ` P ) = ( +g ` P ) |
76 |
2 75
|
lidlacl |
|- ( ( ( P e. Ring /\ I e. U ) /\ ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. I /\ g e. I ) ) -> ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) e. I ) |
77 |
60 61 72 74 76
|
syl22anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) e. I ) |
78 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> R e. Ring ) |
79 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> I C_ ( Base ` P ) ) |
80 |
79 69
|
sseldd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> f e. ( Base ` P ) ) |
81 |
7 70
|
ringcl |
|- ( ( P e. Ring /\ ( ( algSc ` P ) ` c ) e. ( Base ` P ) /\ f e. ( Base ` P ) ) -> ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) ) |
82 |
60 67 80 81
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) ) |
83 |
79 74
|
sseldd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> g e. ( Base ` P ) ) |
84 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> X e. NN0 ) |
85 |
32 84
|
sseldi |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> X e. RR* ) |
86 |
5 1 7
|
deg1xrcl |
|- ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) e. RR* ) |
87 |
82 86
|
syl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) e. RR* ) |
88 |
5 1 7
|
deg1xrcl |
|- ( f e. ( Base ` P ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) e. RR* ) |
89 |
80 88
|
syl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) e. RR* ) |
90 |
5 1 12 7 70 62
|
deg1mul3le |
|- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) /\ f e. ( Base ` P ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) <_ ( ( deg1 ` R ) ` f ) ) |
91 |
78 66 80 90
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) <_ ( ( deg1 ` R ) ` f ) ) |
92 |
|
simprlr |
|- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) |
93 |
92
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) |
94 |
87 89 85 91 93
|
xrletrd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) <_ X ) |
95 |
|
simprrr |
|- ( ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) |
96 |
95
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) |
97 |
1 5 78 7 75 82 83 85 94 96
|
deg1addle2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X ) |
98 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
99 |
1 7 75 98
|
coe1addfv |
|- ( ( ( R e. Ring /\ ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) e. ( Base ` P ) /\ g e. ( Base ` P ) ) /\ X e. NN0 ) -> ( ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) = ( ( ( coe1 ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) |
100 |
78 82 83 84 99
|
syl31anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) = ( ( ( coe1 ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) |
101 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
102 |
1 7 12 62 70 101
|
coe1sclmulfv |
|- ( ( R e. Ring /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ f e. ( Base ` P ) ) /\ X e. NN0 ) -> ( ( coe1 ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) = ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ) |
103 |
78 66 80 84 102
|
syl121anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( coe1 ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) = ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ) |
104 |
103
|
oveq1d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( ( coe1 ` ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ) ` X ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) |
105 |
100 104
|
eqtr2d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) |
106 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ) |
107 |
106
|
breq1d |
|- ( b = ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X ) ) |
108 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( coe1 ` b ) = ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ) |
109 |
108
|
fveq1d |
|- ( b = ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( coe1 ` b ) ` X ) = ( ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) |
110 |
109
|
eqeq2d |
|- ( b = ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) ) |
111 |
107 110
|
anbi12d |
|- ( b = ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) ) ) |
112 |
111
|
rspcev |
|- ( ( ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) e. I /\ ( ( ( deg1 ` R ) ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` ( ( ( ( algSc ` P ) ` c ) ( .r ` P ) f ) ( +g ` P ) g ) ) ` X ) ) ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
113 |
77 97 105 112
|
syl12anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
114 |
|
ovex |
|- ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. _V |
115 |
|
eqeq1 |
|- ( a = ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
116 |
115
|
anbi2d |
|- ( a = ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
117 |
116
|
rexbidv |
|- ( a = ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
118 |
114 117
|
elab |
|- ( ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
119 |
113 118
|
sylibr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) |
120 |
119
|
exp45 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( c e. ( Base ` R ) -> ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) ) ) |
121 |
120
|
imp |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( ( f e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( ( g e. I /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) ) |
122 |
121
|
exp5c |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( f e. I -> ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X -> ( g e. I -> ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) ) ) ) |
123 |
122
|
imp |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) -> ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X -> ( g e. I -> ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) ) ) |
124 |
123
|
imp41 |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ g e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) |
125 |
|
oveq2 |
|- ( e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) = ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) |
126 |
125
|
eleq1d |
|- ( e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) -> ( ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
127 |
124 126
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ g e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) -> ( e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
128 |
127
|
expimpd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) /\ g e. I ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
129 |
128
|
rexlimdva |
|- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
130 |
129
|
alrimiv |
|- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> A. e ( E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
131 |
|
eqeq1 |
|- ( a = e -> ( a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> e = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
132 |
131
|
anbi2d |
|- ( a = e -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
133 |
132
|
rexbidv |
|- ( a = e -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
134 |
|
fveq2 |
|- ( b = g -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` g ) ) |
135 |
134
|
breq1d |
|- ( b = g -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X ) ) |
136 |
|
fveq2 |
|- ( b = g -> ( coe1 ` b ) = ( coe1 ` g ) ) |
137 |
136
|
fveq1d |
|- ( b = g -> ( ( coe1 ` b ) ` X ) = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) |
138 |
137
|
eqeq2d |
|- ( b = g -> ( e = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) |
139 |
135 138
|
anbi12d |
|- ( b = g -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) ) |
140 |
139
|
cbvrexvw |
|- ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) |
141 |
133 140
|
bitrdi |
|- ( a = e -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) ) ) |
142 |
141
|
ralab |
|- ( A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> A. e ( E. g e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` g ) <_ X /\ e = ( ( coe1 ` g ) ` X ) ) -> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
143 |
130 142
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) |
144 |
|
oveq2 |
|- ( d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) -> ( c ( .r ` R ) d ) = ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ) |
145 |
144
|
oveq1d |
|- ( d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) -> ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) = ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) ) |
146 |
145
|
eleq1d |
|- ( d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) -> ( ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
147 |
146
|
ralbidv |
|- ( d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) -> ( A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
148 |
143 147
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) -> ( d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
149 |
148
|
expimpd |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ f e. I ) -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
150 |
149
|
rexlimdva |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
151 |
150
|
alrimiv |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> A. d ( E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
152 |
|
eqeq1 |
|- ( a = d -> ( a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> d = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) |
153 |
152
|
anbi2d |
|- ( a = d -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
154 |
153
|
rexbidv |
|- ( a = d -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) ) ) |
155 |
|
fveq2 |
|- ( b = f -> ( ( deg1 ` R ) ` b ) = ( ( deg1 ` R ) ` f ) ) |
156 |
155
|
breq1d |
|- ( b = f -> ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X <-> ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X ) ) |
157 |
|
fveq2 |
|- ( b = f -> ( coe1 ` b ) = ( coe1 ` f ) ) |
158 |
157
|
fveq1d |
|- ( b = f -> ( ( coe1 ` b ) ` X ) = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) |
159 |
158
|
eqeq2d |
|- ( b = f -> ( d = ( ( coe1 ` b ) ` X ) <-> d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ) |
160 |
156 159
|
anbi12d |
|- ( b = f -> ( ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ) ) |
161 |
160
|
cbvrexvw |
|- ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ) |
162 |
154 161
|
bitrdi |
|- ( a = d -> ( E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) <-> E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) ) ) |
163 |
162
|
ralab |
|- ( A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } <-> A. d ( E. f e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` f ) <_ X /\ d = ( ( coe1 ` f ) ` X ) ) -> A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
164 |
151 163
|
sylibr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) /\ c e. ( Base ` R ) ) -> A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) |
165 |
164
|
ralrimiva |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> A. c e. ( Base ` R ) A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) |
166 |
4 12 98 101
|
islidl |
|- ( { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } e. T <-> ( { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } C_ ( Base ` R ) /\ { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } =/= (/) /\ A. c e. ( Base ` R ) A. d e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } A. e e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ( ( c ( .r ` R ) d ) ( +g ` R ) e ) e. { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } ) ) |
167 |
21 59 165 166
|
syl3anbrc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> { a | E. b e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` b ) <_ X /\ a = ( ( coe1 ` b ) ` X ) ) } e. T ) |
168 |
6 167
|
eqeltrd |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` X ) e. T ) |